Géométries non euclidiennes : le postulat qui change l’espace

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:02

Bonjour à toutes et à tous.

Intervenant 10:04

Aujourd'hui, on s'embarque pour une aventure vraiment hors du commun. Bonjour à tout le monde et bienvenue à tous les esprits curieux qui nous écoutent.

Intervenant 20:12

C'est une exploration qu'on attendait avec impatience.

Intervenant 10:14

Totalement. Alors, imaginons un instant que pendant plus de 2000 ans, l'humanité entière ait utilisé une seule et unique règle pour mesurer le monde.

Intervenant 20:23

Une règle qu'on pensait absolue.

Intervenant 10:25

C'est ça. On a bâti nos maisons, nos villes, toute notre science et même notre philosophie entière sur cette fameuse règle.

Intervenant 20:33

Et le pire, c'est qu'on n'en doutait pas une seule seconde.

Intervenant 10:35

Absolument pas. Et puis, un beau jour, quelqu'un se rend compte que cette règle avait été tordue.

Intervenant 20:40

C'est un choc monumental en fait.

Intervenant 10:43

Un choc cosmique même. Aujourd'hui, on plonge au cœur d'une véritable révolution intellectuelle qui a secoué les mathématiques et la physique. On va parler d'une rébellion contre un dogme vieux de plus de deux millénaires.

Intervenant 20:56

Exactement. On va voir comment des mathématiciens ont carrément créé de nouveaux univers à partir du néant.

Intervenant 11:02

Et comment, au final, de simples équations abstraites, de petits gribouillages sur un tableau noir, ont fini par expliquer la gravitation elle-même.

Intervenant 21:11

L'objectif de notre analyse d'aujourd'hui, c'est vraiment d'allier la plus grande rigueur mathématique à une approche hyper accessible.

Intervenant 11:17

Ouais, pour que tout le monde puisse ressentir ce frisson de la découverte.

Intervenant 21:20

Tout à fait. Qu'on soit néophyte ou qu'on ait un niveau avancé en maths, on va décortiquer la naissance de ce qu'on appelle les géométries non euclidiennes.

Intervenant 11:28

Et pour comprendre l'ampleur de cette rébellion, il faut d'abord regarder le mur qu'il a fallu abattre.

Intervenant 21:34

Le fameux empire d'Euclide.

Intervenant 11:36

Voilà, on se trouve en Grèce antique, environ 300 ans avant notre ère. Un certain Euclide publie un traité colossal, les

Intervenant 21:45

éléments. C'est la bible des mathématiques de l'époque quoi.

Intervenant 11:49

La référence absolue. Ok, il faut qu'on décortique ça parce que c'est la base de tout. Comment ça fonctionne ces éléments ?

Intervenant 21:55

Alors, ça repose sur une structure vraiment implacable. D'abord, Euclide ose des définitions, ce qui est un point, une ligne, ce genre de choses.

Intervenant 12:03

D'accord, le vocabulaire de base.

Intervenant 22:05

C'est ça. Ensuite, il énonce cinq postulats, qu'on appelle aussi des axiomes.

Intervenant 12:10

Et un axiome, juste pour être clair, c'est une évidence absolue, on est d'accord ?

Intervenant 22:13

Exactement. C'est une vérité première qui s'impose à l'esprit. Un truc tellement évident qu'on n'a pas besoin de le démontrer.

Intervenant 12:19

Genre le ciel est bleu ou l'eau s'amouille.

Intervenant 22:22

Dans l'idée, oui.

Intervenant 12:23

Et à partir de ces cinq briques fondamentales, on peut déduire tous les théorèmes de la géométrie classique.

Intervenant 22:28

Le souci, et c'est là que Dorte Histoire démarre, c'est que sur ces cinq axiomes, le cinquième détonne complètement.

Intervenant 12:35

Il fait tache, clairement.

Intervenant 22:36

C'est comme une franchise de films à succès. Les quatre premiers films sont des chefs-d'œuvre de simplicité.

Intervenant 12:42

Ils sont évidents, rapides à comprendre.

Intervenant 22:44

Ouais, ils disent des trucs simples comme on peut tracer une droite entre deux points, c'est basique. Mais le cinquième film, le cinquième postulat...

Intervenant 12:51

Il est lourd, compliqué, on a l'impression qu'il n'a pas sa place au casting.

Intervenant 22:54

C'est tout à fait ça. Comment il est formulé ce fameux cinquième postulat ? Alors dans sa version, reformulée plus tard par Proclus, ça donne ça. Dans un plan, par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à celle-ci.

Intervenant 13:10

Waouh. Rien qu'à l'entendre, ça sonne différemment des autres.

Intervenant 23:13

Ah oui, c'est beaucoup moins intuitif.

Intervenant 13:15

Ça exige qu'on imagine des lignes qui s'étirent jusqu'à l'infini sans jamais, au grand jamais, se croiser. Ça ressemble à un théorème hyper complexe qui s'est déguisé en évidence.

Intervenant 23:26

Et tu as tout à fait raison. Parce que cette lourdeur, ça a rendu fou des générations de géomètres.

Intervenant 13:32

J'imagine, ils ont dû essayer de le réparer.

Intervenant 23:34

Complètement. Depuis les Grecs, en passant par les grands savants arabo-musulmans, jusqu'à John Wallis ou Adrien-Marie Legendre en Europe, tous se sont dit, ce truc n'est pas un axiome, on doit pouvoir le démontrer à partir des quatre premiers.

Intervenant 13:47

Et alors ? Ils ont réussi ?

Intervenant 23:49

Ben non. À chaque fois, c'était un échec total.

Intervenant 13:53

Ah ouais, zéro réussite.

Intervenant 23:55

Zéro !