Deux seaux, deux litres : la solution par le billard

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous. C'est un vrai bonheur d'ouvrir cette nouvelle exploration et d'annoncer tout de suite haut et fort que ceci est le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:09

Absolument. Un grand merci d'être là.

Intervenant 10:12

Et on espère que toutes les personnes qui nous écoutent sont prêtes pour une aventure intellectuelle assez incroyable. Le but de notre analyse d'aujourd'hui, c'est vraiment de montrer à quel point la créativité mathématique peut être éblouissante en fait.

Intervenant 20:24

Ouais, le mot est bien

Intervenant 10:25

choisi. Parce que parfois, il suffit juste de changer la façon dont on regarde un problème pour voir apparaître des solutions quasi magiques. Et pour lancer notre réflexion, imaginez un peu ça si on disait que la sécurité des transactions bancaires mondiales repose sur la façon dont un paysan de l'Antiquité essaierait de mesurer de l'eau avec des seaux non gradués.

Intervenant 20:44

Ça sonne vraiment comme une vaste blague.

Intervenant 10:46

C'est clair, on pourrait croire à une plaisanterie. Et pourtant, l'évolution de cette toute petite énigme cache des trésors conceptuels hallucinants. Bon, décortiquons tout ça. On va voyager de la Grèce antique jusqu'à la sécurité de nos ordinateurs, en passant par, figure-toi, une table de

Intervenant 21:04

billard. C'est un programme qui promet d'être riche. Ce qui est fascinant ici, c'est vraiment cette dualité permanente.

Intervenant 11:12

C'est-à-dire ?

Intervenant 21:13

On part d'un point de départ qui semble presque enfantin, une petite énigme qu'on pourrait poser dans une cour de récréation ou un jeu télé, tu vois.

Intervenant 11:21

Oui, le genre de truc qu'on fait l'été sur la plage.

Intervenant 21:23

Exactement, mais qui en fait, pour être résolu avec élégance et certitude, va exiger une rigueur mathématique implacable. C'est là toute la beauté de cette discipline, transformer le tâtonnement ludique en une science tout à fait exacte.

Intervenant 11:39

Alors emprunt tout de suite dans le vif du sujet avec ce fameux défi. Nos sources l'appellent le problème des transvasements ou les problèmes à queue. Le nœud du problème est hyper concret. Très très

Intervenant 21:49

concret, oui.

Intervenant 11:51

On imagine la situation pour ceux qui nous écoutent. On est à côté d'une fontaine avec une source d'eau inépuisable. Et on a entre les mains deux seaux parfaitement lisses.

Intervenant 22:00

Lisses, donc aucune ligne de graduation dessus.

Intervenant 12:03

Rien du tout, pas de repère. Le premier seau a une contenance exacte de 7

Intervenant 22:08

litres.

Intervenant 12:09

Et le second, lui, peut contenir exactement 11 litres.

Intervenant 22:12

D'accord.

Intervenant 12:12

Et la mission, le grand but, c'est de repartir de cette fontane avec exactement 2 litres d'eau. Pas une goutte de plus, pas une goutte de moins.

Intervenant 22:19

Et toute la subtilité et franchement la vraie difficulté, elle est dans cette absence totale de graduations. Parce que physiquement parlant, c'est impossible de remplir le grand seau à peu près jusqu'au quart.

Intervenant 12:31

Bah oui, on aurait faux à tous les coups.

Intervenant 22:33

C'est ça. Du coup, les seules actions autorisées, parce que ce sont les seules qui garantissent des quantités exactes, ce sont les suivantes. Soit on remplit un seau à ras bord depuis la fontaine.

Intervenant 12:43

Ok, action numéro

Intervenant 22:44

1. Soit on vide complètement le contenu d'un seau par terre.

Intervenant 12:49

Ça marche.

Intervenant 22:50

Soit, troisième option, on transvase le contenu d'un seau dans l'autre jusqu'à ce que le premier soit vide ou alors que le second déborde.

Intervenant 12:57

Pour donner une image un peu plus parlante, c'est un peu comme si on essayait de payer exactement un article à 2 euros, mais en ayant dans son portefeuille uniquement des billets de 7 euros et des billets de 11 euros.

Intervenant 23:08

Et sans que le vendeur puisse faire de la monnaie classique, bien sûr.

Intervenant 13:11

Ah oui, cerise sur le gâteau, il ne rend la monnaie qu'avec ces mêmes billets bizarres.

Intervenant 23:15

C'est exactement la même logique.

Intervenant 13:17

Et face à ces sauts d'eau, je pense que le premier réflexe humain, c'est d'y aller un peu à l'aveugle. On procède par essais et erreurs.

Intervenant 23:23

On bidouille, quoi.

Intervenant 13:24

C'est ça. On se dit, allez, je remplis le gros de 11 litres, je verse ça dans le petit de 7, du coup, il m'en reste 4. Ensuite, je vide celui de 7, je mets les 4 restants dedans. Et au bout de 5 minutes, c'est un chaos total. On a de l'eau plein les chaussures. Grave. On a complètement oublié combien de litres sont dans quels seaux et on espère juste tomber sur les 2 litres par un coup de chance.

Intervenant 23:44

Et ça, c'est très exactement ce que la démarche scientifique veut éviter à tout prix. Les mathématiciens, ils ont horreur du hasard et de l'approprié. Ils veulent des structures fiables.

Intervenant 13:53

Faut que ce soit carré.

Intervenant 23:54

Absolument. Et cette situation de remplissage et de vidage, elle trouve une traduction mathématique juste parfaite. En fait, le problème devient une équation toute simple. 7x plus 11y égale 2.

Intervenant 14:09

Attends, on remet les lettres à leur place. Le x correspond à quoi ?

Intervenant 24:13

Le x représente le nombre d'opérations qu'on va faire avec le seau de 7 litres. Et le y concerne le seau de 11 litres.

Intervenant 14:22

Donc, si le coefficient est positif, ça veut dire qu'on remplit à la source.

Intervenant 24:26

Exactement. Et s'il est négatif, ça veut dire qu'on a vidé le seau.

Intervenant 14:31

Ok. Posé comme ça, on passe vraiment du petit jeu de plage à l'algèbre pur et dur. Mais cette équation toute bête, 7x plus 11y égale 2, elle porte le nom d'un personnage historique assez fascinant, non ?

Intervenant 24:42

Tout à fait. Pour le coup, il faut faire un sacré bond dans le passé. On part à Alexandrie vers le IIIe siècle de notre ère pour rencontrer Diophante.

Intervenant 14:52

Diophante d'Alexandrie, oui.

Intervenant 24:53

C'est un mathématicien grec majeur, souvent considéré en fait comme l'un des pères de l'algèbre. Mais si on le sait, presque rien de sa vie personnelle. Son œuvre principale, Arrhythmetica, elle a influencé des siècles de chercheurs.

Intervenant 15:08

Et il y a un détail assez amusant le concernant dans nos sources. Il paraît que Diophante a été l'un des premiers à manipuler les règles des signes pour les nombres négatifs.

Intervenant 25:16

Oui, oui. Il avait compris qu'une quantité soustraite multipliée par une autre quantité soustraite, ça finissait par faire une addition. Le fameux « moins par moins fait plus ».

Intervenant 15:26

Mais le plus drôle, c'est qu'il qualifiait lui-même ces nombres négatifs d'absurdes.

Intervenant 25:32

C'est ça. Pour lui, un nombre devait obligatoirement représenter une quantité tangible. On ne peut pas avoir moins trois moutons, quoi.

Intervenant 15:38

C'est savoureux quand même, le grand théoricien qui trouve ses propres découvertes ridicules par manque de réalité physique. Mais bon, il a quand même laissé une trace indélébile.

Intervenant 25:47

Indélébile, oui. C'est lui qui a donné son nom aux équations dites diophantiennes.

Intervenant 15:52

Alors, ce terme un peu barbare, diophantien, ça veut dire quoi concrètement ?

Intervenant 25:56

Ça désigne simplement une équation où l'on impose une contrainte très, très stricte. Les coefficients, mais surtout les solutions qu'on cherche, doivent obligatoirement être des nombres entiers.

Intervenant 16:06

Logique, on ne peut pas remplir notre seau 0,4 fois. C'est soit une fois, soit pas du tout.

Intervenant 26:11

Voilà. Et l'équation de base de ce domaine, elle s'écrit formellement AX plus BY égale C.

Intervenant 16:18

D'accord, donc si on superpose ça avec nos données, notre A c'est le 7, notre B c'est le 11 et notre C, donc l'objectif, c'est le 2.

Intervenant 26:25

C'est tout à fait ça. Mais, et c'est un grand mais, avant de commencer à noircir des pages entières de brouillon pour trouver X et Y, il y a une vérification de base à faire.

Intervenant 16:36

Un petit contrôle de sécurité avant le décollage.

Intervenant 26:39

Exactement. La théorie nous dit qu'il faut regarder le plus grand commun diviseur, le fameux PGCD qu'on apprend au collège.