Congruences : des calendriers aux codes, suivez les restes

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire une plongée, une plongée au cœur d'un sujet qui, je l'avoue, m'a un peu retourné le cerveau.

Intervenant 20:11

Bonjour ! Eh oui, je pense que ça va faire cet effet à pas mal de gens qui nous écoutent aujourd'hui.

Intervenant 10:16

Pour être honnête, si je disais d'entrée de jeu qu'il y a un lien direct, mais vraiment direct, entre la petite astuce mentale pour deviner quel jour tombera Noël l'année

Intervenant 20:25

prochaine

Intervenant 10:26

et la technologie qui sécurise absolument toutes les transactions bancaires mondiales sur Internet à la seconde où on se parle,

Intervenant 20:33

C'est vrai que dit comme ça, c'est le grand écart total, ça donne le vertige. Mais carrément. Table à un truc qu'on fait en famille, à l'infrastructure de la cybersécurité mondiale. Mais le pont intellectuel entre ces deux mondes, il existe bel et bien. Et en plus, il est d'une élégance absolue.

Intervenant 10:48

Alors, pour essayer de comprendre ce pont, j'ai envie d'utiliser une analogie culinaire. Je ne sais pas si ça vous

Intervenant 20:53

parle. Allez-y, j'aime beaucoup la cuisine.

Intervenant 10:55

En fait, en cuisine, il y a souvent deux écoles. Il y a ceux qui, après un gros repas, vont gratter le fond des plats et jeter tous les restes à la poubelle sans réfléchir.

Intervenant 21:03

Oui, un peu dommage du coup.

Intervenant 11:05

Voilà. Et puis, il y a les autres, ceux qui savent qu'avec un peu d'astuces, ces restes peuvent être accommodés, transformés et des fois, on crée un plat qui est presque meilleur ou en tout cas plus riche que l'original.

Intervenant 21:15

C'est tout un art, effectivement.

Intervenant 11:16

Exactement. Accommoder les restes, c'est un art. Eh bien, en mathématiques, figurez-vous que c'est exactement la même chose. C'est le cœur d'un concept fascinant qu'on appelle les congruences.

Intervenant 21:27

L'image est vraiment très parlante. Parce que la congruence, c'est littéralement ça. C'est la science arithmétique des restes. Le grand changement de paradigme ici, c'est que, au lieu de s'obstiner à regarder la quantité totale, vous savez, la taille globale d'un grand nombre...

Intervenant 11:43

On l'ignore complètement.

Intervenant 21:44

C'est ça. On décide de l'ignorer. On ne s'intéresse qu'à ce qui déborde, à ce qui reste une fois qu'on a fait des paquets d'une taille bien précise.

Intervenant 11:52

Mais du coup, vu de l'extérieur, on pourrait se dire que c'est une perte d'information, non ? Un appauvrissement ?

Intervenant 21:58

Oui, on pourrait se dire ça. Mais en réalité, ce changement de perspective, il est d'une puissance mathématique redoutable.

Intervenant 12:04

Et c'est justement la mission de notre exploration d'aujourd'hui. Décortiquer cette mécanique-là.

Intervenant 22:09

Tout à fait.

Intervenant 12:10

Comment le simple reste d'une division tisse un fil complètement invisible dans notre quotidien ? Mais avant de parler de cryptographie et de trucs très abscrits,

Intervenant 22:20

Revenons à nos moutons.

Intervenant 12:21

Voilà, prenons l'application la plus commune, une application que l'humanité entière utilise tous les jours, de façon totalement intuitive, juste en regardant un calendrier.

Intervenant 22:30

Absolument. Le calendrier, en fait, c'est la parfaite introduction à cette notion de congruence, parce que c'est un système qui tourne en boucle.

Intervenant 12:38

Alors, imaginons une situation hyper concrète pour ceux qui nous écoutent. Disons que le 22 novembre, ça tombe un lundi.

Intervenant 22:46

D'accord.

Intervenant 12:46

Et on veut savoir quels jours on fêtera Noël, donc le 25 décembre de cette même

Intervenant 22:51

année.

Intervenant 12:52

Si on compte entre le 22 novembre et le 25 décembre, on a les huit derniers jours de novembre plus les 25 jours de décembre, ça fait un écart de 33 jours.

Intervenant 23:03

C'est ça. Et là, que fait notre cerveau ? Il ne va pas s'amuser à réciter les jours de la semaine un par un, 33 fois de suite.

Intervenant 13:12

Ah non, ce serait insupportable. Lundi, mardi, mercredi, non.

Intervenant 23:15

Bah oui. Donc il cherche un raccourci.

Intervenant 13:18

Et le raccourci, c'est la structure même de notre semaine, la semaine de 7 jours.

Intervenant 23:22

Exactement.

Intervenant 13:23

On sait très bien que dans 33 jours, il y a 4 semaines complètes, puisque 4 x 7, ça fait 28. Donc ces 28 jours, on les enlève carrément de l'équation, puisqu'il nous ramène de toute façon à notre point de départ, un lundi.

Intervenant 23:36

Voilà, et c'est là qu'on arrive au cœur de Réacteur. Les 28 jours donc, notre fameuse quantité totale dont on parlait au début, hop, à la poubelle.

Intervenant 13:43

On n'en a plus besoin.

Intervenant 23:44

On garde que le reste de la division de 33 par 7. Et ce reste, c'est 5.

Intervenant 13:50

Donc, je prends mon lundi, j'arrance de 5 jours, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, Noël tombe un samedi.

Intervenant 23:59

Vous venez de faire de l'arithmétique modulaire sans vous en rendre compte.

Intervenant 14:02

Ce sont nos fameuses miettes au fond de la casserole en fait.

Intervenant 24:05

Exactement, les semaines entières disparaissent. Et ce qui est vraiment intéressant là-dedans, c'est que les mathématiciens ont décidé de formaliser cette simple habitude mentale.

Intervenant 14:14

D'en faire une vraie théorie ?

Intervenant 24:15

Oui. Au lieu de travailler avec l'infinité vertigineuse des nombres entiers, l'ensemble qu'on note avec un grand Z majuscule, on crée une sorte d'univers miniature.

Intervenant 14:26

D'accord. Et cet univers, on l'appelle comment ?

Intervenant 24:28

C'est ce qu'on appelle un ensemble quotient. Dans notre exemple du calendrier, comme on divise par 7, et bien dans ce nouvel univers, il n'y a que 7 nombres qui existent.

Intervenant 14:36

Juste 7 ?

Intervenant 24:38

Juste 7. Les 7 restes possibles de la division, 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

Intervenant 14:46

C'est tout.

Intervenant 24:47

Cet ensemble, on le note Z sur 7Z. On remplace une droite infinie par un cercle sur lequel on va tourner, tourner indéfiniment.

Intervenant 14:56

Alors, c'est fascinant, mais là, je me mets à la place de l'audience.