Euler et les puissances : la conjecture prise en défaut

Intervenant 10:00

Eh bien bonjour et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Quel plaisir de retrouver notre auditoire pour une toute nouvelle aventure.

Intervenant 20:08

Salut Sam ! Oui, je suis vraiment ravie d'être là pour cette exploration. Surtout avec le sujet qu'on a aujourd'hui parce que c'est quand même du lourd quoi !

Intervenant 10:15

Ah bah c'est sûr ! D'habitude, quand on aborde les mathématiques de très haut niveau, on a souvent cette illusion d'une ingénierie un peu parfaite. Tu vois, on pose une équation, on déroule le calcul et puis boum, la vérité surgit pure et inébranlable.

Intervenant 20:31

Oui, c'est le côté très réconfortant des maths. L'idée que la lumière chasse l'ombre sans aucune ambiguïté.

Intervenant 10:37

C'est ça. Sauf qu'aujourd'hui, on va voir que même au sommet de l'Olympe scientifique, la réalité est un peu plus trouble. L'article qu'on va décortiquer pour nos auditeurs s'intitule, de manière très frontale, « Quand Euler commet des erreurs ».

Intervenant 20:51

Rien que le titre, pour n'importe quel mathématicien, ça donne un petit vertige. Je veux dire, on parle de Léonard Delers.

Intervenant 10:57

Exactement, le génie absolu, le gars qui calculait mentalement avec une aisance qui terrifiait ses contemporains.

Intervenant 21:03

Ah bah carrément, même après avoir perdu la vue, il continuait à produire des théorèmes à la chaîne. Donc lire qu'il s'est planté, ça remet pas mal de choses en perspective.

Intervenant 11:12

Complètement. Et la mission de ce numéro, c'est justement de disséquer cette erreur magistrale. On va voir comment Euler a formulé une conjecture hyper audacieuse sur les sommes de puissance. Et surtout, comment il s'est pris les pieds dans le tapis de ses propres démonstrations.

Intervenant 21:26

Et comment, au final, l'histoire et surtout les ordinateurs modernes ont fini par lui donner tort de manière assez spectaculaire.

Intervenant 11:33

Voilà. Bon, décortiquons tout ça. Pour comprendre la chute de l'air, il faut d'abord comprendre son ambition. Et son but, c'était de se mesurer au fantôme d'un autre titan des mathématiques.

Intervenant 21:45

Pierre de Fermat. L'ombre de Fermat est omniprésente en théorie des nombres, de toute façon.

Intervenant 11:50

Ah ça, le mec adorait rendre fous les autres mathématiciens.

Intervenant 21:54

Grave, hein ? Fermat avait cette habitude, que beaucoup trouveraient un peu cruelle aujourd'hui, de laisser des petites notes griffonnées dans les marges de ses bouquins. Il disait genre « Ah, j'ai trouvé une démonstration merveilleuse de ce théorème, mais la marge est trop petite pour l'écrire. »

Intervenant 12:07

Le troll originel, quoi.

Intervenant 22:09

C'est exactement ça. Et sa note la plus célèbre, qui est devenue le fameux grand théorème de Fermat, affirmait qu'il est impossible de trouver des entiers positifs qui satisfont l'équation de base des puissances supérieures à 2.

Intervenant 12:21

En gros, on ne peut pas diviser un cube parfait en deux autres cubes entiers, ni une puissance quatrième en deux puissances quatrièmes.

Intervenant 22:30

Voilà. Et ça, c'est une énigme qui n'a été résolue de manière absolue qu'en 1994, grâce à Andrew Wiles. Ça a pris des siècles.

Intervenant 12:39

Des siècles, ouais. Mais Euler, lui, il est au XVIIIe siècle. Il se penche sur cette énigme et face à un puzzle aussi complexe, il ne peut pas s'empêcher de le rendre encore plus vaste.

Intervenant 22:50

C'est typique de l'air ça. Il ne se contente pas de chercher une preuve pour Fermat, il veut en faire une loi universelle.

Intervenant 12:57

Exactement. Il postule que pour tout entier n strictement supérieur à 2, eh bien la somme de n-1 puissance énième ne pourra jamais donner une puissance énième.

Intervenant 23:06

C'est une généralisation hyper audacieuse.

Intervenant 13:09

Oui, et pour que notre auditoire visualise un peu la chose, j'aime bien utiliser une analogie visuelle. C'est comme si on disait, imaginons qu'on a deux blocs de métal qui sont des cubes parfaits.

Intervenant 23:20

Ok,

Intervenant 13:21

je te suis. Si on les fait fondre ensemble dans une fonderie pour essayer de remplir un nouveau moule en forme de grand cube, et bien Euler dit qu'on n'arrivera jamais à former un cube parfait. Ça va forcément déborder ou il encra un peu de matière.

Intervenant 23:33

Ouais, l'analogie est parlante.

Intervenant 13:35

Et donc, par extension, pour la dimension 4, réunir trois éléments ne suffirait jamais. Il en faudrait obligatoirement quatre. Et pour la dimension 5, il en faudrait cinq, etc. L'analogie donne un vrai sentiment d'évidence.

Intervenant 23:48

Sauf que, et c'est là qu'il faut être prudent, physiquement parlant, cette analogie a une faille majeure.

Intervenant 13:54

Ah, hum...

Intervenant 24:03

Si on entre dans une vraie fonderie, on peut tout à fait fondre deux cubes en métal de tailles différentes et couler un nouveau cube absolument parfait. Le volume liquide total, il existe vraiment dans le monde réel.

Intervenant 14:15

Ah oui, vu comme ça.

Intervenant 24:16

Le truc, c'est que la contrainte monumentale des mathématiciens ici, la règle d'or de Fermat et de Lers, c'est l'entier absolu. Dans le monde physique, le côté de ton nouveau cube mesurerait peut-être 12,599 cm. Mais l'arithmétique pure refuse des

Intervenant 14:31

virgules.

Intervenant 24:34

Exactement. Toute la difficulté du problème réside dans le fait de rester confiné dans l'univers strict des nombres entiers. Donc l'intuition géométrique ou physique, pour le coup, c'est un vrai miroir aux alouettes.

Intervenant 14:45

C'est une distinction fondamentale, effectivement. L'esthétique de son idée l'a poussé à généraliser, mais on sent bien que le piège se referme sur lui. Ouais, plongeons là-dedans. Pour essayer de prouver ça, Euler s'appuie sur une mécanique qui a été inventée par Fermat lui-même, qu'on appelle la méthode de la descente infinie.

Intervenant 25:03

Une méthode redoutable.

Intervenant 15:05

De ce que je comprends de l'article, c'est une sorte de raisonnement parlable surbe. On peut imaginer ça comme un grand escalier. On suppose d'abord qu'une solution existe, tout en haut de cet escalier. Et ensuite, on manipule l'équation pour prouver que, si cette solution existe, alors on peut obligatoirement en construire une plus petite, qui correspond à la marche juste en-dessus.

Intervenant 25:24

C'est tout à fait ça. Et la beauté mortelle de ce raisonnement, c'est que si tu peux descendre d'une marche, la logique t'impose de pouvoir descendre encore et encore à l'infini.

Intervenant 15:33

Sauf qu'on est chez les entiers positifs.

Intervenant 25:35

Et voilà le piège. Un escalier d'entier positif possède un sol en béton armé qui est le zéro. On ne peut pas avoir d'entier positif plus petit que 1. Donc on ne peut pas descendre indéfiniment.

Intervenant 15:45

Ah je vois, donc ce paradoxe physique prouve que l'hypothèse de départ, l'existence de la toute première marche, est une illusion absolue. La solution initiale n'existe tout simplement pas.

Intervenant 25:55

Exactement ! Le raisonnement par l'absurde est parfait sur le papier.

Intervenant 15:59

La mécanique logique semble inattaquable. L'édifice a l'air super solide. Alors, où est-ce que l'air trébuche dans son calcul ?

Intervenant 26:07

Le diable se cache dans les détails, ou plutôt dans les étapes intermédiaires. Pour faire fonctionner le moteur de cette fameuse descente en fini, Euler doit prouver un point très précis.

Intervenant 16:16

Lequel ?

Intervenant 26:17

Il doit montrer que si on prend deux nombres entiers, m et n, qui n'ont pas de diviseur commun, et que l'expression m² plus 3 fois n² donne un cube parfait,

Intervenant 16:27

Ok, je note m² plus 3n². C'est

Intervenant 26:30

ça.