De la mesure aux axiomes : le voyage de la distance

Intervenant 10:00

Salut tout le monde et bienvenue dans cette nouvelle exploration, le podcast du magazine Tangente. Je suis ravie de vous retrouver pour une plongée vraiment fascinante aujourd'hui. On va parler d'un truc que tout le monde croit connaître sur le bout des doigts. L'espace qui sépare, je ne sais pas, la Terre de la galaxie d'Andromède,

Intervenant 20:17

Ou même juste l'espace entre votre écran et vos yeux en ce moment même.

Intervenant 10:21

Exactement. Ce qu'on appelle tout bêtement la distance. Ça a l'air tangible, c'est physique, c'est une évidence absolue pour tout le monde. Et pourtant, l'histoire des mathématiques nous apprend une vérité complètement contre-intuitive.

Intervenant 20:34

C'est clair. La distance, au sens strict, ça n'existe pas dans le monde réel. Ce n'est pas une loi de la physique, c'est une pure invention humaine.

Intervenant 10:41

Une invention qui s'est complètement métamorphosée au fil des millénaires. Bon, décortiquons tout

Intervenant 20:47

ça. Le voyage de cette invention est juste dingue. On parle littéralement de la boue, des champs agricoles, pour finir dans des dimensions abstraites que le cerveau humain peut même pas visualiser. C'est le grand paradoxe de la géométrie. Un mot qui, d'ailleurs, étymologiquement parlant, signifie la mesure de la Terre.

Intervenant 11:07

Ouais, arpenter des terrains avec des cordes pour finir au début du XXe siècle avec un concept qui n'est au fond rien d'autre qu'un ensemble de trois petites règles logiques qu'on peut appliquer à n'importe quoi.

Intervenant 21:18

C'est exactement ça. Et pour bien comprendre comment l'humanité a réussi cet exploit, arracher la distance au monde physique pour en faire un truc purement abstrait, il faut remonter à la source.

Intervenant 11:29

Chez les Grecs de l'Antiquité, on est d'accord. Parce que quand on dit géométrie grecque, on pense tout de suite à Euclide au IIIe siècle avant notre ère.

Intervenant 21:36

Oui, on a cette image d'épinal. Oui,

Intervenant 11:38

on s'imagine direct des vieux savants barbus en train de calculer des centimètres ou des mètres sur des parchemins avec des règles.

Intervenant 21:48

Alors que c'est l'erreur classique, chez Euclide et même chez des génies comme Archimède qui sont venus après, la notion de distance chiffrée, elle n'existe pas du tout.

Intervenant 11:58

Attends, pas d'unité du tout ?

Intervenant 22:00

Aucune. Dans les fameux éléments d'Euclide, la ligne est définie comme une longueur, mais c'est un concept presque philosophique. Le mot évoque plutôt une étendue qu'une vraie mesure avec des chiffres.

Intervenant 12:11

Donc quand un grec faisait de la géométrie, il ne mesurait rien ?

Intervenant 22:15

Non, il ne mesurait rien avec une règle graduée. En fait, il faisait ce qu'on appelle du transport de longueur. L'outil roi, c'était le compas.

Intervenant 12:22

Ah oui, le compas qui pique là.

Intervenant 22:24

Voilà, on piquait le compas sur un point A et un point B. On gardait cet écartement bien figé et on allait le reporter physiquement sur une autre ligne pour voir si c'était plus grand, plus petit ou pareil.

Intervenant 12:38

D'accord, je vois le genre. C'est pour bien se représenter la chose. C'est un peu comme si on essayait de construire une maison entière, genre une charpente, sans avoir le droit d'utiliser un mètre ruban.

Intervenant 22:48

C'est tout à fait ça.

Intervenant 12:49

On prendrait juste un grand bout de ficelle. On dirait, cette poutre doit faire trois fois la taille de cette ficelle et on coupe le bois en posant la ficelle trois fois de suite.

Intervenant 22:59

Exactement. C'est une géométrie d'une pureté absolue, mais qui refuse complètement de coller des nombres sur la réalité. Et ce qui est fascinant ici, c'est l'arrivée, trois siècles plus tard, des ronds d'Alexandrie.

Intervenant 13:13

Ah, Héron ! Lui, il a mis un sacré coup de pied dans la forminière, non ?

Intervenant 23:17

Un vrai séisme. Contrairement à Euclide, Héron va faire entrer les nombres dans la géométrie. Il marie la géométrie et l'arithmétique. Et ça, ça culmine avec sa formule complètement magique pour calculer l'aire d'un triangle.

Intervenant 13:31

Oh oui, la formule de Héron. Faut vraiment qu'on s'y arrête un instant parce que c'est un tour de force. Normalement, à l'école, on nous apprend que pour calculer la surface d'un triangle, on fait la base ou la hauteur divisée par

Intervenant 23:44

deux. Ouais, super facile sur un tableau noir.