Pourquoi la moyenne géométrique reste-t-elle sous l’arithmétique ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente et on est vraiment ravis de vous accueillir pour ce nouveau décryptage.

Intervenant 20:08

Salut Evelyne, très content d'être là pour décortiquer tout ça avec toi aujourd'hui.

Intervenant 10:12

Allez, on commence direct avec une petite expérience, un petit test mental.

Intervenant 20:16

Je t'écoute.

Intervenant 10:17

Imaginons un produit quelconque, n'importe lequel, dans les rayons d'un supermarché.

Intervenant 20:23

Un paquet de pâtes, disons.

Intervenant 10:24

Ouais, un paquet de pâtes. Une année, son prix augmente de 10%. Et l'année suivante, suite à une pénurie par exemple, pam, le prix explose et augmente de 50%.

Intervenant 20:36

Aïe, le fameux coup de l'inflation.

Intervenant 10:39

C'est ça. Et la question est vraiment rudimentaire. Quelle est la hausse moyenne annuelle sur ces deux ans ? Instinctivement, l'esprit hurle et la réponse. On se dit 10 plus 50, ça fait 60. On divise par deux.

Intervenant 20:51

Et donc la moyenne est de 30%.

Intervenant 10:53

Voilà. Sauf que mathématiquement, ce calcul est une erreur totale. Notre cerveau vient de tomber la tête la première dans un piège classique.

Intervenant 21:02

Ce qui est fascinant ici, c'est que l'intuition nous joue vraiment des tours redoutables dès qu'il s'agit d'analyser des phénomènes continus. Oui, c'est clair. D'ordinaire, tu vois, les mathématiques pourraient sembler être un univers hyper figé, un peu un ensemble de formules gravées dans le marbre qu'on applique machinalement.

Intervenant 11:19

C'est l'image qu'on en a, oui.

Intervenant 21:20

Mais en s'appuyant sur ce super article, une histoire de moyenne bien rangée, notre mission aujourd'hui, c'est de démontrer que des concepts qui ont l'air tout simples, comme cette fameuse moyenne, ils cachent des structures hyper profondes.

Intervenant 11:31

On va carrément voyager aujourd'hui,

Intervenant 21:33

non ? Exactement ! On part de cette banale augmentation de prix au supermarché pour finir par gravir les sommets vertigineux de l'analyse mathématique. Le but, c'est de comprendre les mécanismes profonds sans perdre en rigueur mais en restant accessible.

Intervenant 11:49

Ok, décortiquons tout ça. Pourquoi cette moyenne classique, la fameuse moyenne arithmétique de 30% que tout le monde fait de tête, c'est une illusion totale ?

Intervenant 21:58

Bah, observons ce qui se passe si on applique vraiment cette moyenne de 30% chaque année. Mathématiquement, une hausse de 30%, ça revient à multiplier ton prix par 1,30.

Intervenant 12:08

D'accord.

Intervenant 22:08

Donc si on simule ça sur deux ans, on prend le prix initial, on fait fois 1,30 pour la première année, puis on remultiplie par 1,30 pour la deuxième.

Intervenant 12:18

Ce qui nous donne ?

Intervenant 22:19

1,69. Ce qui veut dire que sur deux ans, l'augmentation globale serait de 69%. Ah

Intervenant 12:23

ouais, sauf que dans la réalité, l'enchaînement des événements est complètement différent. La première année, la hausse de 10%, c'est une multiplication par 1,1. C'est ça. Et la seconde année, la hausse de 50%, c'est une multiplication par 1,5. Donc si on enchaîne les vrais événements, on fait 1,1 fois 1,5 et ça, ça donne un coefficient de 1,65.

Intervenant 22:47

Voilà, la hausse globale réelle sur notre paquet de pâtes, elle est seulement de 65%.

Intervenant 12:53

Le décalage est quand même dingue. On a 69% si on suit notre intuition arithmétique, contre 65% dans la réalité du portefeuille.

Intervenant 23:01

Exactement. En fait, la véritable hausse moyenne annuelle, elle doit être modélisée par un seul coefficient unique, disons une variable, qu'on appelle k.

Intervenant 13:10

Ok.

Intervenant 23:11

Ce k, si on l'applique deux fois de suite, il doit nous donner notre fameux coefficient final de 1,65. Donc on cherche un nombre k, tel que k fois k, ou k² si tu préfères, soit égal à 1,65.

Intervenant 13:25

Et la racine carrée de 1,65, si on la calcule, ça tourne autour de 1,284. Ouais,

Intervenant 23:31

à peu près.

Intervenant 13:32

Ce qui correspond à une hausse d'environ 28,4%. Et cette valeur-là, c'est ce qu'on appelle la moyenne géométrique de 1 et 1,5.

Intervenant 23:40

Tout à fait.

Intervenant 13:40

Il y a une analogie qui marche hyper bien pour séparer les deux. La moyenne arithmétique, c'est le truc parfait pour les éléments qui s'additionnent de manière isolée. Des pommes qu'on répartit dans des paniers, par exemple.

Intervenant 23:53

Absolument.

Intervenant 13:54

Mais dès qu'on manipule des trucs qui s'enchaînent avec un effet cumulatif, genre l'économie, la biologie ou l'inflation, l'addition ne marche plus du tout. Là, les effets se multiplient entre eux, donc il faut dégainer la moyenne géométrique.

Intervenant 24:08

C'est une différence de nature qui est fondamentale. Les quantités indépendantes, on les additionne. Les taux d'évolution, on les multiplie. Et cette observation de départ, elle soulève la grande question qui va nous guider.

Intervenant 14:22

Laquelle ?

Intervenant 24:23

Dans notre exemple, la moyenne arithmétique, c'était 1,3. Et la géométrique, c'était 1,284. Donc l'arithmétique est supérieure à la géométrique. La question, c'est Est-ce que c'est juste un coup de chance lié à nos valeurs de 10 et 50 %, ou est-ce que c'est une règle universelle ? Est-ce que la moyenne géométrique est toujours, par nature, inférieure ou égale à l'arithmétique ?

Intervenant 14:47

C'est ça, mais alors comment on fait pour prouver que cette règle s'applique à chaque fois, sans se noyer tout de suite dans des pages et des pages d'algèbre ?

Intervenant 24:54

Eh bien l'article propose un truc génial, une preuve par la géométrie la plus élémentaire possible.

Intervenant 14:59

Ce qui est quand même super contre-intuitif quand on parle pourcentage et d'économie, non ?

Intervenant 25:03

C'est ça, la magie des maths. Cette approche visuelle, c'est vraiment l'une des démonstrations les plus limpides qui soit. On va formuler le problème pour deux nombres positifs quelconques qu'on va appeler x et y.

Intervenant 15:14

D'accord, x et y.

Intervenant 25:16

On veut prouver visuellement que la racine carrée de x fois y, donc la géométrique, est toujours plus petite ou égale à x plus y divisé par 2, donc l'arithmétique. Dessinons mentalement un segment de droite à l'horizontale.

Intervenant 15:29

Ok, j'ai ma ligne.

Intervenant 25:30

Sur cette ligne, tu traces une première longueur x et juste au bout, tu ajoutes une longueur y.

Intervenant 15:36

Donc au total, mon grand segment fait une longueur de x plus y.

Intervenant 25:40

Parfait. Maintenant, tu vas utiliser tout ce grand segment comme le diamètre d'un demi-cercle que tu traces juste au-dessus.

Intervenant 15:46

D'accord, ça fait comme une sorte de dôme posé sur mon plancher de X plus Y.

Intervenant 25:51

Exactement. Et quel est le rayon de ce demi-cercle ?

Intervenant 15:56

Le rayon, c'est forcément la moitié du diamètre, donc la somme de x et y divisé par

Intervenant 26:02

2. Et voilà. Ce rayon, c'est littéralement la représentation physique, géométrique de notre moyenne arithmétique.

Intervenant 16:09

C'est fou.

Intervenant 26:10

Et pour faire apparaître la moyenne géométrique, c'est tout aussi beau. Tu retournes sur ton plancher, au point exact où x et y se touchent.

Intervenant 16:18

La jonction entre les deux ?

Intervenant 26:19

Ouais. Depuis ce point-là, tu montes une ligne bien verticale jusqu'à ce que tu percutes le bord de l'arc de cercle, là-haut.

Intervenant 16:27

Je

Intervenant 26:27

vois.