Pourquoi π surgit-il bien au-delà des cercles ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, le rendez-vous de ceux qui nous écoutent pour une nouvelle exploration au cœur des mathématiques. Je suis super ravie de démarrer cette nouvelle plongée.

Intervenant 20:12

Salut Evelyne, ouais moi aussi je suis prêt, on a un sujet vraiment fascinant aujourd'hui.

Intervenant 10:17

Ah ça c'est sûr. Alors aujourd'hui on part pour une sorte de chasse au trésor. On va traquer un nombre que tout le monde croit connaître parfaitement, mais qui en fait se cache absolument partout et surtout là où il n'a rien à faire. Je veux parler du fameux nombre π.

Intervenant 20:33

π, bah oui le fameux 3,14, enfin disons que pour poser les bases sereinement, π c'est on ne peut plus classique quoi. C'est simplement le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre.

Intervenant 10:45

Voilà la base. Donc son territoire naturel c'est la géométrie pure, on est d'accord ?

Intervenant 20:50

Tout à fait. C'est normal de le voir débouler quand on calcule la surface d'une sphère ou le volume d'un cylindre, même un cône quoi.

Intervenant 10:58

Ouais, même dans les équations d'ellipses, ça choque personne. Une ellipse, au fond, c'est juste un cercle un peu étiré.

Intervenant 21:03

C'est ça, c'est une projection centrale d'un cercle. Donc le cercle d'origine est toujours là, en filigrane. Mais l'objectif de notre analyse aujourd'hui, c'est de montrer que π s'échappe totalement de cette géométrie pure.

Intervenant 11:14

Il s'évade, complètement. Il va contaminer la physique, le hasard, et tu vas voir même l'abstraction absolue. Du coup, premier grand saut, on quitte la géométrie pure pour atterrir dans la physique et l'astronomie.

Intervenant 21:26

Ouais, le monde réel, quoi !

Intervenant 11:27

Exactement. Et là, il y a un truc qui me fascine. π définit les cercles, ok. Mais comment ça se fait qu'on le retrouve dans des mouvements qui vont juste d'avant en arrière, genre un oscillateur ?

Intervenant 21:37

Ah, les fameux oscillateurs !

Intervenant 11:40

Un pendule ou un ressort qui monte et descend, ça ne dessine pas du tout un cercle. Et pourtant, quand on prend la formule de la période d'un pendule, on a T égale 2π racine de L sur G. Pour un ressort, c'est T égale 2π racine de M sur

Intervenant 21:57

K.

Intervenant 11:58

D'où sort ce π ? Il n'y a pas de cercle qui tourne là !

Intervenant 22:00

C'est vrai que c'est une belle contradiction en apparence. Mais en fait, il faut comprendre pourquoi ces mouvements ont cette formule. C'est parce que ce sont des mouvements sinusoïdaux. Des ondes

Intervenant 12:09

donc.

Intervenant 22:10

Voilà. En physique, la plupart de ces problèmes se ramènent à des équations différentielles. Que ce soit pour des oscillateurs mécaniques comme ton ressort, ou même des oscillateurs électriques.

Intervenant 12:19

D'accord.

Intervenant 22:20

Et la solution de ces équations, elle est périodique. Or, la période fondamentale d'une fonction sinusoïdale en mathématiques, c'est 2π.

Intervenant 12:28

Ah ok, donc la boucle temporelle ramène π, même si le trajet physique est une ligne droite.

Intervenant 22:33

Exactement. Si on regarde l'évolution de l'énergie de ce ressort, disons, son énergie cinétique par rapport à son énergie potentielle, ça trace une ellipse parfaite dans ce qu'on appelle l'espace des phases.

Intervenant 12:45

C'est brillant ! Mais là où je trouve que ça devient encore plus fou, c'est quand rien ne bouge. Les champs de forces invisibles !

Intervenant 22:52

Ah oui, l'électromagnétisme.

Intervenant 12:53

Ouais. Prenons l'électricité. Avec la loi de Coulomb, la force entre deux charges, c'est proportionnel à 1 sur 4πε0. Ouais. Et en magnétisme, la loi de Biot et Savart, le champ magnétique autour d'un fil droit, c'est μ0 fois l'intensité sur 2π fois la distance. D'où vient ce π, franchement ? Il n'y a ni mouvement, ni courbe.

Intervenant 23:13

Ce qui est fascinant ici, c'est la notion d'espace. Prenons la force électrostatique de Coulomb. Imagine une charge électrique. Son influence ne va pas juste tout droit, elle rayonne.

Intervenant 13:25

Dans toutes les directions.

Intervenant 23:26

Voilà, uniformément dans l'espace en trois dimensions. Donc à mesure qu'on s'éloigne de cette charge, cette force invisible se répartit sur une surface de plus en plus grande. Comme une bulle qui gonfle. C'est exactement ça, une sphère d'influence. Et la surface d'une sphère, géométriquement, c'est 4πr². Oh waouh !