Formule d’Euler : l’enquête des polyèdres rebelles

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver aujourd'hui pour une nouvelle exploration de folie.

Intervenant 20:08

Bonjour à tous. Et oui, on a un programme particulièrement chargé aujourd'hui.

Intervenant 10:13

Absolument. Alors, pour quiconque nous écoute, préparez-vous parce qu'on va parler d'un objet qu'un enfant de 5 ans pourrait dessiner les yeux fermés. Un objet tout bête, un polyèdre.

Intervenant 20:24

Exactement. Une forme géométrique classique, avec des arêtes bien droites, des coins, des faces planes. Un dé à jouer, par exemple.

Intervenant 10:33

Voilà, un truc tout simple. Sauf que, et c'est là que c'est croustillant, pendant des siècles, les plus brillants esprits mathématiques de la planète ont été totalement incapables de se mettre d'accord sur cette définition.

Intervenant 20:46

C'est même pire que ça. En essayant juste de compter les coins et les arêtes d'une boîte, ces génies ont carrément déclenché une crise existentielle scientifique.

Intervenant 10:55

Une vraie tempête. C'est le sujet de notre plongée fascinante du jour. Une aventure qui a mis le monde des mathématiques sens dessus dessous, avant de donner naissance à une toute nouvelle discipline fondamentale.

Intervenant 21:08

C'est un point de départ fantastique pour poser le cadre de ce décryptoge. L'objectif aujourd'hui, ce n'est vraiment pas de réviser de la géométrie de collège.

Intervenant 11:16

Non, on vous rassure.

Intervenant 21:17

Voilà. Il s'agit plutôt de comprendre comment une volonté très simple de classification a pu échapper à l'entendement pendant des centaines d'années. Et ce qui est vertigineux, c'est qu'en cherchant à dompter cette forme, on a fini par révéler la structure topologique secrète de l'espace lui-même.

Intervenant 11:32

Mais c'est une épopée digne d'un roman policier. Notre auditoire va vite s'en rendre compte. L'histoire est pleine de rebondissements. Des manuscrits secrets oubliés en Allemagne. Des formes terrifiantes qualifiées de monstres. Des «

Intervenant 21:44

instres géomotriques ». Oui, littéralement.

Intervenant 11:47

Des batailles d'égos monumentales aussi. Avec des savants dans le déni le plus total. Et puis au final, l'émergence d'une théorie révolutionnaire à cause d'une petite note griffonnée à la va-vite.

Intervenant 21:59

Tout à fait. Mais pour saisir l'ampleur de la crise du XIXe siècle, il faut vraiment remonter à l'étincelle initiale.

Intervenant 12:06

La fameuse règle qui a mis le feu aux poudres. Et là, surprise, tout le monde pense à Léonard Euler. Mais l'histoire ne commence pas du tout avec lui.

Intervenant 22:14

Et non.

Intervenant 12:15

Elle commence dans l'ombre d'un autre géant, un certain René Descartes.

Intervenant 22:19

Ah, Descartes.

Intervenant 12:20

Oui, verset 130, Descartes rédige un texte en latin, le titre c'est, attendez que je le prononce bien, Progymnasmata de solidoro elementis.

Intervenant 22:31

Les exercices pour les éléments des solides en gros. C'est ça. Et dans ce manuscrit, il réalise une percée majeure. Il démontre que pour tout polyèdre, la somme des déficits de tous ses sommets est invariablement égale à 8 angles droits.

Intervenant 12:45

Donc, 720°.

Intervenant 22:47

Exactement, 720°. Mais la clé ici, c'est cette notion de déficit. C'est brillant. Un sommet est formé par plusieurs faces qui se rencontrent. Si on additionne les angles de ces faces autour de ce sommet précis, on n'atteint jamais 360°. Bah oui,

Intervenant 13:02

sinon la figure serait toute plate.

Intervenant 23:04

Voilà. La différence entre 360° et cette somme réelle, c'est précisément ce que Descartes appelle le déficit.

Intervenant 13:11

Bon, alors, décortiquons un peu tout ça, parce que ce concept de déficit, il nécessite une image mentale forte.

Intervenant 23:17

Allez-y.

Intervenant 13:18

Imaginons qu'on essaye d'aplatir du papier cadeau autour de la pointe d'une boîte. Si on met les faces géométriques à plat sur la table, les unes à côté des autres, on remarque vite qu'il manque un morceau de papier.

Intervenant 23:31

Une sorte de part de gâteau manquante en fait.

Intervenant 13:34

C'est ça, un vide indispensable pour faire un tour complet de 360°. Cet angle manquant qui permet à la forme de se replier et de créer un vrai sommet en 3D, c'est le déficit.

Intervenant 23:47

C'est une excellente analogie.

Intervenant 13:49

Prenons un cube. À chaque coin, on a 3 carrés qui se rejoignent. Chaque angle de carré fait 90 degrés. Donc 3 fois 90, on est à 270 degrés.

Intervenant 24:01

Et pour arriver au tour complet de 360, il manque 90 degrés.

Intervenant 14:05

Exactement. Le déficit d'un sommet de cube, c'est 90. Et comme un cube a 8 sommets, 8 fois 90 moins…

Intervenant 24:15

Ça fait bien 720 degrés.

Intervenant 14:16

Et le compte est bon. C'est irréprochable.

Intervenant 24:19

Physiquement, ça illustre vraiment la courbure de la troisième dimension. En fait, plus le déficit est grand, plus la forme est, disons, pointue. Ah oui, genre un tétraèdre ! Voilà. Le tétraèdre a des sommets formés de trois triangles éculatéraux, ce qui donne

Intervenant 14:27

un énorme déficit de 180 degrés par sommet. Il est hyper piquant par rapport à un

Intervenant 24:29

cube. Descartes avait totalement saisi cette loi.

Intervenant 14:42

Attendez, là une question s'impose pour quiconque suit cette histoire. Si Descartes a découvert cette pépite géométrique si limpide, pourquoi on n'apprend pas le théorème de Descartes à l'école ?

Intervenant 24:54

Ah, la grande question.

Intervenant 14:55

Comment ça a pu passer inaperçu ? S'il a fallu attendre Euler, un siècle plus tard, Descartes a forcément caché son jeu.

Intervenant 25:02

C'est un des silences les plus frustrants de l'histoire des sciences, franchement. Il n'a jamais publié ce manuscrit. Jamais.

Intervenant 15:07

Mais pourquoi ?

Intervenant 25:08

Le mystère reste entier. Il trouvait peut-être que c'était inachevé, ou alors ça l'éloignait de ses obsessions métaphysiques de l'époque. Toujours est-il que le texte a dormi dans une malle pendant plus de deux siècles.

Intervenant 15:19

Deux siècles ?

Intervenant 25:20

Oui. Il a fallu attendre 1860 pour qu'un érudit, Louis-Alexandre Fouchère de Carrel, le rende enfin public.

Intervenant 15:27

Et le pire, c'est l'endroit où il a été retrouvé, non ?

Intervenant 25:30

Ah oui, à Hannover, mélangé aux archives personnelles d'un de ses plus grands rivaux, Leibniz. C'est

Intervenant 15:35

complètement fou de se dire qu'une telle vérité universelle était enfermée dans une boîte poussiéreuse. Du coup, la géométrie des solides naviguait complètement à l'aveugle. Il fallait que quelqu'un d'autre parte de zéro.

Intervenant 25:46

Et c'est exactement ce qui se passe en novembre 1750. Euler entre en scène.

Intervenant 15:50

Léonard Euler ?

Intervenant 25:51

Lui-même. Il correspondait avec un autre mathématicien, Christian Golbach. Et Euler, il a une intuition absolument redoutable. Il part d'une vérité connue sur les surfaces planes.

Intervenant 16:03

Les polygones, c'est ça ?

Intervenant 26:05

Oui. Pour un polygone à N côtés, la somme des angles, c'est 2 fois N moins 2 multipliée par 90 degrés.