Du Nil au calcul intégral : l’infini dans la mesure

Intervenant 10:00

Imaginons l'Égypte antique juste après une crue dévastatrice du Nil. La terre est gorgée d'eau, les repères sont complètement effacés. En fait, les limites de propriété n'existent tout simplement plus. C'est le chaos total.

Intervenant 20:13

Le chaos absolu, ouais.

Intervenant 10:15

Et pourtant, c'est précisément de ce chaos boueux, purement matériel et urgent, que va naître l'une des disciplines les plus abstraites et pures de l'esprit humain. Bonjour à tous et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Chers auditeurs, je suis ravie de vous retrouver.

Intervenant 20:29

Bonjour à tous.

Intervenant 10:30

Notre mission aujourd'hui, en nous appuyant sur l'excellent article source intitulé « Géométrie de la mesure », c'est de comprendre cette trajectoire intellectuelle fulgurante. On va découvrir ensemble comment ce passage de la boue du Nil aux mathématiques abstraites a forcé les esprits les plus brillants de l'Antiquité à affronter un concept qui les terrifiait littéralement. Et ce concept, c'est l'infini. D'accord, décortiquons un peu tout ça.

Intervenant 20:56

Avec plaisir. Et c'est vrai que cette quête de la mesure, ça dépasse du loin la simple question des outils d'arpentage ou, disons, des chiffres qu'on aligne sur un papyrus. En fait, on parle d'une véritable révolution philosophique.

Intervenant 11:10

Ouais, c'est pas juste compter des caillots quoi.

Intervenant 21:13

Non, voilà, exactement. Les mathématiques, elles ne sont pas apparues comme ça, dans un vide théorique juste pour le plaisir de l'abstraction. Elles sont vraiment nées d'une nécessité absolue, très terrestre, avant de s'élever vers des concepts qui ont pour le coup radicalement bouleversé notre façon de concevoir la réalité.

Intervenant 11:31

C'est ça. Et pour vraiment saisir l'ampleur de cette abstraction vertigineuse, il faut vraiment garder les pieds dans cette fameuse terre égyptienne. Selon l'historien Hérodote, l'origine de la géométrie, elle se trouve sous le règne du pharaon Césostris II.

Intervenant 21:46

Oui, tout à fait.

Intervenant 11:47

Parce qu'après les inondations cycliques, il fallait arpenter les marais, redessiner les parcelles, redistribuer les terres, surtout pour des raisons fiscales, évidemment.

Intervenant 21:57

Toujours les impôts, oui.

Intervenant 11:58

Toujours. Et c'était une pratique purement empirique, en fait. On tendait des cordes, on évaluait un peu à vue d'œil.

Intervenant 22:04

L'émergence de la pensée grecque pour que cette nécessité économique devienne une science démonstrative. Mais le truc, c'est que les Grecs, malgré leur génie analytique évident, ils ont très vite percuté un mur conceptuel.

Intervenant 12:17

Un mur de taille, oui.

Intervenant 22:18

C'est ça. Au VIe siècle avant notre ère, vous prenez Thalès de Millet, il maîtrisait parfaitement les proportions, les lignes droites, mais ces techniques échouaient lamentablement dès qu'on sortait des lignes droites. Face aux figures non-rectilignes, ça ne marchait plus.

Intervenant 12:33

Oui, dès que la ligne se courbait, la logique géométrique de l'époque s'effondrait complètement. Et la difficulté, elle est assez intuitive au fond. Enfin, je veux dire, mesurer des lignes droites, c'est comme utiliser une règle matérielle classique.

Intervenant 22:47

Tout à fait.

Intervenant 12:47

On la pose, on reporte la longueur et puis le tour est joué. Mais tenter de mesurer la surface d'un cercle parfait avec des droites, c'est un peu comme essayer de paver une sphère avec des briques carrées.

Intervenant 23:00

Ah, c'est une excellente image,

Intervenant 13:01

ça ! Bah oui, ça dépasse toujours sur les bords, ça s'emboîte jamais parfaitement, il y a toujours un interstice, un petit vide. Et donc la question de la courbure, elle nécessitait un saut mental énorme. Et ce saut, c'est l'orateur Antiphon qui va le tenter au siècle de Périclès.

Intervenant 23:18

Exactement.

Intervenant 13:19

Son intuition, elle est juste sidérante pour l'époque. Il imagine le cercle non pas comme une courbe, mais comme un polygone régulier qui serait doté d'une infinité de côtés.

Intervenant 23:30

Ce qui est d'une audace intellectuelle absolument phénoménale. En fait, Antifon propose de combler cet écart fondamental entre la ligne droite et la courbe en invoquant directement l'infini. Le problème, c'est que cette idée qui, bon, nous semble Et ça, en fait,

Intervenant 13:49

c'est ce qui m'échappe un peu, je suis un peu confuse. Parce qu'aujourd'hui, dès le Licieux, on manipule des lignes, des calculs infinitésimaux, on trouve ça presque banal. Pourquoi une idée aussi brillante a fait un tel flop conceptuel dans l'Antiquité ?

Intervenant 24:05

Eh bien, parce qu'elle heurtait de plein fouet une conviction qui était super profondément ancrée dans la philosophie grecque.

Intervenant 14:11

C'est-à-dire ?

Intervenant 24:12

Pour eux, l'infini, c'est une aberration logique. C'est un monstre qui détruit l'idée même de perfection, d'achèvement. Aristote, par exemple, il a posé un cadre très très strict là-dessus. Pour lui, l'infini n'existe qu'en puissance.

Intervenant 14:27

En puissance, d'accord. Ça veut dire quoi concrètement ?

Intervenant 24:30

Ça signifie que c'est une possibilité inachevée. Prenez les nombres entiers. Vous pouvez les compter, 1, 2, 3, sans jamais vous arrêter. C'est un processus en cours. C'est l'infini en puissance.

Intervenant 14:41

D'accord. On peut toujours ajouter plus 1.

Intervenant 24:43

Exactement. En revanche, l'infini en acte, c'est-à-dire le fait de considérer l'infini comme un objet mathématique terminé, qu'on peut manipuler, sur lequel on pourrait bâtir des preuves géométriques, ça c'était un véritable blasphème intellectuel.

Intervenant 14:58

Ah, je vois.