Convexité : le voyage d’Euclide au machine learning

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va commencer par une petite expérience mentale pour ceux qui nous écoutent.

Intervenant 20:08

Une expérience très visuelle, oui.

Intervenant 10:10

Voilà. Alors, imaginons une grande planche en bois. Et sur cette planche, on vient planter une dizaine de punaises vraiment au hasard.

Intervenant 20:18

D'accord, on a notre nuage de punaises.

Intervenant 10:20

Ensuite, on prend un grand élastique, on l'étire au maximum pour englober absolument toutes ces punaises d'un coup. Et là, bam, on lâche.

Intervenant 20:30

Et l'élastique va claquer contre les punaises qui sont situées le plus à l'extérieur.

Intervenant 10:34

C'est ça, il va se tendre autour d'elle. Eh bien, cette forme précise qui vient d'être créée par l'élastique, c'est étonnamment ce qui détient aujourd'hui le secret des intelligences artificielles les plus puissantes de notre époque.

Intervenant 20:46

C'est une entrée en matière parfaite, parce que cette forme dessinée par l'élastique sur la planche, c'est vraiment l'incarnation pure, physique, de ce qu'on appelle en mathématiques la convexité.

Intervenant 10:57

Et c'est justement la mission de notre exploration d'aujourd'hui.

Intervenant 20:59

Exactement. L'idée, c'est de comprendre comment ce concept géométrique extrêmement ancien, qui en gros se résume intuitivement à une forme sans creux, a pu évoluer à ce point.

Intervenant 11:09

Parce que ça remonte à loin.

Intervenant 21:10

Ah bah, ça remonte au dessin sur le sable dans la Grèce antique. Et on va voir comment c'est passé de là jusqu'au cœur des supercalculateurs modernes, ceux qui font tourner les réseaux de neurones.

Intervenant 11:20

Alors justement, décortiquons ça un peu. Convexe, c'est un mot qu'on utilise parfois au quotidien, très souvent en opposition à concave.

Intervenant 21:27

Oui, l'un ne va pas sans l'autre dans le langage courant.

Intervenant 11:29

Si on regarde l'étymologie, on vient du latin convexus, qui veut dire bombé, courbé vers l'extérieur. Le petit moyen mnémotechnique classique que beaucoup connaissent, c'est que concave, ça contient le mot cave. Donc une cave, c'est un creux, une cuvette.

Intervenant 21:45

Et convexe, c'est l'inverse, c'est la bosse. Voilà.

Intervenant 11:49

Mais si on enlève notre fameux élastique du début, comment les mathématiciens font pour définir qu'une forme n'a pas de creux, mais sans jamais utiliser le mot creux ?

Intervenant 21:59

Eh bien, ils ont dû trouver une règle implacable. En géométrie classique, la définition la plus visuelle pour un polygone, c'est de dire si on prend n'importe quel côté de ce polygone et qu'on trace une longue ligne droite infinie qui prolonge ce côté, eh bien la figure toute entière doit rester d'un seul et même côté de cette ligne.

Intervenant 12:18

Ah d'accord, je vois très bien. Donc si je dessine, disons, une étoile classique à cinq branches pour notre public.

Intervenant 22:25

Parfait comme exemple.

Intervenant 12:26

Si je prolonge l'un des côtés d'une des pointes de l'étoile, ma ligne droite va forcément venir couper ou traverser une autre branche de cette même étoile.

Intervenant 22:35

C'est ça. La ligne traverse l'espace vide du creux et bam, elle percute le reste de la figure. Donc l'étoile est concave. Il y a un rentrant.

Intervenant 12:43

Alors que dans un carré ou un hexagone régulier, ça n'arrive jamais. La ligne glisse sur le bord sans jamais rentrer dedans.

Intervenant 22:50

Exactement. Et cette intuition de l'absence de creux, il faut savoir qu'elle fascinait déjà les savants de l'Antiquité.

Intervenant 12:56

Vraiment dès le début.

Intervenant 22:57

Ah oui. Dès le quatrième livre des fameux éléments d'Euclide, on trouve des études hyper approfondies sur les polygones. Euclide, son truc, c'était de comprendre comment construire ces figures convexes parfaites, à la règle et au compas. Le

Intervenant 13:09

fameux duo règle et compas des grecs.

Intervenant 23:11

Voilà. Et surtout, il cherchait comment les inscrire très précisément à l'intérieur d'un cercle.

Intervenant 13:18

Et ça ne s'arrêtait pas à la 2D. Ce n'est pas juste des dessins sur une feuille de papier russe.

Intervenant 23:22

Non, pas du tout.

Intervenant 13:22

Les Grecs pensaient aussi en trois dimensions. J'ai vu que Théétète, puis Euclide dans ses tout derniers livres, se sont attaqués aux polyèdres, ces fameux volumes en 3D.

Intervenant 23:32

Oui, et le relais a ensuite été pris par un autre géant absolu, Archimède, au IIIe siècle avant notre ère.

Intervenant 13:38

Archimède, évidemment.

Intervenant 23:40

Il a découvert toute une famille de solides qu'on appelle aujourd'hui les polyèdres sémiréguliers, ou solides archimédiens d'ailleurs. Ils sont fascinants parce que, bon, ils ne sont pas aussi purs et parfaits que les solides de Platon.

Intervenant 13:52

Comme le cube ou la pyramide parfaite, le tétrèbre.

Intervenant 23:55

Exact. Mais ils conservent tous cette propriété absolue d'être totalement convexes, zéro creux.

Intervenant 14:03

Mais attendez, Archimède, il n'observait pas juste des volumes pour faire de jolies formes géométriques, décoratives ?

Intervenant 24:09

Oh que non !

Intervenant 14:10

J'ai noté en préparant cette exploration qu'il a carrément utilisé la convexité pour flirter avec le concept de l'infini. Il essayait de mesurer la longueur de courbes très complexes, si c'est bien ça ?

Intervenant 24:22

C'est l'un de ses plus grands traits de génie. Archimède a très vite compris qu'il était presque impossible de mesurer exactement une courbe bombée avec les outils de l'époque. Sa méthode, c'était de l'approcher. Il a prouvé que la longueur d'une courbe convexe, c'est en réalité la limite des chemins polygonaux qui s'en approchent.

Intervenant 14:41

Alors, pour qu'on visualise bien, si je traduis ça en images pour notre auditoire, on veut mesurer un grand arc de cercle.

Intervenant 24:48

Oui. On trace des tout petits segments de droite

Intervenant 14:51

tout le long de cet arc, un peu comme si on essayait de recouvrir l'arc avec des allumettes rigides.

Intervenant 24:57

C'est une excellente image.

Intervenant 14:59

Et plus les allumettes sont petites, plus on épouse la vraie courbe. Et en fait, c'est la convexité de la courbe d'origine qui nous garantit que nos allumettes ne vont pas faire des zigzags aberrants dans tous les sens.

Intervenant 25:11

C'est tout à fait ça. La convexité vient encadrer, elle discipline le comportement de la courbe.

Intervenant 15:16

C'est brillant.

Intervenant 25:17

Et pour clore ce chapitre antique, on ne peut absolument pas ignorer Ptolémée.

Intervenant 15:21

L'astronome.

Intervenant 25:22

Lui-même. Pour ses travaux d'astronomie, il avait besoin d'outils géométriques redoutables. Il nous a laissé le fameux théorème de Ptolémée, qui explique à quelles conditions exactes un quadrilatère convexe peut être inscrit dans un cercle.

Intervenant 15:34

Ah, la fameuse règle des diagonales ?

Intervenant 25:36

Voilà.

Intervenant 15:36

Le produit des deux diagonales doit être égal à la somme des produits des côtés opposés. C'est très poétique dit comme ça. Mais pourquoi Ptolémée devait-il préciser que le quadrilatère doit être convexe ?

Intervenant 25:49

Eh bien, parce que si le quadrilatère est croisé, imaginez une forme de nœud papillon, ou s'il a un creux très profond, eh bien ces diagonales sortent carrément de la forme. Ou alors elles se comportent d'une manière qui vient briser totalement cette symétrie mathématique des longueurs.

Intervenant 16:06

Donc la convexité, c'est vraiment la garantie de la régularité ?

Intervenant 26:09

Exactement. C'est le cadre de sécurité.

Intervenant 16:12

D'accord, l'Antiquité pose les bases géométriques. On a nos élastiques, nos polygones, nos volumes bien bombés. Mais bon, un cube en bois, ça ne résout pas mes équations algébriques.

Intervenant 26:21

Non, ça ferait un bien mauvais calculateur.

Intervenant 16:23

Comment est-ce qu'on est passé de cette géométrie très, très visuelle à un véritable outil d'analyse capable de calculer des choses complexes ? Parce que pour moi, c'est vraiment là que l'histoire prend un tournant fou.

Intervenant 26:34

Alors là, il faut faire un sacré bond dans le temps. On atterrit entre le 17e et le 19e siècle. C'est la naissance de l'analyse mathématique moderne.

Intervenant 16:43

Avec les grands noms classiques ?

Intervenant 26:44

Voilà. Des esprits comme Pierre de Fermat et Gottfried Wilhelm Leibniz. Eux, ils sont obsédés par un problème totalement nouveau pour l'époque. L'optimisation.

Intervenant 16:54

L'optimisation, c'est-à-dire ?

Intervenant 26:56

Ils étudient des fonctions abstraites et ils cherchent à trouver le point le plus haut, le maximum absolu, ou le point le plus bas, le minimum.

Intervenant 17:04

Ah, l'optimum ! Donc si on reprend nos images, on cherche le sommet exact de la montagne ou le fond tout en bas de la vallée sur une couvre mathématique.

Intervenant 27:12

C'est exactement ça.