Formule d’Euler : du cube au tesseract, étape par étape

Intervenant 10:00

Salut à toutes et à tous et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est vraiment une joie absolue d'accueillir les auditeurs pour cette nouvelle plongée sonore.

Intervenant 20:08

Bonjour Sam et merci beaucoup pour l'invitation, je suis vraiment ravie d'être là.

Intervenant 10:12

Alors aujourd'hui, préparez-vous, on va imaginer un instant une forme géométrique totalement invisible. Un truc qui flotterait dans un espace à, disons, mille dimensions.

Intervenant 20:22

C'est vrai que dit comme ça, ça sonne complètement comme de la pure science-fiction.

Intervenant 10:25

Grave. Mais en fait, non. C'est une structure mathématique qui est bien réelle et ses angles, qui sont super pointus, sont littéralement en train, à la seconde même où on se parle, de dicter très exactement comment des millions de camions de livraison se déplacent à travers le monde.

Intervenant 20:40

Et c'est là tout l'enjeu de notre exploration d'aujourd'hui.

Intervenant 10:43

Exactement. On se base sur un article vraiment fascinant qui s'intitule « Ravissement géométrique autour de la formule d'Euler ». Et la mission de ce voyage, c'est de comprendre comment une équation qui a l'air toute simple, le genre de truc qu'on apprend presque à l'école primaire, arrive à déverrouiller les secrets de la quatrième dimension.

Intervenant 21:02

Pour finalement, oui, en arriver à piloter toute notre économie mondiale moderne. C'est un sacré grand écart.

Intervenant 11:08

Ah, mais c'est un truc de dingue. Et d'ailleurs, pour donner une idée à notre audience de la puissance de ce qu'on va aborder, il y a un détail absolument génial dans nos sources.

Intervenant 21:16

Sur Léonard Delers, c'est ça.

Intervenant 11:17

Voilà. Le gars est une telle rock star des mathématiques que sa fameuse formule, elle s'est retrouvée imprimée sur des timbres postes des deux côtés du rideau de fer.

Intervenant 21:26

En pleine guerre froide,

Intervenant 11:27

ouais. C'est ça. On l'a vu en Allemagne de l'Est en 1983 pour le bicentenaire de sa mort, et puis aussi en Suisse en 2007. Donc on parle d'une équation qui transcende littéralement l'histoire humaine.

Intervenant 21:37

C'est clair. Et je pense que c'est le point de départ parfait. Mais bon, avant de s'envoler vers ces espaces à mille dimensions qui gèrent nos colis, il faut impérativement revenir à la base.

Intervenant 11:48

C'est-à-dire à notre bon vieux monde en 3D ?

Intervenant 21:50

Tout à fait. Le monde physique, celui qu'on peut toucher. La formule classique de l'air, en fait, elle pose une loi fondamentale. Une sorte de vérité immuable pour n'importe quel polyèdre convexe.

Intervenant 12:01

Alors polyèdre convexe, juste pour qu'on visualise bien, c'est un volume classique sans creux, c'est ça ? Genre une pyramide ou un diamant ?

Intervenant 22:08

C'est exactement ça. Sans aucun trou. Prenons l'exemple le plus simple.

Intervenant 12:12

Un dé à jouer.

Intervenant 22:13

Le nombre de ces sommets, donc ces pointes, qu'on ait soustrait le nombre de ces arêtes, les petites lignes qui relient les pointes, et qu'on ajoute le nombre de ces faces plates, le résultat sera toujours 2. Attendez, on va faire le calcul en direct. Donc sommet moins arête plus face égale 2, c'est ça. Sur un cube, on a 8 sommets et 12 arêtes. Ok, donc 8 moins 12, ça fait moins 4, plus 6 faces. Ah ! Et moins 4 plus 6, on retombe pile sur 2. Waouh ! Et la beauté de la chose, c'est que si on prend ce cube et qu'on le taille n'importe comment pour lui donner, je ne sais pas, 50 faces complètement irrégulières, tant qu'il reste convexe, j'imagine, exactement, tant qu'il reste convexe, l'équation s'équilibrera pour faire 2, sans la moindre exception.

Intervenant 12:59

Ok, je comprends tout à fait pourquoi c'est hyper élégant en trois dimensions, mais si c'est vraiment une loi universelle de la géométrie, ça ne devrait pas s'arrêter aux objets en volume, si ?

Intervenant 23:09

C'est une excellente réflexion.

Intervenant 13:11

Ben oui. Est-ce que cette petite comptabilité marche toujours si on descend d'un étage, genre sur une simple feuille de papier en 2D ?

Intervenant 23:18

Eh bien, c'est très exactement la question que s'est posée Henri Poincaré, le brillant mathématicien français. Il a voulu savoir si on pouvait généraliser ça à n'importe quelle dimension.

Intervenant 13:28

D'accord, décortiquons tout ça. Comment il a fait ?

Intervenant 23:31

Il a introduit un outil d'une élégance absolue. Ça s'appelle la somme alternée. En gros, Poincaré a dit qu'il fallait simplement compter les éléments de chaque dimension d'un objet, mais en alternant les signes mathématiques.

Intervenant 13:43

Plus, moins, plus, moins. Ok, donc on additionne les points, on soustrait les lignes, on additionne les surfaces…

Intervenant 23:50

C'est ça. On soustrait les volumes, etc. Et selon lui, le résultat doit toujours se stabiliser sur le chiffre 1. Enfin, à condition d'omettre le volume global de l'obret à la toute fin.

Intervenant 14:01

Attendez, je veux être bien sûr de visualiser la mécanique. Si on prend un dessin tout simple sur une feuille, allez, un carré tracé au crayon, comment cette somme de points carrés s'applique là-dessus ?

Intervenant 24:10

Faisons-le ensemble. Un carré plat, on est en deux dimensions. On commence par la dimension 0, donc les points.

Intervenant 14:17

Un carré à quatre sommets, donc on note plus 4.

Intervenant 24:20

Ensuite, la dimension 1, les lignes. Le carré à quatre arêtes, on alterne le signe, donc on soustrait.

Intervenant 14:26

4 sommets moins 4 arêtes. Bim, on est à zéro.

Intervenant 24:30

Et enfin, on monte à la dimension 2, la surface plane. Le carré possède une seule surface intérieure. On alterne encore le signe, donc on additionne. 0 plus

Intervenant 14:39

1. Ça fait 1. Le compte est parfait. C'est fou.

Intervenant 24:43

Et le plus beau, c'est que ça marche même plus bas, en dimension

Intervenant 14:46

1. Genre juste un segment, une ligne droite ?

Intervenant 24:50

Dimension 0, les extrémités, donc deux points. Dimension 1, l'arête qui les relie, donc une arête. 2 moins 1, ça fait 1.

Intervenant 14:59

Et si on descend à la dimension 0 ?

Intervenant 25:01

Un simple point, tout seul, immobile dans le vide.

Intervenant 15:04

Et bien il n'y a qu'un coin, pas d'arête, pas de surface, le résultat est directement 1. La mécanique est implacable.

Intervenant 25:11

Wow, ça donne vraiment l'impression que la géométrie possède une sorte de code génétique indestructible.

Intervenant 15:17

Mais il y a un détail hyper important que nos sources martèlent.

Intervenant 25:20

Oui, la fameuse condition.

Intervenant 15:22

Voilà. Tout ça ne fonctionne que si la forme est convexe. Et c'est un mot un peu technique pour notre audience. Donc, si on essaie d'imaginer ça, imaginons une pastèque.

Intervenant 25:30

Une belle pastèque bien ronde, oui.

Intervenant 15:32

C'est ça. Si je choisis deux pépins n'importe où à l'intérieur et que je trace une ligne droite imaginaire entre les deux, ma ligne restera toujours confinée à l'intérieur de la chair du fruit. Ça, c'est convexe. ELR règne en maître.

Intervenant 25:47

L'analogie est très bonne.

Intervenant 15:48

Merci Ève. Mais du coup, que se passe-t-il si je remplace ma pastèque par un immense donut avec un bon gros trou au milieu ?

Intervenant 25:55

Et là, tout bascule. Si vous prenez un point dans le côté de la pâte du donut et un autre point de l'autre côté, la ligne droite entre les deux va inévitablement sortir de l'objet pour traverser le trou au milieu.

Intervenant 16:07

Ah ouais, elle passe dans le vide.

Intervenant 26:08

Exactement. Et ça, c'est une forme non convexe. Il y a une faille topologique. Face à un objet avec des trous, la magnifique régularité de point carré s'effondre totalement. Le calcul panique.

Intervenant 16:20

Donc, pas de trou, équation invincible. C'est noté. Alors, mettons cette invincibilité à l'épreuve. On a vu le point en 0D, la ligne en 1D, le carré en 2D et le D en 3D.

Intervenant 26:33

Et il est temps de passer à la suite.

Intervenant 16:35

C'est le moment de vérité. Qu'est-ce qui se passe quand on franchit le mur de notre réalité physique et qu'on entre de plein pied dans la quatrième dimension ? Le fameux tesseract.

Intervenant 26:45

Alors là, c'est vraiment le saut conceptuel le plus vertigineux. Et pour que l'audience puisse suivre, il ne faut surtout pas essayer de le voir avec nos yeux humains. Notre cerveau n'est pas câblé pour. Il faut juste suivre la logique de construction.

Intervenant 16:56

Ok, on va y aller pas à pas.

Intervenant 26:58

Comment on crée un volu en 3D ? Vous prenez un carré plat, vous le tirez vers le haut dans une troisième direction et vous tracez des lignes pour relier l'ancien carré au nouveau. Paf, ça fait un cube.

Intervenant 17:08

Jusque là, je vous suis. C'est comme étirer de la pâte à modeler.

Intervenant 27:11

Pour le tesseract, en 4D, c'est la même recette sauf que vous prenez votre cube solide en 3D et vous l'étirez dans une quatrième dimension géométrique.

Intervenant 17:21

Et on ne parle pas de temps, attention.

Intervenant 27:23

Non, un axe spatial, l'axe W, invisible, perpendiculaire à tout le reste. Vous dupliquez votre cube le long de cet axe et vous reliez tous les sommets du premier cube au deuxième.

Intervenant 17:35

Ok, le cerveau commence à chauffer.

Intervenant 27:37

Et le bilan comptable de cette nouvelle forme est hallucinant. Le tesseract possède 16 sommets, 32 arêtes, 24 faces plates et 8 volumes internes en 3D, qu'on appelle des cubes.

Intervenant 17:50

Attendez, quoi ? 8 cubes à l'intérieur d'une seule et même forme ? Là, je décroche. Je veux bien les 16 pointes, puisqu'on a dupliqué 8 sommets, 8 plus 8, 16. Mais comment on passe de 2 cubes reliés À huit cubes internes. D'où sortent les six autres ? C'est comme des poupées russes décalées dans une perspective impossible.

Intervenant 28:14

C'est ça la magie du déplacement dimensionnel. Revenons à la création de notre cube normal. Quand on a tiré notre carré vers le haut, les quatre bords du carré se sont étirés dans le vide. En bougeant, chaque ligne a tracé un nouveau carré, créant les murs verticaux du cube.

Intervenant 18:30

Ah mais oui ! La ligne bouge et laisse une trace qui devient une surface.

Intervenant 28:35

Exactement ! Appliquez ça au tesseract. Quand vous tirez votre premier cube à travers l'axe W, que se passe-t-il pour ces six faces plates ?

Intervenant 18:45

Oh la vache !

Intervenant 28:45

Eh oui ! En bougeant, ces six surfaces plates laissent une trace. Une surface en mouvement crée un volume, elle s'étire et deviennent six nouveaux cubes solides qui ferment la frontière du tesseract.

Intervenant 18:58

Mais c'est absolument brillant. Donc, le cube de départ, le cube d'arrivée et les six faces qui se sont étirées. Plus un, plus six, huit cubes, huit chores. Et l'équation tient toujours ?

Intervenant 29:10

Faisons le calcul. 16 sommets, dimension 0. Moins 32 arêtes, dimension 1.

Intervenant 19:16

Ça fait moins 16.

Intervenant 29:18

Plus 24 faces plates.

Intervenant 19:19

On remonte à plus 8.

Intervenant 29:21

Moins nos witchers, les cubes internes.

Intervenant 19:23

Et on tombe sur un zéro parfait. C'est fou. Le bilan s'équilibre. Et je crois que les sources mentionnent d'autres formes, non ? L'hypercône, le pantachor ?

Intervenant 29:31

Oui, l'hypersilindre aussi. Sur toutes ces formes, Euler est implacable. Zéro parfait, et avec le volume global, on retrouve 1.

Intervenant 19:40

C'est prodigieux. Mais il y a une question qui me taraude et je suis sûr que notre audience se la pose aussi. Comment les mathématiciens peuvent-ils être absolument sûrs que ça marchera toujours ? On parle de trucs qu'on ne touchera jamais. Qu'est-ce qui prouve qu'un polytope en dimension 80 ne va pas juste briser l'équation ?

Intervenant 29:55

Ils en sont sûrs parce qu'ils ne se contentent pas de les regarder. Ils les

Intervenant 19:59

torturent.

Intervenant 210:00

Topologiquement parlant, oui. Nos sources détaillent cette modification brutale qu'on peut faire subir à ces formes. On peut dédoubler un sommet, étirer une arête, écraser une pointe pour l'aplatir.

Intervenant 110:11

Mais si j'aplatis ou j'arrache un morceau, le bilan comptable devrait complètement exploser ?

Intervenant 210:15

Eh ben non, et c'est là le génie de la somme alternée. C'est une vraie mécanique d'horlogerie. Imaginez qu'on tire sur un sommet, pour le scinder en deux. On crée un nouveau sommet, donc c'est plus 1. Mais pour relier ce sommet, la forme va devoir générer de nouvelles arêtes, disons 3 arêtes. Comme le signe est négatif, c'est moins 3.

Intervenant 110:34

Ok.

Intervenant 210:35

Et ces arêtes vont créer de nouvelles faces, disons 2 faces. Signe positif, plus 2.

Intervenant 110:41

Laissez-moi calculer. Plus 1, moins 3, ça fait moins 2. Plus 2, 0. L'impact sur l'équation est nul. C'est littéralement une partie de tap-top en fait.

Intervenant 210:54

Du tap-top ?

Intervenant 110:55

Bah oui, le jeu d'arcade où on tape avec un marteau.

Intervenant 210:58

On aplatit un sommet d'un côté et bim, une arête apparaît de l'autre côté de l'équation pour absorber le choc.

Intervenant 111:03

C'est une excellente image, c'est exactement ça. Rien ne se perd, tout s'équilibre dans les signes. Tant qu'il n'y a pas de trou, l'équation est un amortisseur parfait.

Intervenant 211:12

Incroyable ! Et d'ailleurs, ce qui est fascinant ici, c'est que cette invulnérabilité mécanique nous amène à la notion la plus poétique de nos sources, la dualité.

Intervenant 111:22

Ouh, j'aime ce mot !

Intervenant 211:24

Si tout est si parfaitement équilibré, que se passe-t-il si on inverse littéralement la réalité de la forme ?

Intervenant 111:30

Inverser la réalité, c'est-à-dire ?

Intervenant 211:33

Imaginez un cube. Prenez le centre exact de ses six faces plates et décidez que ce sont désormais vos nouveaux sommets. À l'inverse, tranchez les huit coins pointus du cube pour en faire les centres de nouvelles faces plates. Vous venez de retourner le cube comme un gant. Et la forme qui apparaît, c'est un octahèdre parfait.

Intervenant 111:52

C'est là que ça devient vraiment fascinant. C'est un échange de corps, un vrai Freaky Friday géométrique. Le cube avait 8 sommets et 6 faces, et l'octahèdre a 6 sommets et 8 faces. Les chiffres se sont croisés.

Intervenant 212:05

C'est exactement ça. Et en dimension 4, le tesseract, avec ses 16 sommets et 8 chors, se transforme en hexadecachor, qui a 8 sommets et 16 chors.

Intervenant 112:16

Et ça continue à l'infini ?

Intervenant 212:18

Presque. Il y a des formes autoduales. Lycosite et Trachor en dimension 24 et son propre miroir parfait. On le retourne et il reste lui-même.

Intervenant 112:27

Wow. Honnêtement, on a l'impression d'explorer les joyaux cachés de l'univers. Mais il faut qu'on redescende sur Terre deux minutes.

Intervenant 212:33

Je sens venir la question fatidique.

Intervenant 112:36

Ben oui, quand on écoute tout ça, on pourrait se dire que ce sont juste de jolies casse-têtes pour des mathématiciens enfermés dans un bureau avec un tableau noir. Mais nos sources sont formelles. Ces formes en 4D ou en dimension 100 contrôlent le monde industriel moderne. Comment c'est possible ?

Intervenant 212:50

Pour relier l'abstrait à l'usine, il faut parler du simplex. C'est l'hypervolume le plus basique, le triangle en 2D, le tétraèdre en 3D. En 1947, Georges Danzig a créé l'algorithme du simplex, la naissance de la programmation linéaire.

Intervenant 113:05

Et est-ce qu'il a vu que les autres n'ont pas vu ?

Intervenant 213:07

Il a compris qu'un problème d'optimisation d'entreprise n'est rien d'autre qu'un gigantesque polyèdre multidimensionnel.

Intervenant 113:14

Alors, qu'est-ce que tout cela signifie au fond ? Comment transforme une entreprise en polyèdre ?

Intervenant 213:18

Chaque variable de votre problème est une dimension. Vous optimisez des livraisons, les camions, l'essence, le temps. Ça fait trois dimensions. Vous ajoutez les payages, les salaires, l'usure. Chaque variable rajoute un axe perpendiculaire.

Intervenant 113:32

Donc, un problème complexe existe dans un espace à mille dimensions. Ça fonde cerveau.

Intervenant 213:37

Oui, mais l'ordinateur gère. Ensuite, vos contraintes budgétaires coupent cet espace et forment les murs plats d'un hyperpolyèdre. Et c'est là qu'interviennent Euler et la convexité.

Intervenant 113:47

Ah, on y vient.

Intervenant 213:50

La géométrie prouve que la solution parfaite, l'endroit où l'entreprise est la plus rentable, ne flotte jamais au milieu. Elle est toujours située sur l'une des pointes, sur un sommet de la forme.

Intervenant 113:59

C'est un truc de fou. Donc quand un logiciel calcule les trajets de milliers de camions, il n'est pas en train de faire de simples additions. Il est littéralement en train de glisser physiquement sur les arêtes d'un tesseract géant, de sommet en sommet, pour trouver la pointe la plus haute.

Intervenant 214:15

Exactement. Et le coup de grâce de Dantzig, c'est qu'il utilise la dualité. Si le polytope est trop complexe, l'algorithme inverse le problème. Il transforme les variables en contraintes, comme le cube en octahèdres.

Intervenant 114:27

Et il trouve le même résultat.

Intervenant 214:28

Strictement le même. Il saute du problème primal au dual pour gagner du temps.

Intervenant 114:33

Quel voyage étourdissant ! Si on résume, on est parti d'une simple formule, on a traversé la quatrième dimension, on a retourné des formes géométriques comme des chaussettes pour atterrir dans les logiciels de logistique.

Intervenant 214:45

C'est toute la beauté des mathématiques. Mais avant de clore, je voudrais laisser une petite pensée provocatrice à l'audience. On a vu que tout ça repose sur la convexité.

Intervenant 114:54

La fameuse pastèque sans trou.

Intervenant 214:55

Oui. Et si les données de notre monde réel comportaient une anomalie, un vide topologique ? Si l'économie créait un donut en mille dimensions, l'algorithme glisserait sur une arête et tomberait dans le vide de ce trou mathématique.

Intervenant 115:11

Exactement.

Intervenant 215:12

Le système tournerait dans le vide, incapable de trouver un sommet.

Intervenant 115:16

Eh ben, c'est une sacrée image pour finir. Une vraie invitation à voir la géométrie absolument partout autour de nous. Un immense merci à notre audience pour sa curiosité et on se retrouve très vite pour une nouvelle exploration.