Patron, carré, sphère : trois énigmes qui résistent

Intervenant 10:00

Eh bien, bonjour tout le monde et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment très heureuse de lancer cette nouvelle exploration aujourd'hui parce qu'on a un programme absolument fascinant.

Intervenant 20:12

Bonjour Evelyne.

Intervenant 10:13

Ah oui, un programme qui va secouer pas mal de certitudes, je pense.

Intervenant 20:16

C'est clair.

Intervenant 10:16

Alors, on a souvent cette image un peu cliché, en fait, de la géométrie. On l'imagine comme un vieux musée poussiéreux, tu vois, un endroit où chaque théorème a été scellé, étiqueté et rangé dans des boîtes depuis l'Antiquité.

Intervenant 20:28

Ouais, l'époque de Pythagore, de Thalès, tout ça ?

Intervenant 10:31

Exactement. Et la mission d'aujourd'hui, c'est de réduire cette idée en cendres. La géométrie, c'est pas du tout un musée, c'est une jungle sauvage complètement imprévisible.

Intervenant 20:41

Une jungle très dense même. Publiée en 1991, ça s'appelle « Unsolved Problems in Geometry ».

Intervenant 10:48

Un livre vraiment incontournable pour ceux qui aiment se faire des nœuds au cerveau.

Intervenant 20:52

Ok oui, c'est un ouvrage qui a été compilé par Alart Croft, Kenneth John Falconer et une véritable légende des mathématiques, Richard Kennedy.

Intervenant 11:01

Il faut d'ailleurs rendre un petit hommage à Richard Guy, non ?

Intervenant 21:04

Absolument. C'est un homme dont la vie a couvert plus d'un siècle d'histoire scientifique. Il est né en 1916 et nous a quittés en 2020. Et ce qui est fascinant ici, c'est cette asymétrie brutale, vraiment violente, entre la formulation d'un problème et l'enfer analytique que représente sa résolution.

Intervenant 11:23

La symétrie, c'est-à-dire que la question est super courte mais la réponse est introuvable ?

Intervenant 21:27

C'est exactement ça. On lit un énoncé, on se dit « bah la solution est évidente, le bon sens suffit », mais dès qu'il s'agit de fournir une preuve rigoureuse, inattaquable et universelle, eh bien tous nos outils mathématiques s'effondrent.

Intervenant 11:41

Et pour illustrer ça, on va tout de suite plonger dans le vif du sujet. Ok, décortiquons tout ça avec notre premier cas. Imaginons la réception d'un colis.

Intervenant 21:50

Un colis classique en carton ?

Intervenant 11:51

Ouais, une simple boîte en tarton qu'on dépose sur la table du salon. On prend un cutter, on coupe super soigneusement le long de certaines arêtes. Et le but, c'est d'utiliser les arêtes qui restent intactes comme de petites charnières.

Intervenant 22:05

Pour essayer d'aplatir totalement ce carton sur le sol.

Intervenant 12:08

Voilà, c'est ça. On veut l'aplatir d'un seul tenant, sans qu'absolument aucun morceau de carton ne se superpose. À première vue, c'est un jeu d'enfant. C'est littéralement le genre d'activité manuelle qu'on fait faire aux gamins.

Intervenant 22:19

Sauf que, prouver mathématiquement qu'il est toujours possible de le faire pour n'importe quelle forme géométrique convexe,

Intervenant 12:27

C'est un mystère absolu. Ça fait plus de cinq siècles que ça rend fou les esprits les plus brillants de la planète. C'est le fameux problème du patron. Et historiquement, on associe souvent cette idée de dépliage à un géant de la Renaissance, Albrecht Dürer.

Intervenant 22:43

Oui, Dürer, qu'on connaît surtout comme un peintre et un graveur de génie. Mais il a publié en 1525 un ouvrage très sérieux, « Les instructions pour mesurer à la règle et au compas ».

Intervenant 12:55

Il avait donc une vraie casquette de géomètre ? Il cherchait des méthodes pratiques pour représenter des volumes sur une surface plane ?

Intervenant 23:02

Tout à fait. Et l'histoire a longtemps retenu Duret comme l'inventeur exclusif de cette technique du patron. Mais en réalité, si on lit les travaux de recherche récents en histoire des mathématiques, je pense notamment à un article fascinant de 2008, écrit par Schreiber, Fischer et Sternath, et bien cette paternité exclusive vole complètement en éclats.

Intervenant 13:23

Ah bon ? Duré n'était pas le premier à déplier des formes géométriques ?

Intervenant 23:27

Et non, on découvre que des patrons de polyèdres se trouvaient déjà sous la plume de quelqu'un d'autre, bien avant. Dès 1509, pour illustrer le traité de Divina proportionne du mathématicien Luca Pacioli.

Intervenant 13:40

Attends, ne me dis pas que c'est…

Intervenant 23:41

Si, c'est Léonard de Vinci.

Intervenant 13:43

C'est toujours stupéfiant de voir Léonard de Vinci surgir à chaque coin de l'histoire des sciences.

Intervenant 23:47

Mais s'il les dessinait bien avant Duré, comment ça se fait que son nom ait été effacé de cette invention précise ?

Intervenant 13:53

C'est assez ironique en fait. C'est une simple question de priorité éditoriale de l'époque. Les historiens, et Max Teck l'avait déjà remarqué dès 1948, ont noté que les éditions ultérieures du livre de Pacioli ont tout bonnement supprimé certains dessins techniques de Vinci.

Intervenant 24:07

Ils ont censuré De Vinci. Mais pourquoi ? Pas vraiment censuré, mais les éditeurs préféraient garder les illustrations grandioses, les solides en perspective ombrée, tu vois, ce qui était visuellement spectaculaire. Ils ont jugé que ces histoires de polygones mis à plat, c'était beaucoup trop utilitaire, trop pauvre visuellement pour mériter de l'encre et du papier.

Intervenant 14:28

L'ironie est totale. Et Duret, de son côté, a juste eu l'intelligence d'en faire un manuel pratique systématisé.

Intervenant 24:35

Exactement. Sauf que ce concept soi-disant trop utilitaire a fini par engendrer un monstre mathématique absolu. C'est

Intervenant 14:43

clair. Et ce problème, il a été formalisé de manière très stricte des siècles plus tard, en 1975, par le britannique Geoffrey Colin Shefford.

Intervenant 24:52

Oui. Et la question de Shepard est la suivante. Est-ce qu'un polyèdre possède toujours un patron ? En gros, est-ce qu'on peut toujours l'aplatir sans aucun chevauchement ?

Intervenant 15:01

Alors, pour bien comprendre ça, il faut scinder le monde des formes en deux catégories.

Intervenant 25:06

Tout à fait. Il y a d'abord ce qu'on appelle les polyèdres non-convexes.

Intervenant 15:10

C'est-à-dire les formes complexes, celles qui ont des creux, des renfoncements ou qui ressemblent à des étoiles en 3D.

Intervenant 25:17

Exactement. Et pour cette catégorie-là, le suspense est mort. Les mathématiciens ont trouvé des contre-exemples irréfutables. On sait qu'il existe des polyèdres non-convexes qu'il est physiquement impossible d'aplatir en une seule pièce sans que ça coince.

Intervenant 15:32

D'accord, donc s'il y a des creux, ça peut se superposer, je le conçois très bien. Mais si la forme est bien lisse, bien gonflée de l'intérieur, ce qu'on appelle un polyèdre convexe donc ?