Formule d’Euler : pourquoi sommets − arêtes + faces = 2 ?

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on se lance dans une exploration vraiment spéciale. Bonjour tout

Intervenant 20:07

le monde, très heureuse d'être

Intervenant 10:09

là. Et moi, je suis ravi d'entamer cette discussion. L'exploration d'aujourd'hui, eh bien, elle s'appuie sur un article fascinant qui s'appelle « Une glorieuse descendance ». Et notre mission, c'est de retracer un fil conducteur mathématique qui est franchement assez extraordinaire.

Intervenant 20:24

Ouais, le point de départ est même plutôt inattendu pour des mathématiques de ce niveau.

Intervenant 10:28

Est-ce qu'il y a le moins qu'on puisse dire ? Pour bien planter le décor, il faut qu'on se transporte mentalement en 1968. On est au YMCA de New Delhi, la nuit tombe, et on a un petit groupe, trois étudiants en maths, un physicien, un chimiste, qui débattent avec passion.

Intervenant 20:44

Et ils ne débattent pas de physique quantique ou de molécules complexes, non. Ils parlent d'un ballon de foot. C'est

Intervenant 10:49

ça, un simple ballon de football. Parce qu'à l'époque, les ballons, c'était souvent ces vieux trucs en cuir lourds avec des grandes bandes rectangulaires, tu sais. Mais en Europe, un nouveau design venait d'apparaître.

Intervenant 21:00

Exactement, la fameuse mosaïque d'Hexagone et de Pentagone cousue ensemble, le design classique qu'on a tous en tête aujourd'hui.

Intervenant 11:07

Voilà. Et l'intuition de ce petit groupe en Inde, c'est que cette forme géométrique bien précise permet d'épouser au mieux la perfection d'une sphère. Du coup, notre but aujourd'hui, c'est de tirer ce fil. Partir de ce petit débat sur un terrain de sport pour voir comment ça nous mène jusqu'au sommet les plus abstrait de la géométrie algébrique. Avec Alexandre Grothendieck. Rien que ça.

Intervenant 21:27

Un sacré programme ! Et ce soir-là à New Delhi, le débat tourne autour d'une question toute bête. De quoi est constitué ce ballon exactement ?

Intervenant 11:34

C'est-à-dire combien de pièces il faut coudre ?

Intervenant 21:36

C'est ça. Combien de pentagones ? Combien d'hexagones ? Sauf qu'ils n'ont pas le ballon sous les yeux. Le bon sens vaudrait que ce soit impossible à deviner comme ça, de tête.

Intervenant 11:46

Bah oui, j'aurais dit pareil. Mais l'un des maths du groupe affirme super sereinement qu'il peut trouver la réponse par le calcul pur.

Intervenant 21:53

Et son outil, c'est pas une nouveauté technologique, c'est la formule de l'air pour les polyèdres. Un truc à plusieurs siècles.

Intervenant 11:59

Bon, décortiquons tout ça. L'idée, c'est de regarder ce ballon, pas comme un objet en cuir, mais comme un polyèdre abstrait, c'est bien ça ?

Intervenant 22:07

Tout à fait. Un polyèdre dont les contours épousent une sphère. Et la formule de l'air, elle donne une règle incontournable pour ce type de solide. Elle dit que le nombre de sommets, qu'on va appeler grand S, moins le nombre d'arêtes, grand A, plus le nombre de faces, grand F, ça donne toujours le chiffre 2.

Intervenant 12:25

S moins A plus F égale 2. Ok, c'est super épuré, mais comment il applique ça au ballon A ?

Intervenant 22:35

Alors, il traduit les coutures en algèbre. Disons que petit p, c'est le nombre de pentagones, et petit h, le nombre d'hexagones. Le nombre total de faces, le fameux f, c'est tout simplement p plus h. Jusque-là, je suis. f

Intervenant 12:51

égale p plus

Intervenant 22:52

h. Voilà. Mais pour les sommets et les arêtes, c'est là qu'il y a une petite subtilité topologique.

Intervenant 12:59

Attends, si je prends toutes mes pièces de cuir, que je les découpe et que je les jette en vrac sur une table. Un pentagone, ça a 5 coins, un hexagone, ça en a 6. Donc le nombre de coins total sur la table, c'est 5 fois P plus 6 fois H, hein ?

Intervenant 23:13

C'est la bonne logique. Sauf que, une fois que tu as cousu le ballon, chaque sommet de la forme finale regroupe exactement 3 morceaux de cuir.

Intervenant 13:22

Ah oui ! 3 faces se rejoignent à chaque coin du ballon !

Intervenant 23:25

Exactement ! Donc, pour avoir le vrai nombre de sommets S du ballon gonflé, tu dois diviser ton total par 3. Ton paramètre S devient, entre parenthèses, 5P plus 6H, le tout divisé par 3.

Intervenant 13:39

D'accord, je vois le truc. Et j'imagine que pour les arêtes, donc les coutures, c'est le même genre de logique, non ?

Intervenant 23:45

Pareil. Sur ta table, tu as 5P plus 6H, bords disponibles. Mais quand tu couds, chaque couture réunit exactement deux bords.

Intervenant 13:53

Donc on divise par deux. L'arête A, c'est 5P plus 6H divisé par deux ?

Intervenant 23:59

Voilà. On a toutes les pièces. S, A et F. On remplace tout ça dans la petite équation de l'air.

Intervenant 14:04

Ok, donc ça donne un truc du genre 5p plus 6h sur 3, moins 5p plus 6h sur 2, plus p plus h. Et tout ça doit donner 2.

Intervenant 24:15

Et c'est là que la magie opère. Quand tu fais le calcul, que tu mets tout au même dénominateur, tous les termes avec un h, donc les hexagones, s'annulent purement

Intervenant 14:26

et simplement. Attends, les h disparaissent complètement ?

Intervenant 24:29

Complètement. Il ne reste qu'une seule et unique vérité à la fin de l'équation. P égale 12.

Intervenant 14:35

C'est fou, ça. Donc, les maths dictent qu'il faut obligatoirement 12 pentagones pour fermer cette sphère. Et on s'en fiche complètement du nombre d'hexagones.

Intervenant 24:45

C'est exactement ce que ça veut dire.

Intervenant 14:47

Mais attends, je soulève une objection là. Si on rogne des faces et que les hexagones s'annulent dans la formule, on pourrait ajouter autant d'hexagones qu'on veut, non ?