Topologie : pourquoi tasse et beignet se ressemblent-ils ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Que se passe-t-il au juste quand on décide de jeter toutes les règles classiques de la géométrie par la fenêtre ?

Intervenant 20:10

Ça fait un sacré vide.

Intervenant 10:11

Ouais, c'est clair. Quand on décrète soudainement que la taille, la distance, les angles parfaits ou même le volume d'un objet n'ont plus la moindre importance. C'est de ça qu'on va parler. Aujourd'hui, on propose aux auditeurs d'embarquer pour une exploration intellectuelle, disons assez inattendue. L'objectif, c'est vraiment de comprendre comment les mathématiques abordent l'étude des formes. Et ce, non pas par la mûlure stricte, mais par la déformation pure. C'est le monde fascinant de la topologie.

Intervenant 20:40

Et c'est un changement de paradigme complètement radical par rapport à ce qu'on apprend tous à l'école. On quitte l'univers très rigide du Clyde, tu sais, avec ses équerres, ses compas, ses angles droits.

Intervenant 10:51

La géométrie bien

Intervenant 20:53

sage, quoi. Voilà, exactement. Et on entre dans un univers complètement élastique. C'est un monde où l'on étudie uniquement les propriétés fondamentales. Celles qui survivent, en fait, quand on tord, qu'on étire ou qu'on écrase la matière. Vraiment, à l'extrême.

Intervenant 11:06

C'est ça. Et pour mener à bien cette mission, aujourd'hui, on va s'appuyer sur un dossier très complet. C'est un article qui s'intitule « Dénouer les mystères des déformations caoutchouteuses ».

Intervenant 21:16

Un titre très à propos.

Intervenant 11:17

Ouais, n'est-ce pas ? Et le parcours qui nous attend est honnêtement vertigineux. On va partir de quelque chose d'aussi rudimentaire que la pâte à modeler pour traverser ensuite les fulgurances de l'algèbre abstraite du XIXe

Intervenant 21:30

siècle

Intervenant 11:31

et pour finalement atterrir au cœur même de nos cellules biologiques, là où carrément notre ADN s'emmêle.

Intervenant 21:37

Ce trajet, en fait, il illustre à merveille la puissance incroyable des mathématiques. On a une théorie qui semble au tout départ être juste un pur jeu d'abstraction mentale, presque un passe-temps.

Intervenant 11:51

Un truc de théoricien dans son bureau.

Intervenant 21:53

C'est ça. Et ça finit par fournir le seul vocabulaire capable d'expliquer les mécanismes les plus intimes du vivant.

Intervenant 12:00

Bon, décortiquons tout ça. Entrons tout de suite dans le vif du sujet avec cette fameuse pâte à modeler. Parce que c'est vraiment l'analogie fondatrice pour bien visualiser la topologie.

Intervenant 22:10

Ouais, c'est le meilleur moyen de comprendre.

Intervenant 12:12

Donc, on imagine un enfant qui joue avec un bloc de pâte. Il peut sculpter un terrifiant dinosaure, par exemple. Puis bon, il s'en lasse, il écrase le tout en boules et il remodèle la même pâte pour en faire un lapin.

Intervenant 22:25

Voilà. Et pour un géomètre classique, ça, c'est une hérésie totale.

Intervenant 12:28

Ah bah oui, toutes les distances entre les points ont complètement changé.

Intervenant 22:31

C'est ça, la hauteur n'est plus du tout la même, les angles ont disparu, mais pour un topologue, le dinosaure et le lapin partagent une identité absolue. C'est exactement le même objet.

Intervenant 12:41

C'est fou de se dire ça. Ils partagent cette identité parce que les topologues s'imposent quand même des règles d'or lorsqu'ils manipulent cette matière théorique, c'est pas l'anarchie totale.

Intervenant 22:50

Non, non, pas du tout. La première règle, et c'est vraiment la plus incontournable, c'est la continuité de la transformation. Les mouvements doivent être doux, en fait.

Intervenant 12:58

Doux, c'est-à-dire ?

Intervenant 23:00

L'étirement, la compression, la torsion, tout ça, c'est autorisé tant que c'était réversible. En revanche, certaines actions physiques sont formellement proscrites.

Intervenant 13:08

OK, donc si je prends ma boule de pâte initiale et que je tire dessus de toutes mes forces pour en faire une très longue baguette de pain, je suis toujours dans les règles topologie. Je veux dire, je modifie l'apparence, mais fondamentalement, je n'ai rien détruit.

Intervenant 23:20

Si le principe même, la boule et la baguette sont considérés comme le même objet mathématique, parce que tu passes de l'une à l'autre par une déformation qui est continue.

Intervenant 13:28

D'accord.

Intervenant 23:29

On pourrait même, je sais pas, aplatir les côtés de cette boule pour obtenir un cube parfait, un dé à jouer, ou même en étirer cinq extrémités pour former une étoile de mer.

Intervenant 13:38

Ouais, l'enfant s'abuse bien quoi.

Intervenant 23:40

Exactement. Tous ces objets, bien qu'ils soient si différents visuellement, ils partagent exactement la même forme topologique.

Intervenant 13:47

Par contre, j'imagine qu'il y a quand même une limite physique à cette indulgence mathématique. Si j'ai ma baguette de pain en pâte à modeler, que je replie les deux bouts l'un sur

Intervenant 23:58

l'autre

Intervenant 13:59

et que je les fusionne en appuyant hyper fort pour faire un anneau, là, je sens que j'ai triché, non ?

Intervenant 24:05

Là, c'est une violation majeure des règles en effet.

Intervenant 14:08

Je me disais bien.

Intervenant 24:09

Il est strictement interdit de recoller deux bouts séparés. Et inversement, on n'a pas le droit de déchirer, de couper avec des ciseaux ou de percer un trou de part en part dans la matière.

Intervenant 14:20

Pas de trou artificiel donc.

Intervenant 24:21

Voilà. Si on crée un trou qui n'existait pas avant, ou si on soude des parties qui étaient indépendantes, on rompt ce qu'on appelle la continuité de l'espace.

Intervenant 14:29

Ce qui nous amène à la métaphore de la boulangerie. C'est dans le dossier et ça aide vraiment à bien visualiser la chose. Si j'aplatis ma boule de pâte et que j'enfonce mon pouce violemment au centre pour la traverser de part en part, pour en faire un baguel ou un beignet disons, là j'ai commis le crime topologique ultime.

Intervenant 24:51

Le crime absolu. Tu as fabriqué un trou.

Intervenant 14:53

C'est

Intervenant 24:53

ça. Ce qui est fascinant ici, c'est ce basculement total de la pensée scientifique.