Parabole : le parcours d’Archimède à Fermat pour mesurer l’aire

Intervenant 10:00

Bonjour et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, le lieu où les concepts mathématiques prennent vraiment vie. Je suis ravie d'être là aujourd'hui.

Intervenant 20:09

Bonjour, salut, moi aussi je suis ravi, on a un super programme.

Intervenant 10:13

Ah, ça c'est sûr. Et pour commencer notre plongée d'aujourd'hui, prenons une petite image mentale pour ceux qui nous écoutent. Imaginons un instant la scène suivante. Le défi, c'est de mesurer le volume absolument exact, disons précis au millimètre près, d'un vase antique.

Intervenant 20:29

D'accord.

Intervenant 10:30

Un vase avec des courbes magnifiques, complexes, vraiment fuyantes. Mais l'unique outil qui est posé sur la table de travail, c'est une règle en bois, parfaitement rigide et droite.

Intervenant 20:41

Ah oui, c'est le cauchemar absolu.

Intervenant 10:43

Voilà. Ça semble relever de la pure science-fiction, quoi. Comment on fait pour capturer la fluidité d'une courbe en n'utilisant que la rigidité d'une ligne droite ?

Intervenant 20:53

En fait, ce choc, cette friction entre la fluidité de la nature et la rigidité de notre géométrie, c'est vraiment l'un des moteurs les plus puissants de l'histoire des sciences.

Intervenant 11:03

Ouais, parce que la nature ne fait pas de ligne droite.

Intervenant 21:06

Exactement. Le monde naturel déploie des trajectoires paraboliques, des ellipses, des sphères. C'est organique. Pourtant, la pensée géométrique classique, elle, s'est bâtie sur des lignes droites, des angles bien nets, des polygones.

Intervenant 11:18

Des trucs très carrés pour le coup.

Intervenant 21:19

C'est ça. Et tenter de réconcilier ces deux univers, de plaquer notre rationalité linéaire sur les courbes de la nature, c'est ce que l'on appelle historiquement le problème de la quadrature.

Intervenant 11:30

Et justement, notre exploration d'aujourd'hui plonge en plein cœur de l'un des premiers grands triomphes de l'humanité sur ses formes indomptables, la fameuse quadrature de la parabole.

Intervenant 21:40

Un très gros morceau.

Intervenant 11:41

Un véritable thriller intellectuel, qui s'étend sur près de deux millénaires en fait. On a d'un côté, dans l'Antiquité, l'ingéniosité vraiment fulgurante et purement visuelle d'Archimède. Et de l'autre, au XVIIe siècle, la puissance de frappe analytique et supersystématique de Pierre de Fermat.

Intervenant 22:01

Le grand écart, quoi.

Intervenant 12:02

Totalement. Et je précise pour notre audience, pas besoin d'avoir fait de longues études d'ingénierie pour saisir la beauté de ce voyage. Ceux qui aiment la rigueur y trouveront leur compte, mais c'est avant tout l'histoire d'un changement radical dans la manière de penser.

Intervenant 22:16

Tout à fait, c'est très accessible dans le fond.

Intervenant 12:18

Mais pour mesurer l'ampleur de la prouesse d'Archimède, il faut se replonger dans le vide conceptuel que représentait ce défi au IIIe siècle avant notre

Intervenant 22:27

ère. Il faut vraiment faire un effort d'imagination pour oublier tout ce que la science moderne tient pour acquis.

Intervenant 12:34

C'est-à-dire ?

Intervenant 22:35

Dans la Grèce antique, l'idée même d'un repère avec un axe horizontal et un axe vertical, ça n'existe pas du tout.

Intervenant 12:41

Le fameux repère cartésien avec X et Y ?

Intervenant 22:44

Voilà, les coordonnées, les points chiffrés sur un quadrillage, ce sont des concepts qui sont totalement inexistants. Pour eux, une parabole, ce n'est pas du tout une fonction mathématique ou une équation que tu tapes dans une calculatrice. C'est

Intervenant 12:54

juste un dessin en fait.

Intervenant 22:56

Pire que ça, c'est un objet physique, presque tangible. C'est une ligne pure qu'on obtient visuellement en coupant un cône en trois dimensions avec un plan incliné.

Intervenant 13:05

D'accord, donc c'est de la géométrie purement spatiale.

Intervenant 23:07

C'est ça. C'est une forme qui est muette d'un point de vue algébrique. Il n'y a pas de chiffres derrière.

Intervenant 13:12

Du coup, le problème très précis qui se pose à l'époque, c'est le suivant. On dessine cette belle courbe parabolique sur le sable, par exemple. On place deux points complètement au hasard sur cette courbe, on va dire un point U et un point V, et on trace un segment de droite en bois rigide, si on reprend l'analogie, pour les relier.

Intervenant 23:31

Très bien.

Intervenant 13:32

Et la grande question, le grand défi, c'est de savoir comment calculer la surface exacte, l'air qui se retrouve prisonnière en fait, entre la courbe qui plonge et ce fameux segment droit.

Intervenant 23:44

Et puisque la géométrie de l'époque ne s'est calculée que des aires de triangle ou de carré, l'approche directe est totalement impossible.

Intervenant 13:51

Bah oui, parce qu'on a un bord courbe.

Intervenant 23:53

Exactement. Et là, l'approche d'Archimède, pour contourner cette impossibilité, elle repose sur une idée d'une poésie folle.

Intervenant 14:00

Qu'est-ce qu'il fait ?

Intervenant 24:01

Il va chercher à ancrer un premier point de repère à l'intérieur de cette zone courbe. Un point très spécifique que les sources de notre analyse nomment le milieu parabolique.

Intervenant 14:12

Le milieu parabolique, ok.

Intervenant 24:15

Et la méthode pour le localiser, c'est un pur exercice de construction spatiale. On prend le point central du segment droit qu'on a tracé entre U et V.

Intervenant 14:24

Donc on coupe le segment en deux.

Intervenant 24:25

Ouais, tout bêtement. Ensuite, on trace une ligne droite à partir de ce centre. Une ligne qui descend vers la courbe, mais de manière strictement parallèle à l'axe de symétrie de la parabole.

Intervenant 14:36

Ok, je visualise.

Intervenant 24:38

Et le point exact où cette ligne vient percuter la courbe, ça devient notre fameux milieu parabolique, qu'on va appeler I. Juste pour la petite parenthèse, aujourd'hui, avec nos repères, ça correspondrait tout simplement à une abscisse de U plus V sur 2. Mais à l'époque, c'est purement visuel.

Intervenant 14:53

C'est fou. Bon, décortiquons un peu tout ça parce que c'est vertigineux. Archimède, en gros, il jouait essentiellement à relier des points sur un mur courbe dans le noir total. Enfin, genre, sans aucun quadrillage pour céder.

Intervenant 25:05

C'est une bonne image, oui.

Intervenant 15:07

Mais comment il pouvait être sûr de la précision de ses projections sans nos outils modernes ? Sans système de vérification numérique, l'esprit humain, il est super vite trompé par un croquis un peu approximatif sur le sable.

Intervenant 25:19

C'est vrai, mais c'est là qu'intervient toute la puissance de la démarche déductive grecque. En fait, Archimède ne fait aucune confiance à la précision de son dessin.

Intervenant 15:27

Ah bon ?

Intervenant 25:27

Non, pas du tout. Un croquis tracé sur le sable ou sur un parchemin, pour eux ce n'est qu'une vague ombre de l'idée mathématique pure.

Intervenant 15:35

Donc, il s'appuie sur quoi ?

Intervenant 25:36

Sur la logique. Pour s'assurer de sa précision, il utilise des propriétés structurelles de la parabole, des choses qui ont été établies par la pure logique d'Euclide.

Intervenant 15:46

Par exemple ?

Intervenant 25:47

Par exemple, il sait pertinemment et sans avoir besoin de le mesurer physiquement qu'en traçant une ligne tangente à la parabole au niveau de ce fameux point I, Eh bien, cette tangente sera rigoureusement parallèle au segment droit de départ, le segment UV. La certitude, elle ne vient pas de l'observation de son croquis, elle émane de la nécessité logique absolue.

Intervenant 16:08

C'est de l'élégance à l'état pur.