Séries divergentes : comment leur attribuer une valeur ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est un plaisir de retrouver les auditeurs pour une nouvelle plongée mathématique.

Intervenant 20:08

Salut Alins. Ouais, je suis super content d'être là pour cette exploration.

Intervenant 10:12

Et aujourd'hui, on s'attaque à un truc qui fracasse littéralement le bon sens. Posons le problème brutalement. Que se passe-t-il si on additionne tous les nombres antipositifs ?

Intervenant 20:23

Ah oui, la fameuse question !

Intervenant 10:24

Donc 1, plus 2, plus 3, plus 4, et ainsi de suite jusqu'à l'infini. L'instinct hurle que ça va donner l'infini, on est d'accord ?

Intervenant 20:32

Bah oui, c'est l'évidence même. La montagne de nombres devient infiniment grande.

Intervenant 10:36

Et pourtant, tenez-vous bien, on va découvrir dans un instant comment, dans un certain cadre, cette somme infinie peut être égale à moins un douzième.

Intervenant 20:45

C'est complètement fou quand on entend pour la première fois.

Intervenant 10:48

Un nombre négatif.

Intervenant 20:49

Et une fraction en plus. C'est presque provocateur en fait. C'est clair. Mais c'est ça qui rend le sujet fascinant. Le but de notre analyse aujourd'hui, c'est pas de faire de la magie avec les chiffres.

Intervenant 10:58

Non, on laisse ça aux prestigés digitateurs.

Intervenant 21:01

Voilà. Le but, c'est de comprendre comment les mathématiciens dépassent le cadre classique. Ils font ça pour accélérer des calculs ou pour donner du sens à des trucs absurdes.

Intervenant 11:09

Ce qu'on appelle les séries divergentes, c'est ça ?

Intervenant 21:11

Exactement. Attribuer une valeur exacte à ces équations qui, techniquement, devraient exploser en vol.

Intervenant 11:17

Ok. Décortiquons cela. Pour comprendre comment on arrive à moins un douzième, il faut d'abord voir pourquoi on a voulu modifier l'addition classique. Et ça commence avec un bête problème de lenteur, en fait.

Intervenant 21:27

Ouais, un problème très concret. Prenons la série harmonique alternée.

Intervenant 11:31

Vas-y, rappelle-nous ce que c'est.

Intervenant 21:32

Bah, on part de 1, on soustrait un demi, on ajoute un tiers, on soustrait un quart, etc. C'est une série qui finit par s'arrêter. Elle converge vers le logarithme népérien de 2.

Intervenant 11:44

Ce qui donne environ 0,693 145, pour ceux qui aiment les décimales.

Intervenant 21:51

Tout à fait. Mais le souci, c'est que cette série est d'une lenteur désespérante. Pour avoir seulement 10 chiffres significatifs de ce résultat, tu sais combien de termes il faut additionner ?

Intervenant 12:02

Je dirais quelques milliers ?

Intervenant 22:03

Pas du tout. Il faut 10 milliards de termes.

Intervenant 12:05

Attends, 10 milliards ? Mais c'est comme essayer de vider l'océan avec une petite cuillère.

Intervenant 22:10

C'est exactement ça. Avant les supercalculateurs, c'était juste impossible à utiliser en pratique.

Intervenant 12:15

Il doit bien y avoir un raccourci, non ? Un algorithme magique ?

Intervenant 22:18

Bah le raccourci, c'est Léonard Delair qui l'a trouvé.

Intervenant 12:21

Ah, Euler, toujours lui.

Intervenant 22:23

Toujours. Au lieu de prendre les termes un par un, il les regroupe. Il utilise des coefficients basés sur le développement du binôme de Newton, multipliés par des puissances de 1,5.

Intervenant 12:34

Donc si je comprends bien, au lieu de subir les hauts et les bas de la série, il lisse la trajectoire en créant des paquets ?

Intervenant 22:40

Ouais. C'est un peu comme un casque à réduction de bruit actif. Ça écrase les fluctuations. Et le résultat est terrifiant d'efficacité.

Intervenant 12:48

Genre on passe de 10 milliards à combien ? À

Intervenant 22:50

30 termes.

Intervenant 12:51

Juste 30 opérations pour trouver les 10 chiffres de Hélène Dedeux.

Intervenant 22:55

Seulement 30 oui. On passe d'un cauchemar mathématique à un calcul faisable sur un bout de papier.

Intervenant 12:59

Le gain de vitesse est monumental. Mais c'est là que ça devient vraiment intéressant. Parce que si cet outil marche sur une série qui a une fin, que se passe-t-il si on l'applique de force à une série rebelle ?

Intervenant 23:09

Une série divergente ? Ouais. Prenons la série de Grandi par exemple.

Intervenant 13:14

Celle qui fait 1-1 plus 1-1 à l'infini.

Intervenant 23:17

C'est ça. À l'école primaire, cette somme n'a pas de sens. Selon où tu t'arrêtes, c'est soit 1, soit 0. L'oscillation ne s'arrête jamais.

Intervenant 13:26

Mais si on la jette dans la broyeuse de l'air ?

Intervenant 23:28

Eh bien, la méthode de l'air force la convergence et recrache la valeur exacte de 0.

Intervenant 13:34

Zéro. Mais attends, le truc fou c'est qu'il y a d'autres méthodes, non ?

Intervenant 23:37

Oui.