Euclide : comment comparer sans mesure commune ?

Intervenant 10:00

Bienvenue à l'écoute du podcast du magazine Tangente. Pour commencer aujourd'hui, on va faire une petite expérience de pensée.

Intervenant 20:07

Ah j'adore ça, on t'écoute !

Intervenant 10:09

Imaginez découvrir une vérité qui est tellement effrayante et tellement incompatible avec tout ce que vous croyez, que ça menace de détruire littéralement tout ce qu'on pensait savoir, sur la structure même de la réalité.

Intervenant 20:21

Rien que ça ! Mais bon, c'est pas de la science-fiction, c'est vraiment arrivé !

Intervenant 10:25

Exactement ! C'est le cauchemar philosophique et même scientifique qu'ont vécu les mathématiciens de la Grèce antique.

Intervenant 20:31

C'est un vrai séisme.

Intervenant 10:33

Totalement. Aujourd'hui, on ne va pas se contenter d'une simple petite leçon de géométrie, on plonge dans un véritable thriller intellectuel vieux de plus de 2000 ans.

Intervenant 20:41

Un thriller qui a façonné notre science moderne en fait.

Intervenant 10:44

Voilà. On va explorer une œuvre qui a posé les fondations de cette science, mais qui, pour survivre, a dû surmonter l'effondrement de ses propres bases. Et cet ouvrage titanesque, ce sont les éléments d'Euclide.

Intervenant 20:57

L'enjeu de cette exploration est vraiment vertigineux. On va essayer de comprendre comment ces géomètres de l'Antiquité ont fait face à l'impossible.

Intervenant 11:06

Sans calculatrice, on

Intervenant 21:07

précise. Sans calculatrice et surtout sans la moindre allèbre. Comment ils ont domestiqué l'idée de l'infini, manipulé des trucs qui échappaient à toute mesure. Et ce système de pensée qu'ils ont inventé, il est tellement robuste qu'il tient le coup jusqu'au XIXe siècle sans aucune faille.

Intervenant 11:24

C'est fou quand on y pense. Et pour mener cette enquête, on s'appuie sur un article super intéressant qui s'intitule « Chez Euclide ».

Intervenant 21:32

Oui, un article qui décortique super bien les rouages du livre VI de cette œuvre monumentale.

Intervenant 11:36

Mais avant de plonger dans les solutions géniales de ce livre VI, il faut qu'on pose le décor. Faut comprendre le désastre initial. Le fameux séisme. C'est ça. On est à la fin du IVe siècle avant notre ère. Et Euclide, l'auteur, c'est un mystère, on ne sait presque rien de lui.

Intervenant 21:55

C'est presque un personnage fantomatique, sa biographie nous échappe complètement.

Intervenant 12:00

Mais son héritage, par contre, il est bien là. 13 livres d'une densité incroyable, c'est un monolithe.

Intervenant 22:07

Et c'est une véritable tentative de structurer absolument tout le savoir mathématique de l'époque. T'as les 4 premiers livres qui posent les bases de la géométrie plane.

Intervenant 12:15

Donc les points, les lignes, les cercles, tout ça ?

Intervenant 22:18

Ouais, avec une rigueur implacable. Ensuite, les livres 5 et 6, et c'est le cœur de notre sujet d'aujourd'hui, ils traitent des proportions.

Intervenant 12:26

D'accord.

Intervenant 22:26

Puis ça glisse vers l'arithmétique pure, avec les livres 7 à 10, pour finir sur la géométrie dans l'espace avec les trois derniers.

Intervenant 12:34

Sauf que, et c'est là que des ennuis commencent, cette cathédrale de savoir, elle repose sur la vision du monde des pythagoriciens. Et pour eux, l'univers est purement rationnel.

Intervenant 22:44

C'est leur dogme absolu.

Intervenant 12:45

Et cette rationalité, elle tient à un mot, la commensurabilité. En gros, ça veut dire que n'importe quelle grandeur dans le monde physique peut être comparée à une autre, juste avec des nombres entiers.

Intervenant 22:56

C'est le principe de la mesure commune, l'étalon. Si tu prends deux segments de longueurs différentes, la règle dit qu'il est toujours possible de trouver un troisième tout petit segment.

Intervenant 13:06

Une sorte d'unité de base.

Intervenant 23:07

Exactement. Une unité de base qui va rentrer un nombre entier de fois dans le premier segment et un nombre entier de fois dans le second. Toujours. Sans exception.

Intervenant 13:15

Donc, pour visualiser, c'est un peu comme si l'univers était construit en briques Lego. C'est une super image, oui. Peu importe la taille de ton mur, tu peux toujours décomposer sa longueur en comptant un nombre précis de ces petites briques standards. C'est rassurant, c'est hyper ordonné quoi.

Intervenant 23:31

C'est pas juste pratique pour faire des plans, c'est vraiment la base de leur cosmologie. Le monde est tissé de ces proportions entières, c'est ce qui garantit l'harmonie du cosmos.

Intervenant 13:39

Et là, c'est le drame. Un jour, en étudiant une figure ultra banale, genre un carré, il trace la diagonale. L'horreur absolue. Oui, parce qu'il découvre que la diagonale est incommensurable par rapport au côté du carré. La brique Lego universelle vient de voler en éclats.

Intervenant 23:55

Ouais, c'est la fameuse racine carrée de 2, comme on l'appelle aujourd'hui, et ça brise littéralement leur niveau d'air.

Intervenant 14:00

Il n'y a aucune combinaison de briques qui marche. Même si tu prends des briques microscopiques, ça ne rentre jamais parfaitement.

Intervenant 24:07

Rien. La mesure commune n'existe pas. Le rapport entre ces deux lignes ne peut s'exprimer par aucune fraction d'entier.

Intervenant 14:14

C'est la panique intellectuelle à bord. Je veux dire, si la géométrie, la science de l'espace, peut même plus comparer les lignes d'un simple carré, c'est tout l'édifice qui s'écroule.

Intervenant 24:25

Ah bah oui, parce que leur outil suprême, la proportionnalité basée sur les entiers, il est soudainement obsolète pour les figures continues. Ils refusaient même de considérer ces rapports incommensurables comme des vrais nombres.

Intervenant 14:36

Du coup, comment on fait ? On arrête les maths ?

Intervenant 24:39

Non, il fallait une révolution conceptuelle.