Principe d’indifférence : du paradoxe à la cohérence

Intervenant 10:00

Bonjour à toutes et à tous et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver aujourd'hui pour une nouvelle exploration un peu spéciale.

Intervenant 20:10

Bonjour, merci de m'avoir invité.

Intervenant 10:12

Alors aujourd'hui, on va faire une plongée dans un article fascinant de Tangente qui s'intitule « Le très délicat principe d'indifférence ». Et c'est un sujet qui m'a retourné le serreur.

Intervenant 20:24

Oui, ça fait souvent cet effet-là la première fois qu'on s'y penche.

Intervenant 10:27

En fait, l'objectif de notre discussion aujourd'hui, c'est d'explorer un truc très contre-intuitif. Comment est-ce que les mathématiques, qui sont la science de la précision par excellence, comment elles nous dictent d'agir ou de calculer quand on est dans une ignorance totale ?

Intervenant 20:43

C'est ça, c'est exactement le cœur du problème.

Intervenant 10:45

Parce que d'habitude, en maths, on a des variables, on a des chiffres, on calcule, mais là, on n'a rien. Bon, décortiquons un peu tout ça. Posez-nous un peu le cadre.

Intervenant 20:56

Ce principe nous invite vraiment à réfléchir au mélange très subtil entre ce qu'on sait et ce qu'on ne sait pas. L'idée, c'est de générer des probabilités qui sont surprenantes, certes, mais qui doivent toujours rester logiques et cohérentes.

Intervenant 11:09

D'accord. Mais du coup, qui a inventé ça ? Enfin, qui s'est dit un matin, je vais mettre mon ignorance en équation ?

Intervenant 21:16

Alors, pour les origines, il faut remonter à Pierre Simon Laplace.

Intervenant 11:19

Oh,

Intervenant 21:19

carrément ! Oui, en 1840. Dans son essai philosophique sur les probabilités, à l'époque, il n'appelait pas ça le principe d'indifférence, il appelait ça le principe de raison insuffisante.

Intervenant 11:29

Raison insuffisante. Ouais, je vois l'idée.

Intervenant 21:32

Voilà. Et plus tard, c'est l'économiste John Maynard Keynes, en 1921, qui l'a vraiment baptisé principe d'indifférence dans son traité sur la probabilité.

Intervenant 11:42

Et donc, la définition officielle, c'est quoi ?

Intervenant 21:44

Keynes dit que s'il n'y a aucune raison d'attribuer une alternative plutôt qu'une autre, eh bien, elles ont une probabilité égale.

Intervenant 11:52

C'est un peu le principe de parcimonie, non ? Ou le maximum d'entropie, comme on dit parfois en physique.

Intervenant 21:56

Exactement, c'est la même famille d'idées. On ne présume pas d'un déséquilibre si on n'a aucune preuve qu'il y en a un.

Intervenant 12:03

D'accord.

Intervenant 22:03

Et Laplace, il illustre ça de façon géniale avec le jeu de croix ou piles. Enfin, ce qu'on appelle pile ou face aujourd'hui.

Intervenant 12:09

Ouais, le classique. Une chance sur deux.

Intervenant 22:12

Voilà. Mais Laplace ajoute un détail clé qui vient de la source qu'on étudiait aujourd'hui. Imaginez que vous savez pertinemment que la pièce est biaisée.

Intervenant 12:20

Attendez. Elle est truquée.

Intervenant 22:23

Elle a un défaut de fabrication, une inégalité. Mais, et c'est là tout le truc, vous ignorez totalement de quel côté penche ce biais.

Intervenant 12:31

D'accord, donc je sais qu'elle n'est pas équilibrée, mais je ne sais pas si elle va tomber plus souvent sur pile ou plus souvent sur face.

Intervenant 22:36

C'est ça. Et là, Laplace demande, quelle est la probabilité d'obtenir face au tout premier lancer ?

Intervenant 12:42

Intuitivement, je me dis, vu qu'elle est truquée, ce n'est plus 50-50. La probabilité physique n'est plus d'un demi.

Intervenant 22:48

Et pourtant si. Laplace montre que ça reste un demi.

Intervenant 12:52

Vraiment ? Mais comment c'est possible ?

Intervenant 22:54

Parce que votre ignorance compense parfaitement le bien inconnu. Dans votre tête, dans ce qu'on appelle votre espace épistémique, autant le défaut peut augmenter les chances de faire face, autant il peut les diminuer. Donc, en moyenne, l'ignorance totale crée un équilibre.

Intervenant 13:08

Oh, je vois. C'est super logique en fait. C'est une analogie que je me faisais en préparant l'émission. C'est comme si on était face à deux portes fermées. Oui. Je sais que derrière l'une, il y a un super trésor et derrière l'autre, il y a un mur en briques. Mais je n'ai absolument aucune indication, pas de carte, pas de son, rien.

Intervenant 23:26

Rien du tout,

Intervenant 13:28

oui. Bah, même si la pièce derrière est truquée, disons, le fait de choisir la bonne porte, ma stricte ignorance m'oblige à dire que j'ai 50% chance. Je divise par deux.

Intervenant 23:37

C'est une excellente analogie. Ça marche parfaitement pour des choix discrets, comme des portes ou une pièce de monnaie.

Intervenant 13:42

D'accord. Mais c'est très logique pour une pièce. Mais que se passe-t-il si les options ne sont pas juste binaires ? Parce que la vraie vie sert à un moment juste des portes ou des pièces.

Intervenant 23:52

Et c'est là que les ennuis commencent. Quand on passe à les variables continues, comme la taille, le poids, la surface, le principe d'indifférence devient une véritable usina paradoxe.

Intervenant 14:04

Oh là là, donnez-moi un exemple.

Intervenant 24:06

Prenons le paradoxe formulé par le philosophe Bachian Cornelis van Fraassen.

Intervenant 14:11

Ah oui, en 1989, le fameux problème du cube.

Intervenant 24:15

Exactement, le cube de Van Fraassen. L'énoncé est très simple. Une usine produit des cubes de fer. La seule information qu'on a, c'est que l'arête de ces cubes mesure au maximum 2 cm.

Intervenant 14:27

Ok, arête de 2 cm max, donc entre 0 et

Intervenant 24:31

2. Voilà. Et la question est, quelle est la probabilité qu'un cube choisi au hasard ait une arête inférieure à 1 cm ?

Intervenant 14:39

Bon bah là je me lance, on applique le principe d'indifférence naïf, on répartit les chances également.

Intervenant 24:44

Allez-y.

Intervenant 14:45

Si l'usine fait des cubes avec une arête entre 0 et 2 cm, la probabilité que ça soit en dessous de 1, c'est la moitié de l'intervalle. Donc une chance sur deux. C'est un demi.

Intervenant 24:57

C'est parfait.