Décimales de π : des polygones aux supercalculateurs

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver aujourd'hui pour une plongée mathématique qui est totalement vertigineuse en fait.

Intervenant 20:09

Salut Ibi ! Et ouais, vertigineuse, le mot est faible. On va s'attaquer à un vrai monument aujourd'hui.

Intervenant 10:15

Un monument, c'est le cas de le dire. En fait, pour commencer, j'aimerais que ceux qui nous écoutent essaient de fermer les yeux un instant. Bon, sauf si vous conduisez bien sûr.

Intervenant 20:22

Oui, s'il vous plaît, gardez les yeux ouverts au volant.

Intervenant 10:24

Voilà. Mais sinon, imaginez la fameuse rotonde du Palais de la Découverte à Paris. C'est cette immense salle circulaire hyper majestueuse et ses murs sont littéralement tapissés par une succession infinie de chiffres.

Intervenant 20:39

Ah oui, la fameuse salle de π. C'est vraiment impressionnant quand on est au milieu.

Intervenant 10:43

Grave. Ce sont les décimales du nombre π. Et se tenir au beau milieu de cette pièce, c'est faire face au grand paradoxe qui va guider toute notre discussion d'aujourd'hui.

Intervenant 20:55

Le chaos contre l'ordre absolu.

Intervenant 10:58

Exactement. Quand on regarde cette mer de chiffres peints sur le mur, le 3, le 1, le 4, le 1, le 5, le 9 et ainsi de suite, on a l'impression d'un chaos absolu. C'est une suite qui a l'air de n'obéir à absolument aucun ordre logique, aucune répétition visible.

Intervenant 21:13

Pourtant, la réalité, le truc fou, c'est que chaque chiffre, mais vraiment sans aucune exception, est le résultat d'un calcul mathématique, d'une rigidité et d'une pureté absolue. Ce n'est pas du hasard du tout.

Intervenant 11:24

C'est ça qui est dingue.

Intervenant 21:25

C'est un paradoxe fascinant qui touche presque à la philosophie, tu vois. D'un côté, on a une règle déterministe parfaite et de l'autre, un résultat qui ressemble, à s'y méprendre, à du hasard pur.

Intervenant 11:35

Totalement.

Intervenant 21:35

Et en fait, toute l'histoire de la conquête de ces décimales, c'est l'histoire d'une tension permanente. C'est une espèce de guerre entre notre désir insatiable de précision mathématique.

Intervenant 11:46

Toujours plus loin.

Intervenant 21:47

Voilà, toujours plus loin. Et les limites physiques puis technologiques qui nous empêchent de l'atteindre. L'objectif de notre exploration aujourd'hui, c'est justement de retracer cette évolution spectaculaire.

Intervenant 11:59

Comment on est passé du simple dessin à la machine, quoi ?

Intervenant 22:02

C'est ça. Comment l'esprit humain est-il passé d'une époque où l'on mesurait des contours de cercles avec des simples ficelles dans le sable, à des algorithmes informatiques capables de cracher, genre, plus de 100 000 milliards de décimales exactes ?

Intervenant 12:15

100 000 milliards, c'est... Enfin bref, bon, décortiquons un peu tout ça. Pour comprendre comment on en est arrivé là, il faut vraiment repartir de la base. La toute première ère.

Intervenant 22:24

L'ère de la géométrie pure et dure.

Intervenant 12:27

Exactement. Et tout commence par une observation qui est tellement intuitive qu'on l'a presque tous faite dans une cour de récléation avec un compas. Tu sais, le fameux compas de l'école primaire.

Intervenant 22:37

Ah oui, les fameuses rosaces.

Intervenant 12:39

Les rosaces, voilà. On trace un cercle, on garde la pointe sèche au centre et on reporte l'écartement, donc le rayon, sur le périmètre. Si on fait ça tout le tour, on se rend compte que le rayon rentre exactement

Intervenant 22:51

six fois. Six fois pile.

Intervenant 12:52

Et en reliant ces points, on dessine un hexagone régulier à l'intérieur du cercle. C'est comme les premiers pixels d'un jeu vidéo rétro, c'est très brut.

Intervenant 23:00

Et le truc, c'est que cette simple figure géométrique contient la toute première estimation de π. C'est le point de départ de tout.

Intervenant 13:06

C'est ça ! Si on regarde bien, l'hexagone est composé de 6 triangles éculatéraux. Donc le périmètre de cet hexagone, il vaut très exactement 6 fois le rayon.

Intervenant 23:17

Logique !

Intervenant 13:18

Mais on voit très bien, même à l'œil nu, que le cercle, lui, est légèrement bombé vers l'extérieur. Il englobe l'hexagone, donc le périmètre du cercle est obligatoirement un petit peu plus grand que six fois le rayon.

Intervenant 23:30

Et paf, voilà !

Intervenant 13:31

Et paf ! La relation entre la circonférence et le diamètre, c'est notre fameux π. On vient de prouver, avec juste un compas, que π est strictement supérieur à 3. Zéro décimale exacte, certes, mais c'est le grand point de bascule.

Intervenant 23:46

C'est une intuition fondatrice, vraiment. Et les civilisations antiques, elles vont rapidement chercher à affiner ce constat brut. Parce que 3, c'est bien, mais c'est pas très précis pour construire des clucs.

Intervenant 13:57

C'est clair.

Intervenant 23:57

Du coup, il y a 4000 ans, les babyloniens, en gravant leurs tablettes d'argile cunéiformes, ils utilisaient déjà une valeur beaucoup plus fine. Ils estimaient π à 3 plus 1 huitième.

Intervenant 14:08

Ce qu'ils donnent en langage moderne ?

Intervenant 24:10

Si on traduit ça en décimales, ça donne 3,125. C'est déjà super propre. Et de leur côté, les Égyptiens, ils utilisaient une méthode différente, qui est détaillée dans le fameux papyrus de Rind. Ah

Intervenant 14:20

oui, avec le carré coupé.

Intervenant 24:22

Voilà. Ils partaient d'un carré, ils ont coupé les coins pour former une sorte d'octogone irrégulier. Et de là, ils ont déduisé une approximation qui correspond à la fraction 16 neuvième élevée au carré.

Intervenant 14:34

Ce qui nous donne environ 3,16, c'est ça ?

Intervenant 24:37

C'est ça, environ 3,16. On sent vraiment la volonté de s'approcher de la vérité physique du cercle.

Intervenant 14:43

Oui, mais le souci, c'est que ce sont des approximations qui sont complètement figées. Je veux dire, ils ont une recette de cuisine qui donne un bon résultat pour faire de l'architecture ou de l'ingénierie à l'époque, mais…

Intervenant 24:52

Mais ils n'ont pas de moteur !

Intervenant 14:53

Voilà, ils n'ont pas de méthode pour aller chercher la décimale suivante. Et c'est là qu'arrive le vrai choc conceptuel, celui qui va transformer π en un objet de recherche infini.

Intervenant 25:03

Le grand Archimède.

Intervenant 15:04

Le grand Archimède de Syracuse, au IIIe siècle avant notre ère. Et là, il faut vraiment qu'on s'arrête une seconde sur le contexte technologique de l'époque pour mesurer l'exploit.

Intervenant 25:13

C'est indispensable, ouais.

Intervenant 15:14

Archimède, il n'a pas de calculatrice. Il n'a même pas le système décimal, avec les nombres à virgule qu'on utilise tous les jours. Il n'a pas d'algèbre, pas de symboles X ou Y sur un tableau blanc, et encore moins de trigonométrie formalisée.

Intervenant 25:27

Rien du tout. Tout se fait avec des mots, des proportions et des dessins tracés par terre ou sur du parchemin.

Intervenant 15:34

Et pourtant, avec cet arsenal ultra limité, il invente une méthode révolutionnaire qu'on appelle la méthode d'exhaustion. Moi, ça me fascine. L'idée de génie, c'est de créer une espèce de tenaille mathématique.

Intervenant 25:46

Au lieu de chercher la valeur exacte tout de suite, il va l'emprisonner.

Intervenant 15:49

C'est ça. Il prend un cercle et il dessine un polygone à l'intérieur, disons un hexagone qui touche les bords par l'intérieur. Puis, par dessus, il dessine un autre hexagone, mais à l'extérieur, qui englobe le cercle.

Intervenant 26:02

C'est le fameux polygone inscrit et le polygone circonscrit.

Intervenant 16:05

Le cercle est littéralement pris en sandwich entre les deux.

Intervenant 26:08

Et ça, c'est ni plus ni moins que le principe du théorème des gendarmes qu'on apprend au lycée. La circonférence du cercle, elle est obligatoirement coincée. Elle est plus grande que le périmètre du polygone intérieur et plus petite que celui du polygone extérieur.

Intervenant 16:22

L'étau parfait.

Intervenant 26:24

Au début, avec juste des hexagones, l'écart entre le minimum et le maximum est encore énorme. Mais c'est là qu'Archimède fait une chose brillante. Il trouve une méthode purement géométrique pour calculer le périmètre d'un polygone qui aurait le double de côté.

Intervenant 16:38

Donc ils passent de 6 côtés à 12.

Intervenant 26:39

Puis à 24, puis à 48. Et plus il y a de côtés, plus les polygones épousent parfaitement la courbure du cercle. L'étau se resserre de plus en plus.

Intervenant 16:48

Et c'est là que je me dis, mais la gymnastique mentale que le gars a dû déployer ? Pour calculer ses périmètres à chaque étape, Archimède devait extraire des racines carrées, or les racines carrées de nombres qui tombent pas juste, ça n'a pas de fin.

Intervenant 27:01

C'est des nombres irrationnels, ouais.

Intervenant 17:03

Et le mec a réussi à les encadrer avec des fractions simples, à la main, sans qu'aucun historien des mathématiques aujourd'hui ne sache précisément quel algorithme mental ou quel genre de broujons il utilisait.

Intervenant 27:14

C'est un mystère total. Mais le résultat est là. Il pousse son calcul, à la force de son cerveau, jusqu'à un polygone de 96 côtés. Ça correspond en gros à ce qu'on appellerait la cinquième itération de sa boucle.

Intervenant 17:26

96 côtés à la main ?

Intervenant 27:28

Et là, il sort un encadrement qui va faire date pendant des siècles.