17 févr. 2023 · 26 min
Ruban de Pascal : tester la divisibilité sans division
Dans cet épisode, suivez pas à pas la construction du ruban de Pascal, puis testez de grands nombres sans poser la division.
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Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Salut
Intervenant 2
tout le
Intervenant 1
monde. Imaginons un instant un nombre gigantesque, un nombre tellement long avec tellement de chiffres, quoi qu'il occupe, je ne sais pas, toute la largeur d'une page.
Intervenant 2
Oh, le genre de monstre mathématique qui fait peur à voir, ouais.
Intervenant 1
Exactement. Et si on se demande si ce fameux monstre est divisible par 9, bah on a souvent une petite astuce d'enfance qui nous revient en mémoire.
Intervenant 2
L'addition des chiffres.
Intervenant 1
C'est ça. Il suffit d'additionner absolument tous ces chiffres, et si la somme donne un multiple de 9, alors le nombre géant d'origine l'est aussi.
Intervenant 2
C'est immédiat. Et puis c'est brillant.
Intervenant 1
Ouais, ça donne vraiment l'impression d'avoir un super pouvoir, tu sais, pour complètement contourner la lourdeur d'une énorme division posée.
Intervenant 2
C'est clair qu'on gagne un temps fou.
Intervenant 1
Mais le truc, c'est que pendant longtemps, on a un peu cru que cette élégance-là, cette espèce de petit miracle arithmétique, s'était réservée au chiffre 9.
Intervenant 2
Comme si le 9 avait une propriété magique exclusive.
Intervenant 1
Voilà. Or, l'exploration de nos sources pour s'être plongé au cœur des nombres va nous prouver exactement le contraire. Parce qu'en fait, il existe une méthode universelle.
Intervenant 2
Un algorithme secret en quelque sorte ?
Intervenant 1
C'est totalement ça. Un algorithme pour créer ce genre de raccourcis sur mesure, mais pour absolument n'importe quel nombre.
Intervenant 2
Et la source de ce secret, c'est elle-même un morceau d'histoire hyper fascinant.
Intervenant 1
Ah oui, le document dont on va parler aujourd'hui est incroyable.
Intervenant 2
Ouais, on va se plonger dans un manuscrit qui a été rédigré par le philosophe et mathématicien français Blaise Pascal.
Intervenant 1
Rien
Intervenant 2
que ça. Rien que ça, oui. C'est un texte qui est très court, à peine une dizaine de pages, qui est écrit en latin d'ailleurs, qui s'intitule « Denumeris Multiplici Opis ».
Intervenant 1
Ce qu'on pourrait traduire par « sur les nombres multiples », c'est ça ?
Intervenant 2
Exactement. Et ce qui est fou, c'est que bien qu'il semble avoir été conçu grosso modo vers 1654, il a été publié qu'à titre posthume en 1665.
Intervenant 1
Donc bien après que Pascal l'ait imaginé.
Intervenant 2
Ouais. Et du coup, dans l'ombre de ses travaux beaucoup plus connus, comme son fameux triangle arithmétique par exemple, ce petit traité est passé un peu inaperçu.
Intervenant 1
C'est dingue quand on y pense. Parce que ce qui s'y trouve, c'est une vraie pépite de logique pure.
Intervenant 2
Complètement. Pascal, il se contente pas juste de lister des petites astuces à droite à gauche. Il offre vraiment la méthode systématique pour que n'importe qui puisse forger ses propres critères de divisibilité.
Intervenant 1
Ce qui veut dire, en gros, qu'en comprenant la logique de ce texte, quiconque écoute cette discussion possèdera la recette pour diviser mentalement des nombres farmineux.
Intervenant 2
Et ça, sans l'ombre d'une calculatrice.
Intervenant 1
Franchement, j'adore la promesse. Alors, décortiquons un peu la mécanique. La source mentionne l'idée de fabriquer un outil spécifique pour chaque diviseur.
Intervenant 2
Oui, ce que le texte de Pascal appelle un ruban.
Intervenant 1
Un ruban, d'accord. Quelle est la première étape si je veux construire ce ruban ?
Intervenant 2
Alors, la toute première chose à bien comprendre, c'est que la construction de ce ruban, elle est totalement indépendante du grand nombre que tu voudras diviser plus tard.
Intervenant 1
Ok, donc on ne s'occupe pas encore du grand nombre.
Intervenant 2
De notre diviseur cible.
Intervenant 1
Celui qu'on veut tester.
Intervenant 2
C'est ça. Appelons ce diviseur cible la lettre A par exemple.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
La construction, elle démarre toujours de la droite sur ta feuille pour aller vers la gauche. Et le tout premier élément, l'espèce d'encre du ruban si tu veux, c'est inviolablement le chiffre 1.
Intervenant 1
Ok, je vois. Donc je pose un chiffre 1 tout à droite de ma page.
Intervenant 2
Voilà.
Intervenant 1
Et ensuite, quel est le moteur qui fait avancer ma séquence vers la gauche ?
Intervenant 2
Le moteur, il repose tout bêtement sur le fonctionnement de notre système décimal. Pascal applique une règle itérative qui est vraiment super simple. On prend notre point de départ, donc le 1, on le multiplie par 10, ce qui donne 10.
Intervenant 1
Logique.
Intervenant 2
Et ensuite, on essaie de retirer de ce 10 notre diviseur cible, donc A, autant de fois qu'on peut.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Et la seule chose qui nous intéresse dans cette opération, c'est le reste de la soustraction.
Intervenant 1
Ah, on garde que le reste ?
Intervenant 2
Exactement, et ce reste, ça devient le deuxième élément de notre ruban, juste à gauche du 1.
Intervenant 1
Ok, je te suis.
Intervenant 2
Et après, on relance la machine, on prend ce nouveau reste, on le multiplie par 10, on retire le diviseur A au maximum, on note le nouveau reste, et ainsi de suite.
Intervenant 1
C'est hyper malin. C'est une sorte de mécanisme de filtrage en fait.
Intervenant 2
Ouais, on peut voir ça comme ça.
Intervenant 1
Si j'essaye de visualiser le truc, c'est comme un algorithme de compression ou même une boucle en production musicale.
Intervenant 2
Ah, une boucle musicale, comment ça ?
Intervenant 1
Bah, on amplifie le signal en le multipliant par 10, on écrète tout ce qui dépasse en retirant des blocs parfaits de notre diviseur et on réinjecte que le petit résidu dans la boucle suivante.
Intervenant 2
C'est une super métaphore, ouais.
Intervenant 1
Mais du coup, mathématiquement, si on conserve que des restes, ces nombres-là sont obligatoirement plus petits que le diviseur, non ?
Intervenant 2
Bah oui, par définition d'un reste de division.
Intervenant 1
Donc au bout d'un moment, après un certain nombre d'étapes, on va inévitablement retomber sur un reste qu'on a déjà rencontré.
Intervenant 2
Et voilà. C'est la déduction cruciale de Pascal. Le nombre de restes possibles, il est fini. Donc la séquence va obligatoirement finir par boucler sur elle-même.
Intervenant 1
C'est génial !
Intervenant 2
Pascal, il illustre de manière très pragmatique en construisant le ruban pour le diviseur 7.
Intervenant 1
On le fait ensemble ?
Intervenant 2
Allez. On commence à droite avec le 1.
Intervenant 1
Ok.
Intervenant 2
Multiplié par 10, ça donne 10.
Intervenant 1
Jusque là, c'est bon.
Intervenant 2
Dans 10, on peut retirer une seule fois le chiffre 7. Et il nous reste 3.
Intervenant 1
Donc le nombre juste à gauche du 1, c'est un 3.
Intervenant 2
C'est ça.
Intervenant 1
Ce qui fait que notre séquence commence par 3, suivi de 1. Ensuite, on prend ce 3. X 10, ça fait 30.
Intervenant 2
Tout à fait. Et dans 30, le plus grand multiple de 7, c'est 28, donc 4 x 7. Si on retire 28 de
Intervenant 1
30, il reste 2.
Intervenant 2
Parfait. Le ruban s'allonge. De droite à gauche, on a 1, puis 3, puis 2.
Intervenant 1
Ok, on continue l'itération. Je prends le 2, fois 10, ça donne 20. Dans 20, je peux retirer 2 fois 7, soit 14. 20 moins 14, il reste 6.
Intervenant 2
Ouais. Tu prends ce 6, fois 10, ça fait 60. Alors
Intervenant 1
60, 8 fois 7, ça fait 56. 60 moins 56, il reste 4.
Intervenant 2
Ensuite, tu prends ce 4, fois 10, 40. Tu retires 35, qui est 5 fois 7. Il reste 5.
Intervenant 1
D'accord. On prend ce 5, fois 10, 50. 7 fois 7, 49. 50 moins 49, A. Il reste 1.
Intervenant 2
Et la boucle est bouclée.
Intervenant 1
Ben oui, puisqu'on est retombé sur le 1 de départ.
Intervenant 2
Exactement. L'étape suivante, ça sera inévitablement le 3, puis le 2, etc.
Intervenant 1
Donc on a généré une séquence infinie qui se répète. Si je la lis de droite à gauche, le motif pour le chiffre 7, c'est 1, 3, 2, 6, 4, 5. Et ça recommence. 1, 3, 2,
Intervenant 2
6, 4, 5. Et voilà, on a forgé notre outil. Le ruban du 7 est prêt à l'emploi.
Intervenant 1
Franchement, je trépigne d'impatience de le tester sur un vrai nombre. Comment on l'applique ?
Intervenant 2
Alors, pour vérifier si un nombre géant est divisible par 7, tu écris ce grand nombre sur une ligne et tu vas aligner notre fameux ruban juste en dessous, en partant du chiffre des unités, donc tout à droite.
Intervenant 1
Ok, j'aligne par la droite.
Intervenant 2
C'est ça. Du coup, chaque chiffre du grand nombre se retrouve associé au chiffre du ruban qui est situé juste en dessous de lui.
Intervenant 1
Logique.
Intervenant 2
Et là, l'opération finale, double O. Tu multiplies chaque paire de haut en bas et tu additionnes tous ces produits.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
La règle d'or de Pascal, elle affirme que si cette somme finale est un multiple de 7, alors l'immense nombre de départs l'est obligatoirement.
Intervenant 1
Eh ben mettons la théorie à l'épreuve avec l'exemple exact que Pascal donne dans son traité.
Intervenant 2
Il y a un bon exemple, oui.
Intervenant 1
Il propose de tester le nombre 287 542 178. C'est un vrai mastodonte de 9 chiffres. Un beau bébé.
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