Sommes infinies : pourquoi le signe égal change-t-il de sens ?

Intervenant 10:00

Bonjour à toutes et à tous et bienvenue dans cette nouvelle exploration en profondeur, le podcast du magazine Tangente. Je suis hyper contente de vous retrouver aujourd'hui. Salut

Intervenant 20:10

Evelyne, moi aussi, très heureux d'être là. On a un super programme aujourd'hui.

Intervenant 10:14

Ah ça c'est sûr. Je suis notre hôte habituelle et comme toujours je suis avec notre expert résident et aujourd'hui notre mission c'est de plonger tête la première dans un des concepts les plus vertigineux de l'esprit humain.

Intervenant 20:26

Exactement, l'infini en mathématiques et plus particulièrement les sommes infinies. Ça a l'air technique mais vous allez voir c'est une vraie aventure. C'est

Intervenant 10:35

clair. Parce que, tu vois, on nous a toujours appris que les mathématiques, c'était le domaine de la certitude absolue, non ?

Intervenant 20:40

Ouais, genre deux pommes plus deux pommes, ça fait quatre. Voilà, c'est rassurant,

Intervenant 10:44

c'est robuste, c'est binaire, c'est le monde fini en fait.

Intervenant 20:46

Bah oui, le cerveau humain, il est câblé pour ça. On gère très bien ce qui tient dans la main, ce qui a un début et une fin.

Intervenant 10:53

Ce qui rentre sagement dans les cases d'une feuille de calcul, quoi.

Intervenant 20:56

C'est ça. Mais dès qu'on s'écarte un peu de ce cadre, ça devient vite chaotique.

Intervenant 11:01

Et justement, dans notre analyse des sources de Tangente aujourd'hui, on va voir ce qui se passe quand on fait une toute petite modification à ce monde parfait. on prend une addition bien sage, bien classique.

Intervenant 21:12

D'accord.

Intervenant 11:13

Et à la toute fin, on ajoute juste trois petits points. Des points de suspension, pour dire, et ainsi de suite.

Intervenant 21:18

Ah oui ! Et là, d'un seul coup, le sol se dérobe complètement.

Intervenant 11:22

Mais vraiment, l'ajout de l'infini dans les équations, ça ouvre la porte à des paradoxes complètement ahurissants. En fouillant dans l'histoire, on a découvert que ces trois petits points, ils ont provoqué des disputes mais d'une violence inouïe entre des génies.

Intervenant 21:39

Des vraies batailles d'égo et de logique. Parce que ça révèle un secret très bien gardé de la discipline.

Intervenant 11:44

Lequel ?

Intervenant 21:45

Comme mathématiques de la vérité absolue, c'est parfois une simple question de contrat, de convention humaine.

Intervenant 11:50

C'est fou de dire ça. C'est presque un choc culturel pour quiconque considère l'arithmétique comme une loi divine, tu vois, un truc immuable.

Intervenant 21:58

Totalement. Introduire l'infini, c'est pas juste rajouter des nombres sur une ligne. C'est vraiment altérer la fabrique même de l'univers qu'on essaie de mesurer.

Intervenant 12:05

Mais du coup, la question qui s'impose tout de suite pour lancer cette exploration, c'est pourquoi ? Pourquoi on fait ça ?

Intervenant 22:10

Comment ça, pourquoi ?

Intervenant 12:12

L'être humain est totalement englué dans un monde physique qui est fini. On vit un nombre fini d'années, on manipule des objets finis. D'où vient ce besoin presque obsessionnel de forcer l'infini à rentrer dans nos équations ?

Intervenant 22:26

C'est une super question, et pour y répondre en fait, il faut d'abord regarder jusqu'où le calcul fini peut nous emmener. Et surtout, où il s'effondre.

Intervenant 12:34

D'accord, t'as un exemple précis en tête ?

Intervenant 22:36

Ouais, prenons un exemple très impressionnant. On remonte en 1880, lors d'un congrès scientifique.

Intervenant 12:42

Ok, le décor est planté.

Intervenant 22:44

Il y a un mathématicien français, un certain Fortuné Landry, qui s'avance vers le tableau noir. Le gars a plus de 80 ans. Ah

Intervenant 12:51

oui, pas tout jeune.

Intervenant 22:52

Non. Et à la seule force de sa craie et de son cerveau, il s'attaque à ce qu'on appelle le sixième nombre de Fermat.

Intervenant 12:58

Alors attends, je fais une petite cause pour resituer pour ceux qui nous écoutent. Pierre de Fermat avait conjecturé un truc, c'est que tous les nombres entiers construits sur une formule précise, donc 2 à la puissance 2 à la puissance n, plus 1. Il disait que tous ces nombres étaient des nombres premiers.

Intervenant 23:14

C'est ça. Des nombres divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes, quoi.

Intervenant 13:19

Voilà. Et donc, Landry, au tableau, il fait quoi ?

Intervenant 23:22

Bah, Landry s'attaque au cas où cette petite lettre, le N de la formule, vaut 6. Le nombre de départ est déjà absolument titanesque. Genre des millions ? Bien pire. Et au tableau, cet homme de 80 ans pose la multiplication de deux nombres colossaux. Et il démontre en direct que ce fameux sixième nombre de Fermat, c'est en fait le produit de 274 177 multiplié par un autre monstre de 14 chiffres.

Intervenant 13:47

Un monstre qui commence par 67 280 milliards, un truc du genre, non ?

Intervenant 23:52

Exactement. Et le calcul est parfait.

Intervenant 13:54

Donc ça prouve instantanément que Fermat avait tort en fait. Puisque le nombre peut être divisé par ces deux gigantesques facteurs, il n'est pas premier du tout.

Intervenant 24:03

Voilà, mythe détruit. Landry pulvérise la théorie avec un simple calcul.

Intervenant 14:08

Mais alors je t'arrête tout de suite. Le mec vient de faire un calcul monumental à la main, il a la preuve absolue sous les

Intervenant 24:14

yeux.

Intervenant 14:16

C'est pas la définition même de mathématiques ultra solide ça ? Pourquoi m'on irait s'embêter avec des concepts abstraits, avec l'infini, si on peut juste détruire une fausse théorie en calculant très très fort ?

Intervenant 24:26

C'est vrai que c'est tentant de penser ça. Mais la limite de cet exploit, de ce calcul fini, c'est qu'il ne détruit qu'une seule erreur. Landry a juste trouvé un contre-exemple, c'est ça ? C'est exactement ça. Il a prouvé que pour n égal 6, c'est faux. Mais la science mathématique, elle ne cherche pas seulement à trouver des exceptions. Elle veut bâtir des règles universelles, des trucs qui marchent tout le temps. Des théorèmes, quoi ! Voilà. Le grand Henri Poincaré, dans son livre « La science et l'hypothèse » en 1902, il résume ça brillamment. Il dit que la science mathématique repose sur l'infini, car un véritable théorème doit obligatoirement se substituer à une infinité de vérifications.

Intervenant 15:07

Ah, je vois. Donc, si je trouve une formule qui a l'air de marcher pour les mille premiers nombres que je teste, bah en fait, j'ai absolument aucune garantie que ça ne va pas complètement s'effondrer au millionième nombre.

Intervenant 25:18

Exactement. C'est le piège. Si on affirme par exemple que la somme des cubes des premiers entiers est toujours égale au carré de leur somme.

Intervenant 15:27

D'accord.

Intervenant 25:28

Eh ben, on ne peut pas passer toute l'éternité de l'univers à vérifier manuellement chaque nombre à part un pour voir si c'est vrai. C'est physiquement impossible.

Intervenant 15:35

Donc c'est là que le raisonnement abstrait entre en jeu. On utilise des méthodes comme le raisonnement par récurrence, non ?

Intervenant 25:41

C'est ça. On prouve que si la règle fonctionne pour un nombre au hasard, disons k, elle fonctionne obligatoirement pour le suivant, k plus 1.

Intervenant 15:50

C'est l'image des dominos. On pousse le tout premier domino de la file, et la logique pure nous garantit que l'insignité des dominos suivants va tomber sans qu'on ait besoin de les pousser un par un.

Intervenant 26:00

Superbe image, oui. C'est exactement ça.

Intervenant 16:03

Et en fait, du coup, l'infini, ce n'est pas juste une lubie de philosophe perché, c'est en fait l'outil ultime de fainéantise intelligente

Intervenant 26:11

Ouais, on peut dire ça comme ça.

Intervenant 16:12

Au lieu de passer l'éternité à calculer des cas particuliers, on capture l'infini dans une petite formule pour prouver que c'est vrai, partout, pour toujours. C'est

Intervenant 26:21

génial ? C'est surpuissant ! Et une fois qu'on a cet outil en main, on réalise qu'il permet de résoudre des trucs qui semblaient complètement insolubles dans le monde physique.

Intervenant 16:31

Des problèmes concrets ?

Intervenant 26:32

Ouais. Le meilleur exemple, ça nous ramène très loin en arrière au 5e siècle avant notre ère, avec le fameux paradoxe de Zénon-Délé.

Intervenant 16:40

Oh, le sophisme d'Achille et de la tortue, j'adore cette histoire.

Intervenant 26:44

Vas-y, raconte-nous le principe.

Intervenant 16:46

Alors l'idée est diaboliquement simple. Achille, qui est le coureur le plus rapide de l'Antiquité, fait la course contre une tortue. Mais il est sympa, il lui lasse une petite avance.

Intervenant 26:55

Une erreur fatale selon Zénon.

Intervenant 16:58

Parce que, évidemment, dans la Velvie, Achille la dépasse en deux secondes chrono. Mais Zenon utilise la logique pure pour prouver, entre guillemets, que c'est physiquement impossible qu'il la rattrape.

Intervenant 27:09

Et le piège de Zenon, il fonctionne par étapes.