Legendre : comment démasquer une équation sans solution ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Un immense plaisir d'accueillir nos auditeurs aujourd'hui pour une exploration vraiment vertigineuse.

Intervenant 20:08

Ouais, un très beau programme en perspective. Je suis ravi d'être là.

Intervenant 10:11

Et moi, je suis ravi de vous recevoir. Alors aujourd'hui, on plonge dans les dossiers de Tangente et plus particulièrement, on va décortiquer une conférence passionnante qui a été donnée à la Bibliothèque nationale de France par le chercheur David Harari.

Intervenant 20:24

Tout à fait. Une conférence qui nous emmène en plein cœur de la théorie des nombres.

Intervenant 10:29

C'est ça. La mission de notre plongée du jour, c'est de comprendre comment les mathématiciens arrivent à traquer les solutions entières ou même rationnelles de grosses équations algébriques. Et le truc fou, c'est qu'ils font ça sans avoir à tester une infinité de nombres.

Intervenant 20:44

C'est toute la magie de la chose, en fait. Trouver des raccourcis hyper élégants pour éviter le calcul brut et infini.

Intervenant 10:50

Et pour ça, notre public va croiser des choses assez improbables, genre des tablettes babyloniennes, la mécanique de nos horloges et même un mathématicien français du XVIIIe siècle, Adrien-Marie Legendre.

Intervenant 21:03

Ah, Legendre. Un esprit brillant qui a trouvé des méthodes incroyables pour résoudre l'insoluble. C'est un voyage super rigoureux mais vraiment élégant qui nous attend.

Intervenant 11:12

Ok, alors décortiquons tout ça. Pour commencer, il faut bien comprendre l'obsession des mathématiciens pour les nombres propres. J'aime bien utiliser une analogie. Chercher des solutions entières ou rationnelles, c'est un peu comme essayer de construire une maison uniquement avec des briques Lego entières.

Intervenant 21:29

J'adore l'image, c'est exactement

Intervenant 11:31

ça. Genre, on a nos briques Lego et la règle d'or, c'est l'interdiction totale de les scier en deux.

Intervenant 21:37

Ouais, la brique doit s'emboîter parfaitement. Sinon, on la jette. En mathématiques, la brique parfaite, c'est le nombre entier. 1, 2, 3, 10. Et juste en dessous, on a la brique rationnelle.

Intervenant 11:50

Donc les fractions propres du style 5 quarts qui fait 1,25 ?

Intervenant 21:54

C'est ça. Même un tiers qui donne 0,333 à l'infini, ça reste une brique valide parce que c'est un rapport net entre deux entiers.

Intervenant 12:04

Mais parce qu'il y a un mai, l'histoire se corse pendant l'Antiquité, non ?

Intervenant 22:07

Ah bah ça a été un vrai traumatisme pour les Grecs. Imaginez la figure géométrique la plus simple au monde. Un carré avec des côtés de 1 mètre.

Intervenant 12:15

D'accord, je visualise.

Intervenant 22:16

Et là, vous tracez la diagonale de ce carré. Par le célébrissime théorème de Pythagore, la longueur de cette diagonale au carré, c'est 1 au carré plus 1 au carré. Ce

Intervenant 12:26

qui fait 2.

Intervenant 22:27

Voilà. Le résultat brut, c'est 2. Donc la longueur exacte de cette fameuse diagonale, c'est le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 2.

Intervenant 12:37

La fameuse racine carrée de 2. Et là, c'est le drame pour notre construction en Lego.

Intervenant 22:43

C'est un effondrement total, ouais. Avec un raisonnement de niveau lycée, basé sur les nombres pairs et impairs, on peut prouver que cette longueur ne peut absolument pas s'écrire sous forme de fraction. C'est impossible.

Intervenant 12:54

Donc c'est la naissance officielle des nombres irrationnels, des nombres qui ne finissent jamais sans logique apparente.

Intervenant 23:00

Exactement. Et ça nous donne une règle d'or implacable. Si un nombre entier naturel n'est pas un carré parfait comme le sont 4, 9 ou 16, alors sa racine carrée est obligatoirement un nombre irrationnel.

Intervenant 13:12

Une brique complètement tordue qu'on ne peut placer nulle part sur notre chantier.

Intervenant 23:16

C'est tout à fait ça. Du coup, pour contourner ce problème, les mathématiciens ont dû ruser. Et pour voir ça, on fait un bond dans le temps.

Intervenant 13:24

On part en Mésopotamie, c'est ça ?

Intervenant 23:26

Au XVIIIe siècle avant notre ère.

Intervenant 13:28

Ouais, face à la fameuse tablette babylonienne 13901. Des savants qui faisaient déjà de l'algèbre avancier sur de l'argile fraîche avec de simples roseaux.

Intervenant 23:38

C'est fou quand on y pense. Et ils s'attaquaient à quoi concrètement ?

Intervenant 13:42

Aux équations du second degré, celles avec une incognue au carré. Notre fameux ax² plus bx plus c égale 0.

Intervenant 23:49

Ah oui, le classique du lycée.

Intervenant 13:51

Et pour savoir si on a des solutions en briques Lego entières, on utilise le discriminant, le fameux delta.

Intervenant 23:57

Le fameux delta qui vaut b² moins 4ac, ouais. Mais l'important, c'est de comprendre pourquoi ce delta est vital. Dans la formule finale pour trouver la solution, ce delta se retrouve coincé

Intervenant 14:11

La formule c'est moins b plus ou moins racine de delta.

Intervenant 24:13

Exactement. Donc si le delta n'est pas un carré parfait, sa racine sera irrationnelle. Et la solution de notre équation devient instantanément irrationnelle.

Intervenant 14:21

Elle est expulsée du chantier Lego quoi.

Intervenant 24:23

C'est le videur de la boîte de nuit qui dit non. Mais prenons l'exemple de la tablette d'Abylonienne. L'équation c'est 4x² plus 4x moins 3 égale 0.

Intervenant 14:33

Ok, on calcule le delta ensemble. Donc, BO carré, c'est 4 fois 4, ça fait 16. Ensuite, on enlève le bloc 4 fois A fois C.

Intervenant 24:40

Ce qui nous donne 4 fois 4 fois moins 3.

Intervenant 14:42

Ça fait moins 48. Du coup, on se retrouve avec 16 moins moins 48. Les deux moins s'annulent, ça devient une addition.

Intervenant 24:49

Voilà, 16 plus 48. Et ça, ça tombe pile sur 64.

Intervenant 14:52

Et 64, c'est le carré parfait de 8. 8 fois 8, 64. C'est magnifique.

Intervenant 24:58

C'est harmonieux. Sous la racine, ça vient un beau 8 bien net. Donc, les solutions sont rationnelles. Par contre, si on prend une équation qui a l'air plus simple, genre x²-x-1 égale 0,

Intervenant 15:09

Ah, ça donne un delta de 5.

Intervenant 25:10

Et 5 n'est le carré d'aucun entier. Sa racine carrée nous donne le fameux nombre d'or.