Legendre : le mathématicien piégé par le cinquième postulat

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente pour une toute nouvelle plongée mathématique. Je suis vraiment ravie de lancer cette exploration aujourd'hui parce qu'on s'attaque à un

Intervenant 20:09

morceau. Ah oui, un très très gros morceau.

Intervenant 10:12

Bonjour à tous. Bonjour. C'est vrai que d'habitude, les mathématiques évoquent une discipline hyper clinique, presque glaciale, genre une équation n'offre que deux issues, la vérité ou l'erreur.

Intervenant 20:23

C'est ça, la rigueur binaire, c'est un côté hyper rassurant. On aime bien quand les certitudes sont bien rangées dans des cases, validées par la logique pure.

Intervenant 10:30

Exactement. Sauf que l'histoire des sciences, elle regorge de zones d'ombre où cette certitude n'est qu'une puissante illusion, en fait. Et aujourd'hui, on va parler d'un mystère vieux de plus de 2000 ans.

Intervenant 20:42

Une simple phrase, une seule règle géométrique qui a littéralement hanté les esprits les plus brillants de l'humanité.

Intervenant 10:48

Et qui a poussé un des plus grands savants français de son époque à concevoir une arnaque intellectuelle d'une perfection redoutable, avant de tomber lui-même dans son propre piège.

Intervenant 20:59

C'est vraiment le génie piégé par son propre cerveau, c'est fascinant.

Intervenant 11:02

Du coup, la mission de notre exploration du jour, c'est de rouvrir ce véritable cold case scientifique. On va décortiquer le crime parfait de la géométrie, comprendre pourquoi cette démo est fausse et voir comment tout ça a fini par pulvériser notre conception de l'espace.

Intervenant 21:17

Ce qui est dingue dans ce drame intellectuel, c'est que l'avoglement vient d'un excès de rigueur. Il faut bien se dire qu'on ne parle pas d'une erreur grossière sur une copie d'étudiant.

Intervenant 11:25

Non, c'est clair, c'est pas une faute de frappe.

Intervenant 21:27

Voilà, c'est un édifice logique magnifique, vraiment sculpté par l'obsession de la perfection. Et tout s'effondre à cause d'une seule fissure microscopique, qui était pourtant là, en pleine lumière.

Intervenant 11:38

Faut qu'on remonte à la source pour comprendre ça. Planter le décor du terrain de jeu, quoi. Tout commence au IIIe siècle avant notre ère, avec un livre monumental, les fameux éléments d'Euclide.

Intervenant 21:48

Ah, la bible absolue de la géométrie occidentale. Ce qui fascine avec ce texte, c'est son architecture quasi militaire en fait.

Intervenant 11:57

Faut dire que Clyde, il balance pas juste des formules en l'air. Il construit un système formel en partant de rien.

Intervenant 22:03

Exactement. 35 définitions, des dizaines de théorèmes et surtout, le cœur du réacteur, les neuf notions communes et les six demandes, ce qu'on appelle les postulats.

Intervenant 12:13

Moi, j'aime bien visualiser ça comme les règles imprimées au dos d'une boîte de jeux de société. Un jeu hyper complexe, tu vois.

Intervenant 22:19

C'est une super analogie, ouais.

Intervenant 12:20

Enfin, les notions communes, c'est le fait d'accepter qu'on joue à tour de rôle ou qu'on jette un dé. C'est la base de la logique. Mais les postulats, c'est vraiment les règles spécifiques de l'univers géométrique du jeu.

Intervenant 22:31

Tout à fait. Et pour lancer la partie et donc commencer à prouver des théorèmes, il faut signer un contrat de confiance. On doit accepter ces postulats sans jamais exiger qu'ils soient prouvés.

Intervenant 12:41

On accepte et on joue. Sauf qu'il y a un problème historique qui surgit tout de suite. Un des articles de ce contrat pose vraiment souci dès l'Antiquité 1.

Intervenant 22:50

Ah, le vilain petit canard. Le cinquième postulat. Les quatre premiers, ils sont fulgurants. Dire « par deux points passe une droite », c'est net, c'est élégant. C'est de l'évidence pure. Voilà. Mais le cinquième postulat de Clyde, le postulat des parallèles, il vient brutalement casser cette harmonie.

Intervenant 13:05

Parce que son énoncé original, c'est une horreur. Enfin, c'est une épreuve d'endurance. En gros, ça dit que si une droite coupe deux autres droites et que les angles intérieurs d'un même côté font moins de 180 degrés, les droites finiront par se croiser de ce côté-là à l'infini.

Intervenant 23:20

C'est interminable.

Intervenant 13:21

Et ça tranche radicalement avec l'esthétique du reste. Ça a l'air lourd, conditionnel. Franchement, ça ressemble plus à un théorème compliqué qu'à une règle de base.

Intervenant 23:30

C'est presque illogique d'imposer ça comme point de départ indiscutable en fait. Ça donne juste envie de le démontrer à partir des autres règles plus simples.

Intervenant 13:37

Et le pire, c'est qu'Uklid lui-même s'en méfiait et l'a repoussé son utilisation au maximum. Il fait 28 propositions avant de s'en servir en dernier recours.

Intervenant 23:46

Donc le gars écrit la règle, mais il n'a pas envie de l'utiliser. C'est fou. C'est ça. Et ça a semé un doute qui a hanté les savants pendant des millénaires, des Grecs aux Arabes jusqu'aux Européens. Tout le monde s'est dit que Klid s'était trompé de catégorie et qu'on pouvait le démontrer grâce au reste.

Intervenant 14:03

Ce qui nous amène à la fameuse géométrie absolue ?

Intervenant 24:06

Exactement. C'est le nom que Janos Bolyai donne là plus tard, mais l'idée est là. La géométrie absolue, c'est le système de Clyde, mais amputé de ce cinquième postulat encombrant.