Comment al-Khwārizmī trouvait deux solutions avec des carrés

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. C'est vraiment super de retrouver quiconque nous écoute pour cette nouvelle exploration approfondie. Aujourd'hui, on va déconstruire pas mal d'idées reçues sur les mathématiques.

Intervenant 20:15

Ah oui, on a un programme assez chargé et surtout très visuel pour le coup.

Intervenant 10:19

C'est ça, parce qu'on a souvent tendance à imaginer l'algèbre comme une sorte de soupe alphabétique complètement abstraite avec des X et des Y partout.

Intervenant 20:29

Ouais, des tableaux noirs illisibles quoi.

Intervenant 10:31

Exactement. Mais et si on réalisait qu'il y a près de 4000 ans, les équations c'était des objets physiques, des choses qu'on dessinait littéralement sur des tablettes d'argile ou même dans le sable ?

Intervenant 20:44

Et c'est une trajectoire fascinante en fait. L'objectif de notre analyse d'aujourd'hui, c'est vraiment de comprendre très précisément comment les savants de l'Antiquité, et tout particulièrement l'immense mathématicien perse al-Khwārizmī, Au IXe siècle, comment ils ont utilisé la géométrie pure pour donner naissance à l'algèbre moderne ?

Intervenant 11:03

C'est fou de se dire que la géométrie a accouché de l'algèbre.

Intervenant 21:06

Tout à fait. Ils se sont servis de formes hyper élémentaires, de simples carrés et de rectangles qu'on pouvait tracer physiquement, pour prouver des concepts abstraits qui sont carrément vertigineux.

Intervenant 11:18

Bon, décortiquons tout ça. Pour bien poser les bases de notre discussion, j'aime bien utiliser une analogie assez simple.

Intervenant 21:24

Vas-y, je t'écoute.

Intervenant 11:25

Imaginons un peu le processus d'apprentissage de la lecture pour un enfant. Si on lui balançait uniquement des concepts abstraits de linguistique, de phonétique théorique, l'apprentissage serait un véritable cauchemar.

Intervenant 21:39

Ah bah c'est sûr, il ne comprendrait rien du tout.

Intervenant 11:41

Voilà. Au lieu de ça, on lui donne souvent de petits blocs de construction en bois avec des lettres peintes dessus. L'enfant peut les manipuler, les empiler, les déplacer physiquement pour former des mots concrets.

Intervenant 21:54

Ouais, il y a un côté tactile matériel.

Intervenant 11:56

Exactement. L'algèbre, à ses tout débuts, c'était exactement la même démarche. On ne manipulait pas des concepts flottant dans le vide, on manipulait des blocs géométriques solides.

Intervenant 22:06

La comparaison est super appropriée. D'ailleurs, pour bien saisir la portée philosophique et mathématique de l'innovation d'al-Khwārizmī plus tard, il faut d'abord se pencher sur le lien sémantique fondamental, en fait, qui unit la géométrie et l'algèbre.

Intervenant 12:21

Un lien qu'on a presque oublié aujourd'hui, d'ailleurs.

Intervenant 22:23

Oui, complètement. Mais c'est une connexion qui a survécu jusqu'à notre époque moderne. Quand on énonce une équation mathématique aujourd'hui, on utilise couramment des expressions comme x² ou x³.

Intervenant 12:36

C'est vrai, on dit ça tous les jours en cours de

Intervenant 22:38

maths. Le problème, c'est qu'à force de les répéter un peu par automatisme, le sens premier de ces mots finit par s'effacer. Mais il ne s'agit pas du tout de métaphore linguistique. Ah non ? Non, pas du tout. Dans l'esprit des anciens mathématiciens, la valeur algébrique x² désigne, de la manière la plus littérale qui soit, la surface réelle d'un carré physique dont le côté mesure une longueur x.

Intervenant 13:01

C'est dingue qu'on l'oublie complètement. Le langage mathématique de tous les jours a vraiment conservé cette trace fossile de l'époque géométrique.

Intervenant 23:08

C'est exactement ça, une trace fossile.

Intervenant 13:09

Et pour retrouver la source originale de ces fameux carrés physiques, nos sources nous invitent à faire un bond colossal dans le temps. On part en Mésopotamie, il y a près de 4000 ans.

Intervenant 23:19

Un voyage dans le temps, carrément.

Intervenant 13:21

Ouais, et nous avons ce document absolument remarquable. C'est une petite tablette d'argile babylonienne, répertoriée sous le matricule BM 13901. Elle nous parvient des alentours de l'an 1700 avant notre

Intervenant 23:33

ère. C'est un artefact inestimable pour l'histoire des sciences. Tu sais, les scribes babyloniens n'étaient pas seulement des administrateurs un peu plan-plan, ils étaient des arpenteurs et des ingénieurs redoutables.

Intervenant 13:44

Donc ils avaient besoin de trucs concrets.

Intervenant 23:46

Voilà. La géométrie, c'était pas un simple jeu de l'esprit pour eux. C'était un outil d'État, vraiment, pour mesurer les terres agricoles et bâtir des canaux.

Intervenant 13:54

Et sur cette fameuse tablette, BM 13901, on trouve une compilation d'une vingtaine de problèmes mathématiques. Et le tout premier de la liste, il est formulé d'une manière très poétique, presque comme une énigme littéraire, en fait.

Intervenant 24:07

Qu'est-ce qu'il dit exactement ?

Intervenant 14:09

L'énoncé dit ceci. « J'ai sommé la surface et le côté de mon carré, 45. »

Intervenant 24:14

Ah ouais, c'est très lapidaire.

Intervenant 14:16

C'est ça. Quand on découvre cette phrase aujourd'hui, ça sonne comme une devinette, mais c'est pourtant une équation du second degré d'une très grande rigueur.

Intervenant 24:22

Il faut quand même préciser le contexte numérique pour que les auditeurs comprennent bien ce fameux 45. Oui,

Intervenant 14:27

parce que ça sort pas de nulle part.

Intervenant 24:29

Bah non. Les Babyloniens utilisaient un système de numération extrêmement sophistiqué, basé non pas sur des dizaines comme nous, avec le système décimal, mais sur une base 60.

Intervenant 14:39

Ah, le fameux système sexagé...

Intervenant 24:44

Exactement, et son héritage est encore hyper présent dans notre vie quotidienne.

Intervenant 14:48

D'ailleurs, c'est pour ça qu'une heure compte 60 minutes, et qu'un cercle est divisé en 360 degrés. C'est eux, hein ? C'est eux,

Intervenant 24:53

ouais. Et dans la logique de leur système mathématique, le nombre 45 exprimé ici correspond en réalité à la fraction de 45 sur 60.

Intervenant 15:01

D'accord, donc

Intervenant 25:01

c'est

Intervenant 15:02

une proportion.

Intervenant 25:02

C'est ça. Et si on simplifie cette proportion avec nos outils actuels, on tombe très exactement sur trois quarts.

Intervenant 15:10

Donc, si on fait l'effort de traduction en langage algébrique contemporain, la surface de mon carré, c'est la valeur x². Le côté de mon carré, c'est notre inconnu x. Et la somme de ces deux éléments donne notre fraction de 3 quarts. L'équation moderne devient donc x² plus x égale 3 quarts.

Intervenant 25:29

Impeccable.

Intervenant 15:30

Sauf que la grande question qui se pose, c'est de savoir comment des scribes de l'Antiquité, dépourvus de l'arsenal algébrique moderne qu'on a aujourd'hui, parvenaient à résoudre un tel casse-tête.

Intervenant 25:39

Eh bien, la réponse réside vraiment dans la manipulation spatiale. Pour résoudre ça, il faut imaginer un croquis tracé à même le sol. On dessine d'abord un grand carré parfait. Ok,

Intervenant 15:50

je visualise.

Intervenant 25:51

On ignore la mesure exacte de son côté, puisque c'est justement ce qu'on cherche à découvrir, donc appelons cette longueur x. Naturellement, la surface intérieure de ce carré représente x².

Intervenant 16:03

Jusque-là, c'est très logique.

Intervenant 26:05

Ensuite, la logique de l'énoncé nous demande d'y ajouter simplement la valeur x. Mais géométriquement parlant, ajouter x, cela revient à coller à notre carré initial un rectangle dont la longueur est égale à x et dont la largeur est de 1.

Intervenant 16:18

Ah, parce que l'air de ce rectangle supplémentaire, ça sera bien 1 multiplié par x, donc simplement x.

Intervenant 26:25

Exactement. À ce stade, la figure totale ressemble à une sorte de rectangle un peu allongé, et l'énoncé de la tablette nous garantit que sa surface globale vaut trois quarts.

Intervenant 16:33

Mais c'est là que le bricolage visuel commence, non ? Je suppose qu'on ne reste pas les bras croisés devant un rectangle allongé et complètement asymétrique.

Intervenant 26:41

Tu supposes bien.

Intervenant 16:42

Pour que la méthode fonctionne, il doit y avoir une redistribution des airs. On va certainement le scinder en deux pour réorganiser la forme.

Intervenant 26:50

L'intuition est excellente. C'est précisément la manœuvre décisive des mathématiciens babyloniens. On prend ce rectangle supplémentaire, celui qui a une largeur de 1, et on le coupe en deux parties égales dans le sens de la longueur.

Intervenant 17:04

Ok, on le tranche !

Intervenant 27:05

Voilà, on se retrouve avec deux rectangles beaucoup plus minces, d'une largeur d'un demi chacun.