Triangle de Pascal : preuve visuelle ou récurrence ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis absolument ravie de lancer cette nouvelle exploration aujourd'hui parce qu'on va commencer par un énorme choc.

Intervenant 20:10

J'adore quand on commence

Intervenant 10:12

comme ça. Ayez de quoi. Il faut vraiment rétablir une vérité historique tout de suite. Blaise Pascal, notre grand Blaise Pascal national, n'a absolument pas inventé le célébrissime triangle de Pascal. Pas du tout.

Intervenant 20:25

C'est le grand mitre.

Intervenant 10:27

Mais oui, quand on fouille un peu, on découvre que des mathématiciens persans comme Omar Khayyam ou des savants chinois comme Yang Wei, ils l'avaient déjà dessiné et utilisé des siècles avant même que Pascal ne pousse son premier cri.

Intervenant 20:40

Absolument, des siècles avant !

Intervenant 10:42

Du coup, c'est une joie immense d'entamer cette plongée au cœur de ce paradoxe qui, honnêtement, retourne un peu le cerveau. Si cette figure géométrique millénaire n'est pas son invention à lui, pourquoi diable porte-t-elle son nom dans le monde entier quoi ?

Intervenant 20:56

Eh bien, c'est toute la magie de l'histoire des sciences en fait. La réponse à ce grand mystère, elle se trouve dans un texte qui est absolument fondamental.

Intervenant 11:05

Un texte de Pascal lui-même, j'imagine.

Intervenant 21:06

Exactement. C'est un traité qu'il a rédigé en 1654 et qui a été publié de manière posthume, donc après sa mort, en 1665. C'est le fameux Traité du Triangle Arithmétique. D'accord. Mais pour mesurer l'impact sismique de ce document, Le truc, c'est qu'il faut d'abord comprendre qui était vraiment Blaise Pascal. Ce n'était pas un simple calculateur austère qui griffonnait des équations tout seul dans une tour d'ivoire.

Intervenant 11:30

Non, c'était vraiment un touche-à-tout.

Intervenant 21:32

Voilà, un esprit universel, à la fois philosophe, physicien redoutable, théologien passionné et surtout, et ça c'est crucial pour la suite, un immense écrivain.

Intervenant 11:44

Ah oui, la plume de Pascal, c'est légendaire.

Intervenant 21:47

C'est ça. Quand il fait des mathématiques, il ne cherche pas juste l'approbation d'un petit cercle de savants barbus. Il s'adresse au public cultivé de son époque, aux habitués des salons parisiens. Il veut que la science soit lue avec la même fluidité qu'un roman ou qu'un essai philosophique.

Intervenant 12:03

C'est un changement de paradigme complètement dingue pour l'époque. En gros, on a affaire à un projet de vulgarisation majestueux, et ça en plein milieu du XVIIe siècle.

Intervenant 22:14

Exactement, une vraie vulgarisation.

Intervenant 12:16

Mais du coup, pour comprendre la force de ce fameux texte, avant même de parler de chiffres, de calculs, il faut observer un peu la méthode de Pascal. Comment fonctionnait son esprit face à l'inconnu ?

Intervenant 22:28

Sa méthode.

Intervenant 12:29

Parce que dans ses écrits, il théorise une véritable quête de la vérité avec une structure qui est super précise, non ?

Intervenant 22:36

Tout à frais. Pascal, il définit trois étapes incontournables, enfin trois attitudes de l'esprit quand on est confronté à la vérité. La toute première étape, c'est de la découvrir. Ça, c'est quand on la cherche activement.

Intervenant 12:49

L'étincelle,

Intervenant 22:49

quoi. Voilà. La deuxième, c'est de la démontrer, une fois qu'on pense l'avoir trouvée. Et la troisième étape, qui est beaucoup plus philosophique pour le coup, c'est de la discerner, du faux, quand on l'examine avec un recul critique.

Intervenant 13:01

Et dans ce traité sur le triangle, il fait les trois ?

Intervenant 23:03

Eh bien non, justement. Dès les premières lignes de son Traité du Trilangle Arithmétique, il annonce super clairement son plan de bataille. Il dit qu'il va se concentrer exclusivement sur les deux premières étapes.

Intervenant 13:15

Donc, découvrir et démontrer.

Intervenant 23:18

C'est ça. Découvrir la mécanique complexe du triangle, puis la démontrer au public.

Intervenant 13:23

Ça fait penser... C'est vraiment comme le travail d'un grand explorateur géographique.

Intervenant 23:28

Ah, comment ça ?

Intervenant 13:29

Dans un premier temps, l'explorateur navigue complètement à l'instinct. Il observe la couleur de l'eau, les oiseaux, il avance dans le brouillard absolu. Et là, soudain, terre en vue. Il découvre un nouveau continent. Ça, c'est la phase de découverte pure, l'intuition.

Intervenant 23:45

Ouais, la première étape.

Intervenant 13:46

Sauf que s'il rentre en Europe juste en disant « hé, j'ai vu une île morveilleuse », personne ne va le prendre au sérieux.

Intervenant 23:52

Ah non, clairement pas.

Intervenant 13:53

Il faut passer à la deuxième étape. Il doit ressortir ses instruments, utiliser son sextant, cartographier chaque cric avec une rigueur absolue pour prouver, mais vraiment prouver au monde entier, que ce continent existe de manière tangible. Et ça, c'est la fameuse démonstration.

Intervenant 24:10

L'analogie est juste parfaite. Et ici, le fameux continent à cartographier, c'est ce tableau de nombres d'une richesse complètement infinie.

Intervenant 14:18

Le fameux triangle ?

Intervenant 24:19

Voilà. Et pour que nos auditeurs puissent bien visualiser la mécanique de ce triangle, on va faire un petit emprunt à la notation moderne, celle d'un mathématicien du XXe siècle, Pierre Humbert.

Intervenant 14:29

Ok, on modernise un peu pour y voir clair.

Intervenant 24:31

C'est ça. Imaginons un immense quadrilage, comme une feuille de calcul sur un ordinateur, qui serait infinie. On va définir chaque case par deux coordonnées, qu'on notera R et P.

Intervenant 14:42

Entre parenthèses R, P ?

Intervenant 24:44

Exactement. La lettre R, ça correspond à la ligne horizontale, ce que Pascal appelait de manière assez poétique le « rang parallèle », et la lettre P, ça correspond à la colonne verticale, le fameux « rang perpendiculaire ».

Intervenant 14:57

Du coup, si on veut pointer une case bien précise, disons la case 5-3, on descend juste à la cinquième ligne et on se décale jusqu'à la troisième colonne.

Intervenant 25:06

C'est tout bête.

Intervenant 15:07

En fait, c'est hyper visuel, c'est comme une grille de bataille navale.

Intervenant 25:10

C'est exactement le principe de la bataille navale. Et la règle de construction qui régit tout ce grand tableau, elle est d'une élégance, c'est absolu. La valeur numérique de n'importe quelle cellule, disons notre fameuse cellule RP, c'est tout simplement l'addition de deux autres cellules.

Intervenant 15:26

Lesquelles, du coup ?

Intervenant 25:27

Eh bien, celle située juste au-dessus d'elle, donc la ligne d'avant, R-1, P. Et celle située juste à sa gauche, dans la colonne d'avant, RP-1. On additionnait la case du dessus et la case de gauche, et paf, on a notre nombre.

Intervenant 15:43

Mais ce qui est extraordinairement savoureux quand on plonge dans les sources et dans les archives d'époque, c'est que Pascal n'utilisait absolument pas ces formulations un peu abstraites.

Intervenant 25:52

Ah non, pas un seul symbole.

Intervenant 15:54

Bah non, il n'écrivait aucun R, aucun P, ni de R-1. Quand on lit la version originale de son texte, on lit de longues phrases écrites en toutes lettres. Il disait simplement, mais avec une candeur désarmante, « la cellule F égale la cellule C plus la cellule E ».

Intervenant 26:11

C'est fou, hein ?

Intervenant 16:12

C'est d'une simplicité quasi-enfantine. Il utilise des mots de tous les jours pour décrire une architecture mathématique qui, au fond, cache des propriétés vertigineuses qui s'étendent jusqu'à l'infini.

Intervenant 26:22

Ouais, et c'est vraiment là qu'on reconnaît la signature de son génie littéraire. Mais cette volonté tenace de fuir le langage purement symbolique, ça va très vite lui poser un problème redoutable.

Intervenant 16:32

J'imagine, oui. C'est assez limite.

Intervenant 26:34

Forcément.