Archimède : mesurer la sphère, retrouver son tombeau

Intervenant 10:00

Bienvenue à tous les auditeurs dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va plonger dans une histoire absolument incroyable. En 212 avant notre ère, sur une plage de Sicile, un soldat romain a tiré son glaive et assassiné un vieillard qui était complètement absorbé par des figures tracées dans le sable.

Intervenant 20:20

C'est ça. Et ce soldat ne le savait pas du tout, mais en donnant ce coup d'épée, il venait littéralement de décapiter la pensée scientifique de l'Antiquité.

Intervenant 10:29

C'est une image tellement puissante. Il venait de tuer l'homme qui, juste avec ses cercles, ses petits dessins et ses calculs, avait froulé les principes de l'informatique et du calcul intégral. Et ça, avec presque 2000 ans d'avance sur notre époque.

Intervenant 20:43

C'est l'un des plus grands drames de l'histoire des sciences, très clairement. Et notre exploration d'aujourd'hui tourne autour de cet événement tragique, bien sûr, mais surtout autour de tout ce qui a mené à ce moment précis. C'est ce qu'on va appeler l'effet sphère.

Intervenant 10:56

L'effet sphère, j'adore le nom.

Intervenant 20:58

N'est-ce pas ? Le but de notre discussion, pour ceux qui nous écoutent, ce n'est pas de faire un simple cours de géométrie, pas du tout. On va retracer une véritable enquête, une obsession historique.

Intervenant 11:08

Oui, parce que c'était vraiment obsessionnel.

Intervenant 21:10

Absolument. On va voir comment la quête acharnée pour comprendre une simple forme géométrique, donc la sphère, a poussé l'esprit humain dans ses retranchements les plus absolus. Ça a engendré des méthodes secrètes, ça a brisé des dogmes philosophiques qu'on pensait

Intervenant 11:23

intouchables. Et tout ça pour finalement se figer, des siècles plus tard, sur le métal de la plus haute distinction mathématique moderne. Je suis vraiment fasciné par ce parcours. L'obsession est vraiment le mot juste ici. Et pour comprendre d'où vient cette obsession, il faut qu'on remonte à la racine, c'est-à-dire au pythagoricien.

Intervenant 21:39

Ah oui, les fameux philosophes grecs.

Intervenant 11:41

Exactement. Quand ces philosophes levaient les yeux vers le ciel nocturne, ils ne voyaient pas juste des points lumineux dispersés au hasard. Pour eux, ils regardaient une immense mécanique céleste.

Intervenant 21:52

Une grande horlogerie cosmique, en fait.

Intervenant 11:54

Voilà. Pour eux, l'univers ne pouvait pas être aléatoire, c'est impossible. Ils devaient obéir à une harmonie pure, une harmonie presque musicale. Et la forme qui incarne cette harmonie cosmique de la manière la plus parfaite, eh bien, c'est la sphère.

Intervenant 22:06

Et ça se comprend. La sphère, c'est la symétrie absolue. Je veux dire, tous les points de sa surface sont à une distance strictement égale de son centre. Elle n'a ni début, ni fin, ni arrête, aucune faiblesse structurelle.

Intervenant 12:19

C'est la perfection faite matière, quoi.

Intervenant 22:21

Exactement. Et il faut se rappeler que les mathématiciens grecs de l'époque étaient avant tout des géomètres. Et ce mot, littéralement, ça signifie « mesureur de la Terre ».

Intervenant 12:30

Donc leur job, c'était de mesurer.

Intervenant 22:31

Voilà. Face à ce cosmos sphérique et parfait, il y avait pour eux une véritable urgence intellectuelle. Il fallait à tout prix pouvoir mesurer cette perfection. Il fallait déterminer des longueurs, des aires, des volumes, et ça avec une précision implacable.

Intervenant 12:46

D'accord, décortiquons un peu tout ça, parce que c'est là que le défi devient fou. Leurs outils de l'époque étaient extrêmement rudimentaires. En fait, ils travaillaient avec quoi ? Une règle non graduée et un compas, c'est tout.

Intervenant 22:57

C'est clair que ça paraît un peu léger aujourd'hui.

Intervenant 13:01

C'est comme essayer de retranscrire une symphonie entière en n'ayant sous la main qu'un marteau et un burin.

Intervenant 23:06

Oh, j'aime beaucoup cette analogie, c'est tout à fait ça.

Intervenant 13:08

Et donc, pour mesurer et comparer des surfaces planes avec ce marteau et ce burin, leur grande méthode, c'était la quadrature. L'idée, pour nos auditeurs, c'était de manipuler n'importe quelle forme géométrique, disons un triangle ou un polygone, pour la transformer, à l'aide de la règle et du compas, en un carré qui aurait exactement la même ère.

Intervenant 23:26

Parce qu'une fois qu'on a des carrés sous les yeux, c'est incroyablement facile de les comparer entre eux. C'est une démarche logique qui est juste imparable.

Intervenant 13:33

Le carré devient un peu l'unité de mesure parfaite pour l'esprit humain.

Intervenant 23:36

Absolument. Et cette technique de la quattrature, elle fonctionnait de manière vraiment fulgurante, mais, et c'est un grand mais, tant qu'on restait avec des formes composées de lignes droites.

Intervenant 13:50

Et j'imagine que c'est là que le bas blesse.

Intervenant 23:53

Exactement. Parce que la nature profonde de l'univers, la voûte céleste qu'ils admiraient tant, les astres, la lune, le soleil, tout ça, ce n'est fait que de courbes.

Intervenant 14:03

C'est là qu'on heurte un mur fondamental en géométrie classique. Le cercle refuse de coopérer.

Intervenant 24:09

Totalement. On a beau le manipuler dans tous les sens possibles avec une règle et un compas, il ne se plie jamais aux angles droits d'un carré. C'est ce qu'on appelle la fameuse, ou la tristement célèbre, impossible quadrature du cercle.

Intervenant 14:21

Il me semble pourtant, en lisant nos sources, que certains géomètres grecs ont cru trouver la faille à un moment donné, non ?

Intervenant 24:27

Ah oui, il y a eu des illusions magnifiques dans l'histoire. Et la plus connue, c'est sans doute celle d'Hippocrate de Chiot. Ce mathématicien avait réussi un véritable tour de force géométrique. Il a trouvé la quadrature de certaines formes qu'on appelle des lunules.

Intervenant 14:42

Des lunules ?

Intervenant 24:42

C'est ça. Imaginez des petites formes en croissant de lune qui sont délimitées par des arcs de cercles. En utilisant des propriétés très spécifiques de triangles qu'on inscrit à l'intérieur de ces cercles, il a réussi à prouver formellement qu'on pouvait construire un carré qui a exactement la même surface que ces formes courbes complexes.

Intervenant 15:00

Mais attendez, si on peut transformer une lune nulle qui est complètement courbe en carré, pourquoi on ne pourrait pas faire exactement la même chose avec le cercle tout entier ? C'est le même principe, non ?

Intervenant 25:09

Eh bien, c'est exactement le piège dans lequel sont tombés des générations entières de mathématiciens.

Intervenant 15:14

Ah d'accord.

Intervenant 25:15

Oui, tout le monde s'est dit la même chose que vous. Cette découverte d'Hippocrate semblait prouver, de façon éclatante, que la courbure n'était pas un obstacle infranchissable. Ça donnait l'espoir que la quadrature du cercle était à portée de main.

Intervenant 15:28

Sauf que c'était un faux espoir.

Intervenant 25:30

Complètement. Parce qu'en réalité, l'élue nulle d'Hippocrate consistait à une exception mathématique extrêmement précise. C'était une sorte d'anomalie géométrique heureuse. Le cercle parfait, lui, demeurait mathématiquement inatteignable avec ces outils-là.

Intervenant 15:45

D'accord, donc la géométrie en 2D est complètement bloquée par ce cercle rebelle. Mais le monde physique, l'univers que ces Grecs essayaient de modéliser avec tant de ferveur, lui, il n'est pas plat. Il est en trois dimensions.

Intervenant 25:57

Et c'est là que l'histoire se complique encore.

Intervenant 16:00

J'imagine. L'obsession pour la sphère et l'harmonie des volumes exigeait qu'ils s'attaquent à la 3D. Et si manipuler les courbes en 2D était déjà un cauchemar absolu, j'imagine que les volumes courbes devaient être tout simplement terrifiants pour l'esprit des géomètres de l'époque.

Intervenant 26:15

Terrifiant est vraiment le mot juste. Il faut bien comprendre que les Grecs avaient une peur bleue de l'infini.

Intervenant 16:21

Vraiment ? Une peur bleue ?

Intervenant 26:23

Oui, il voyait l'infini comme un chaos indomptable, quelque chose qui échappait à la raison. Et c'est justement ici qu'intervient Udox de Cnid, qui est un esprit charnière dans notre enquête.

Intervenant 16:35

Qu'est-ce qu'il a fait de si spécial cet horodoxe ?

Intervenant 26:37

Face à des volumes effrayants pour eux, comme le cône, le cylindre ou la sphère, Udox a inventé une parade monumentale pour éviter de traiter ce fameux infini de front. Et cette méthode, c'est la méthode d'exhaustion.

Intervenant 16:50

J'ai toujours trouvé ce nom absolument fascinant. L'exhaustion. J'aimerais qu'on s'arrête un petit instant là-dessus, parce que la mécanique qui se cache derrière cette méthode est incroyable.

Intervenant 27:01

Allez-y, je vous écoute.

Intervenant 17:02

Si j'ai bien compris, plutôt que de mesurer directement le volume d'une sphère, ce qui est impossible, on l'encercle. C'est-à-dire qu'on va construire des polyèdres réguliers, donc des formes avec des faces plates, à l'intérieur de la sphère et on en construit d'autres à l'extérieur.

Intervenant 27:17

C'est ça.

Intervenant 17:18

Et ensuite, on multiplie les phases de ces polyèdres de plus en plus, à l'infini, pour qu'ils viennent coller de plus en plus près à la courbe de la sphère.

Intervenant 27:27

C'est exactement le cœur du mécanisme. Mais la véritable subtilité rigoureuse de la méthode d'exhaustion de Docks, elle repose sur un double raisonnement par l'absurde.

Intervenant 17:37

Ah, d'accord. Comment ça fonctionne en pratique ?

Intervenant 27:40

Et un Eudox ne disait jamais de manière frontale « le volume polyédrique infini est égal à la sphère ». Ça leur est forcé à parler d'infini. Au lieu de ça, il disait « supposons que le volume de la sphère soit V. Prouvons géométriquement qu'il est physiquement impossible que la forme interne soit plus grande que V et, simultanément, prouvons qu'il est impossible que la forme externe soit plus petite ».