Spirale d’Archimède : l’aire de la courbe au tiers du cercle

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors, avant de commencer, il faut absolument qu'on s'imagine une scène.

Intervenant 20:07

Oh, j'adore quand on commence comme ça. Vas-y, je t'écoute.

Intervenant 10:09

Imaginons qu'on demande à quelqu'un de concevoir et de construire un immense gratte-ciel.

Intervenant 20:15

D'accord.

Intervenant 10:15

Mais c'est là que ça se corse. On ne fournit strictement aucun plan de montage, aucune grue, aucune machine moderne. Un chantier à mains nues, en somme ? Pire que ça. Comme seul matériel de construction, on a uniquement à disposition des boîtes de cure-dents.

Intervenant 20:30

Des cure-dents, carrément ? Ouais, ça paraît mal parti.

Intervenant 10:33

Et tout cela, bien évidemment, avec des vents violents qui commencent à souffler à l'horizon. Eh bien, c'est exactement l'atmosphère, le niveau de précarité absolu et le risque intellectuel vertigineux que représentait le fait de faire des mathématiques avancées au IIIe siècle avant notre ère.

Intervenant 20:49

C'est une excellente analogie, vraiment. C'est une tension intellectuelle de tous les instants.

Intervenant 10:54

Bah oui, parce qu'aujourd'hui, notre mission pour cette exploration, c'est de plonger directement dans la tête de l'architecte suprême de ce fameux gratte-ciel en Kurdan. À l'époque, il faut bien que quiconque nous écoute réalise qu'il n'y a pas d'algèbre.

Intervenant 21:08

Non, rien de tout ça.

Intervenant 11:09

Il n'y a pas de symbole mathématique comme X ou Y pour simplifier la pensée. Pas de bouton d'annulation en cas d'erreur sur un parchemin ou dans le sable.

Intervenant 21:16

Et c'est là que le vent de ton analogie intervient.

Intervenant 11:18

Exactement. Le moindre petit coup de vent logique, la plus infime faiblesse dans la chaîne de déduction, et c'est l'intégralité de la démonstration qui s'effondre dans un fracas retentissant.

Intervenant 21:28

On travaillait sans filet à cette époque. La seule force capable de maintenir la structure debout, c'était la puissance de la logique pure. Et pour cette immersion au sommet de l'ingéniosité humaine, la cible n'est autre qu'Archimède, le célébrissime génie de la cité de Syracuse.

Intervenant 11:45

Le grand Archimède.

Intervenant 21:46

Voilà. Mais attention, le but ici, ce n'est pas de relire une énième fois la page encyclopédique de sa vie. On va plutôt décortiquer, pièce par pièce, l'un de ses chefs-d'œuvre les plus époustouflants.

Intervenant 11:57

Et curieusement, l'un des moins connus de notre audience, non ?

Intervenant 22:01

Ah oui, totalement méconnu. Il s'agit de la quadrature de la spirale. Et honnêtement, c'est une démonstration qui frise le miracle intellectuel.

Intervenant 12:09

Alors, avant même de toucher à cette fameuse spirale, je pense qu'il y a un travail de nettoyage urgent à faire concernant la figure même d'Archimède.

Intervenant 22:18

Un dix bonnes cages en règle, ouais.

Intervenant 12:19

C'est ça. En préparant cette plongée dans ses travaux, on se rend vite compte que presque tout ce que la culture populaire a retenu de ce personnage, c'est essentiellement faux.

Intervenant 22:28

Absolument faux. C'est tragique, mais c'est vrai.

Intervenant 12:31

La scène légendaire du savant complètement nu courant à travers les rues de la ville en hurlant le fameux Eureka après avoir vu le niveau de l'eau monter dans sa baignoire.

Intervenant 22:38

Ouais, le grand classique.

Intervenant 12:40

Ou encore cette citation grandiloquente qu'on lui attribue sans cesse du genre « Donnez-moi un point d'appui et je soulèverai le monde ».

Intervenant 22:47

Encore un mythe.

Intervenant 12:48

Que notre audience s'est préparée au choc, mais il s'agit ni plus ni moins de fausses informations historiques.

Intervenant 22:53

Eh oui. L'histoire des sciences est souvent, disons, réécrite pour la rendre plus romanesque. Et le cas d'Archimède, c'est vraiment l'exemple le plus frappant.

Intervenant 13:03

C'est de la pure fiction alors ?

Intervenant 23:04

Complètement. Ces anecdotes, hyper spectaculaires, bien camisantes, elles n'apparaissent absolument nulle part dans les précieux textes originaux rédigés par Archimède lui-même.

Intervenant 13:15

Mais alors d'où ça sort tout ça ?

Intervenant 23:17

Elles ont été fabriquées et propagées par des auteurs qui ont vécu des siècles plus tard.

Intervenant 13:22

Genre qui ?

Intervenant 23:23

Par exemple Plutarch ou encore le mathématicien Papus d'Alexandrie. Le but était évident, il s'agissait de dramatiser et de mythifier le personnage.

Intervenant 13:31

Un peu comme le marketing d'aujourd'hui quoi.

Intervenant 23:33

C'est exactement ça. Si l'on s'en tient à la réalité tangible du IIIe siècle avant notre ère, on fait face à un scientifique beaucoup plus nuancé. Quelqu'un d'extrêmement rigoureux, qui correspondait activement avec l'élite intellectuelle de la Méditerranée.

Intervenant 13:48

Surtout les grands savants d'Alexandrie,

Intervenant 23:50

c'est ça ? Tout à fait. Ses véritables fiertés ne reposaient pas sur des coups d'éclat dans des baignoires, mais sur des avancées conceptuelles monumentales.

Intervenant 13:59

C'est tout de même sidérant de constater que, enfin, ces deux plus grands succès de relations publiques, les seules choses dont on se souvient généralement, ce sont des fictions.

Intervenant 24:08

C'est l'ironie de l'histoire.

Intervenant 14:10

Du coup, si l'on met de côté ces mythes, sur quoi reposer sa véritable gloire de son vivant ? Quels sont ses vrais succès ?

Intervenant 24:17

Eh bien, ses véritables exploits se trouvent cachés au cœur de la géométrie pure. Il y a par exemple son encadrement sidérant de la valeur du nombre Pi. C'est une sorte de puzzle géométrique antique, constitué de 14 pièces. Et à travers ce puzzle, il ne s'amusait pas simplement à faire de jeux et figures, il posait littéralement les toutes premières bases de la combinatoire moderne. En cherchant combien de façons différentes permettaient d'assembler un carré avec ses pièces. C'est de la combinatoire pure. Il a également exploré

Intervenant 14:58

Larbelos.

Intervenant 25:01

Une figure géométrique fascinante délimitée par trois demi-cercles tangents. Sa forme courbée rappelle étrangement le couteau utilisé par les cordonniers grecs de l'époque.

Intervenant 15:10

D'où le nom, j'imagine ?

Intervenant 25:11

C'est ça. Mais au-dessus de tout cela, son chef-d'œuvre incontesté, sa plus grande fierté assumée, ça reste sa découverte sur le rapport exact des volumes entre la sphère et le cylindre parfait qu'il enveloppe.

Intervenant 15:24

Et ça, cette découverte sur la sphère et le cylindre, c'est lié à une anecdote historique cent fois plus captivante que l'histoire de la baignoire.

Intervenant 25:32

Ah, l'histoire de la tombe,

Intervenant 15:33

oui. Quiconque s'intéresse à l'histoire doit connaître ça. Archimède considérait cette trouvaille comme tellement sublime, tellement pure, qu'il a expressément demandé, avant sa mort, que ce dessin géométrique précis soit gravé sur sa pierre tombale.

Intervenant 25:47

C'était vraiment son chef-d'œuvre absolu à ses yeux.

Intervenant 15:49

Mais le plus incroyable, c'est que des décennies plus tard, les habitants de sa propre ville, Syracuse, l'avaient totalement oublié.

Intervenant 25:56

La mémoire humaine est courte.

Intervenant 15:58

C'est clair. Sa tombe avait disparu sous des buisons de ronces épineuses. Et c'est uniquement grâce à ce fameux motif géométrique, la sphère et le cylindre, que le célèbre orateur romain Cicéron, en jouant un peu les archéologues, a pu localiser et restaurer la sépulture. C'est fou quand on y pense. Les vrais exploits géométriques d'Archimède sont dignes d'un vrai thriller.

Intervenant 26:18

Et c'est justement ce niveau d'ingéniosité digne d'un thriller qui culmine de façon magistrale dans son ouvrage intitulé « Des spirales ».

Intervenant 16:26

Ah, on y arrive ! La fameuse spirale !

Intervenant 26:29

Oui ! Et pour prendre toute la mesure de ce qu'il a accompli là-dedans, il faut vraiment imaginer l'environnement matériel dans lequel il évoluait. Avant lui, la spirale n'était pas un mystère visuel.

Intervenant 16:39

C'est vrai, c'est une forme très naturelle.

Intervenant 26:41

Tout à fait. Depuis la préhistoire, avec l'art pariétal ou simplement en jouant sur la plage, les êtres humains traçaient des spirales dans le sable ou sur les murs de leurs grottes. L'intuition visuelle existait déjà.

Intervenant 16:52

On dessinait des spirales sans trop réfléchir quoi.

Intervenant 26:55

Voilà. Mais reconnaître une forme avec ses yeux et la définir de façon mathématique et rigoureuse pour pouvoir l'analyser, ce sont deux univers totalement différents.

Intervenant 17:05

C'est un gouffre énorme.

Intervenant 27:07

Exactement. Et avant Archimède, personne, absolument personne, ne disposait de la définition mathématique de cette courbe.

Intervenant 17:14

Le défi est vraiment immense. Je veux dire, aujourd'hui on a des ordinateurs, on a le système de coordonnées cartésienne, on a des logiciels qui tracent des courbes instantanément avec des équations en un clic.

Intervenant 27:25

La facilité absolue ?