Euler et Fermat : l’enquête sur le pari des nombres complexes

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Bonjour à tous. Aujourd'hui, on va démarrer avec un petit rappel assez basique. Tout le monde sait que le chiffre 4, c'est simplement 2 multiplié par 2.

Intervenant 20:12

Oui, c'est vraiment le socle absolu en mathématiques,

Intervenant 10:15

quoi. Voilà, c'est le truc qu'on apprend dès l'école primaire. La décomposition d'un nombre en facteurs premiers, c'est unique. On pourrait dire que c'est son ADN, en fait.

Intervenant 20:25

Complètement. C'est inaltérable. Enfin, en théorie.

Intervenant 10:28

En théorie, oui. Parce que, et c'est là que ça devient fascinant, imaginons un instant qu'on découvre soudainement que 4, c'est aussi égal à la parenthèse 1 plus i racine de 3, multiplié par la parenthèse 1 moins i racine de 3.

Intervenant 20:43

Ça donne le vertige.

Intervenant 10:45

Mais totalement. Et surtout, qu'est-ce qui se passerait si cette équation unique, qui brise littéralement toutes les règles fondamentales de l'arithmétique, avait par accident créé l'algèbre moderne ?

Intervenant 20:56

C'est précisément le point de départ d'un véritable séisme scientifique qu'on va aborder aujourd'hui.

Intervenant 11:01

C'est ça. C'est pour ça que la mission du jour dans cette nouvelle exploration, c'est de décrypter un article absolument génial de Tangente qui s'intitule « Une preuve bancale révolutionne l'arithmétique ».

Intervenant 21:13

Un titre super accrocheur, en vrai.

Intervenant 11:14

Ouais. Et l'objectif, du coup, c'est de comprendre comment l'un des plus grands génies de l'histoire a pu, comment dire, s'égarer avec une audace pareille.

Intervenant 21:22

Et comment cet excès d'enthousiasme a fini par engendrer une toute nouvelle branche de la science.

Intervenant 11:27

Exactement. Bon, décortiquons un peu tout ça. L'histoire tourne autour de deux géants. D'un côté, Pierre de Fermat, avec son tristement célèbre grand théorème. Et de l'autre, Léonard de l'air, le titan du XVIIIe siècle.

Intervenant 21:41

Et le paradoxe qu'on va explorer aujourd'hui est incroyable. La preuve de l'heure était fausse. Elle était genre pleine de trous, bancale, mais au final...

Intervenant 11:49

Elle a prouvé un truc encore plus grand.

Intervenant 21:51

C'est exactement ça. Mais pour bien mesurer l'ampleur de cette fameuse erreur de l'heure, il faut d'abord regarder la montagne qu'il essayait de gravir.

Intervenant 11:59

Oui, parce qu'il ne s'attaquait pas au théorème de Fermat dans sa totalité, n'est-ce pas ?

Intervenant 22:04

Non, pas du tout. Il s'attaquait à un cas très spécifique, le cas où l'exposant est étroit.

Intervenant 12:09

D'accord, donc on parle de l'équation x³ plus y³ égale z³.

Intervenant 22:15

Voilà. Le but de l'air, c'était de prouver qu'il est strictement impossible de trouver trois nombres entiers qui satisfont cette équation.

Intervenant 12:24

En gros, un cube parfait ne peut jamais être la somme de deux autres cubes parfaits.

Intervenant 22:29

C'est ça. Et pour s'attaquer à ce monument, Euler a dégainé une arme logique que Fermat lui-même adorait utiliser.

Intervenant 12:36

Ah oui, la fameuse redoutable méthode de la descente infinie.

Intervenant 22:39

La descente infinie, exactement. Honnêtement, c'est d'une élégance intellectuelle folle. C'est une démonstration par l'absurbe.

Intervenant 12:46

Et comment ça marche, pour faire simple ?

Intervenant 22:48

L'idée de Bave, c'est de supposer d'abord que l'équation possède une solution. Un trio de nombres entiers strictement positifs.

Intervenant 12:55

Ok, on part du principe que ça marche.

Intervenant 22:57

C'est ça. Et à partir de là, par une saisie de manipulation algébrique, on démontre que si cette première solution existe, alors on peut mécaniquement en fabriquer une deuxième.

Intervenant 13:09

Mais avec des nombres plus petits, c'est bien ça ?

Intervenant 23:11

Strictement plus petits, oui.

Intervenant 13:12

Et c'est là qu'est le piège ?

Intervenant 23:13

Parce que si on a trouvé une solution plus petite, la règle s'applique encore.

Intervenant 13:17

Exactement.

Intervenant 23:18

On en fabrique une troisième encore plus petite, puis une quatrième, et ainsi de suite.

Intervenant 13:22

Et comme on travaille avec des nombres entiers naturels, donc positifs, il y a un problème physique, quoi.

Intervenant 23:27

Voilà, les entiers naturels ont un plancher absolu, le zéro. On ne peut pas descendre indéfiniment en gardant des entiers positifs.

Intervenant 13:34

L'analogie la plus parlante, en fait, c'est d'imaginer quelqu'un qui essaie de descendre un escalier marche après marche.

Intervenant 23:39

Ouais.

Intervenant 13:39

En pensant qu'il s'enfonce sous terre à l'infini alors qu'on sait pertinemment que le bâtiment s'arrête au rez-de-chaussée, il n'y a pas de sous-sol.

Intervenant 23:45

C'est une super image. À un moment, le pied va percuter le béton, quoi.

Intervenant 13:49

Donc, comme on arrive à cette impossibilité, l'hypothèse de départ s'effondre.

Intervenant 23:53

Et la toute première solution ne peut pas exister. Voilà, ça c'est la descente infinie.

Intervenant 13:57

Ok, donc Euler avait très bien compris ça, mais appliquer ça au problème des cubes, ça a viré au cauchemar pour lui.

Intervenant 24:04

Oh que oui. Il y a passé un temps incalculable.

Intervenant 14:07

20 ans, je crois, l'article mentionne ça.

Intervenant 24:10

20 longues années. Deux décennies à se casser les dents dessus. Il y a même une lettre poignante de 1753. Ah

Intervenant 14:17

oui, la lettre à son ami Christian Goldbach.

Intervenant 24:20

C'est ça. Euler lui écrit, avec pas mal d'amertume, qu'il a des pistes pour réfuter les cubes et les puissances de 4, mais qu'il ne voit aucune issue pour prouver le cas général.

Intervenant 14:31

Pour un génie comme Euler, qui résolvait des problèmes de physique et d'astronomie au petit-déjeuner, ça devait être horriblement frustrant.

Intervenant 24:38

Totalement. Et c'est cette frustration qui va le pousser à faire un saut créatif monumental.

Intervenant 14:43

Et c'est là que ça devient vraiment intéressant. On fait un bond en 1770, la publication de ces éléments d'algèbre.

Intervenant 24:49

Voilà.