Euclide : quand règle et compas deviennent des idées

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente et un accueil des plus chaleureux à quiconque nous écoute pour cette nouvelle plongée au cœur des mathématiques.

Intervenant 20:09

Merci. Et quelle plongée aujourd'hui ! On s'attaque vraiment à du lourd !

Intervenant 10:14

À ça, c'est sûr. Imaginons un instant pouvoir coder la matrice entière de notre réalité physique, définir les lois de l'espace, et tout ça, eh bien, sans jamais toucher un seul objet.

Intervenant 20:26

Sans aucune mesure concrète, oui, c'est vertigineux.

Intervenant 10:29

C'est exactement le tour de force monumental qu'a accompli un homme à Alexandrie, quelque part entre 320 et 260 avant notre ère. Cet homme, c'est Euclide.

Intervenant 20:40

L'immense Euclide, ouais.

Intervenant 10:41

Et pour comprendre comment il a littéralement piraté la réalité avec la seule force de sa pensée, on va décortiquer ensemble un article passionnant qui s'intitule « Dans l'œil d'Euclide ».

Intervenant 20:52

Un article fantastique, oui, qui démontre brillamment que son œuvre majeure, les fameux éléments, n'est pas du tout un simple manuel de géométrie.

Intervenant 11:01

C'est bien plus que ça, n'est-ce

Intervenant 21:03

pas ? Totalement. C'est la traduction d'une philosophie pure en un système mathématique parfait. Et ce qui rend la démarche d'Euclide si radicale, en fait, c'est qu'elle va à l'encontre de tout le bon sens de son époque.

Intervenant 11:14

C'est-à-dire ? Dans l'Antiquité, on fonctionnait comment ?

Intervenant 21:17

Particulièrement dans l'artisanat ou l'architecture, la référence absolue pour appréhender les formes, c'était l'expérience sensible. Ce qu'on voit, ce qu'on touche quoi.

Intervenant 11:25

Ce qu'on mesure avec des cordes ou des morceaux de bois.

Intervenant 21:28

Exactement. Et la révolution euclidienne, c'est de tourner volontairement le dos à cette réalité matérielle. Il s'inspire directement de la figure de proue de l'abstraction, c'est-à-dire Platon.

Intervenant 11:39

Ah Platon, d'accord.

Intervenant 21:40

L'article s'appuie d'ailleurs sur les travaux de l'historien des mathématiques Jean Dombre, qui explique très clairement cette fracture. Dans la pensée platonicienne, il y a une scission insurmontable entre deux mondes.

Intervenant 11:52

D'un côté le monde physique et de l'autre le monde des idées, c'est ça ?

Intervenant 21:56

Tout à fait. Le monde des objets sensibles, celui dans lequel nous évoluons tous les jours, est par nature imparfait. Il est corruptible en perpétuel changement.

Intervenant 12:05

Un morceau de goie finit par pourrir, une corde se détendre…

Intervenant 22:08

Voilà. Mais au-delà de ce chaos, il existe, selon Platon, le monde des modèles éternels. Les idées, avec un grand I. Ce sont des concepts purs, d'une perfection absolue.

Intervenant 12:20

Des concepts totalement immuables.

Intervenant 22:22

C'est ça. Et l'ambition foudroyante des éléments, cette somme gigantesque de 15 livres, c'est d'être le couronnement absolu de cette vision platonicienne appliquée à la géométrie.

Intervenant 12:32

Pour bien ancrer ça dans l'esprit de l'auditoire, on peut prendre une image concrète. C'est un peu la différence entre un cercle dessiné maladroitement au bout d'un bâton dans le sable d'une plage, par exemple.

Intervenant 22:42

Ouais, un cercle qui a des bosses.

Intervenant 12:44

Voilà. Le trait a une certaine épaisseur et au premier coup de vent ou à la prochaine marée, paf, il disparaît. Ça, c'est le monde sensible. Et en

Intervenant 22:51

face ?

Intervenant 12:52

En face, on a l'idée absolue, éternelle, du cercle. Un concept parfait, géométriquement pur, qui flotte dans une dimension inaccessible.

Intervenant 23:01

Et qui survivra à la fin de l'univers physique, exactement.

Intervenant 13:04

Mais du coup, ça soulève une question immédiate. Comment on peut construire un système mathématique qui va finir par servir à des ingénieurs pratiques en se basant sur des choses qui n'existent littéralement nulle part dans le monde réel ?

Intervenant 23:15

Eh bien, par un coup de force magistrale. Pour faire le pont entre cette philosophie très éthérée et la géométrie, Euclide décide de fixer de nouvelles règles du jeu, dès la première page.

Intervenant 13:26

Avant même de dessiner quoi que ce soit !

Intervenant 23:29

Ah oui, il n'y a pas de dessin. Il impose d'abord un dictionnaire d'un monde invisible. Il rédige 35 définitions stupéfiantes qui ne décrivent pas notre réalité, mais ce fameux monde des idées.

Intervenant 13:41

Waouh, 35 !

Intervenant 23:42

La toute première définition annonce la couleur. Un point est, je cite, « ce dont il n'y a aucune partie ». Donc il

Intervenant 13:49

n'a pas de dimension.

Intervenant 23:50

Aucune. Et la deuxième définition affirme qu'une ligne est une longueur sans épaisseur.

Intervenant 13:56

Mais attendez, attendez, on s'arrête là-dessus deux secondes. C'est complètement vertigineux. Si une ligne n'a aucune épaisseur, elle est littéralement invisible.

Intervenant 24:04

Ah, c'est le paradoxe apparent, oui.

Intervenant 14:06

Bah oui ! Même si je prends le stylo le plus fin du monde, il dépose des atomes d'encre sur le papier, il a une largeur, même microscopique. Comment concevoir une géométrie sur des fantômes qu'on ne peut techniquement ni voir, ni toucher ?

Intervenant 24:18

Parce que, et c'est un saut conceptuel inouï, Euclide nous dit que le trait d'encre sur le papier n'est pas la ligne géométrique.

Intervenant 14:25

C'est juste une représentation.

Intervenant 24:26

C'est un avatar grossier, ouais.