Nombres complexes : du cercle à l’hyperbole, puis aux circuits

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Imaginons un instant la Seine. Nous sommes à la fin du XIXe siècle, en pleine révolution industrielle. L'époque des grands chantiers. Exactement. Des ingénieurs tentent de construire d'immenses lignes télégraphiques transcontinentales pour relier des villes super éloignées. Mais il y a un problème physique très concret. Le courant électrique se comporte super mal.

Intervenant 20:24

Ah bah oui, les signaux se déforment complètement, ils se perdent dans la boue et le cuivre des câbles. C'était un vrai cauchemar.

Intervenant 10:31

Un enfer, ouais. Et pour résoudre ce casse-tête bien matériel, et ça sans aucun ordinateur à l'époque, ces ingénieurs vont devoir faire appel à un nombre qui, techniquement parlant, n'existe pas.

Intervenant 20:43

Le fameux nombre imaginaire.

Intervenant 10:44

C'est ça. Aujourd'hui, notre mission, c'est de retracer cette trajectoire fascinante. On va voir comment une révolution purement mathématique, vraiment née de l'abstraction la plus totale, a permis de relier la géométrie classique du cercle à des concepts étranges comme l'hyperbole, pour finalement allumer les ampoules de nos salons et faire fonctionner nos réseaux électriques. Alors décortiquons cela. Je suis prête. Et pour bien saisir l'ironie de toute cette histoire, il faut commencer par comprendre comment les mathématiques se sont d'abord complètement éloignées du monde physique.

Intervenant 21:14

L'histoire commence véritablement en 1748, à l'Académie de Berlin. C'est là que Leonard Euler publie un ouvrage qui est juste monumental, l'Introductio in Analysin Infinitorum.

Intervenant 11:26

Un titre bien facile à placer dans une conversation, ça.

Intervenant 21:28

C'est clair. Mais ce texte, c'est un véritable séisme dans la façon de concevoir les mathématiques. Parce qu'avant cette date, la discipline reine pour donner du sens à n'importe quel calcul, c'était la géométrie.

Intervenant 11:42

On dessinait des choses, quoi !

Intervenant 21:44

Exactement ! Depuis l'Antiquité, et même avec les avancées de Newton ou Leibniz sur le calcul infinitésimal, on avait toujours besoin de tracer une figure. Pour penser une variation, une vitesse ou une limite, les mathématiciens s'appuyaient systématiquement sur des courbes, des tangentes, des aires visuelles.

Intervenant 12:02

La géométrie, c'était vraiment l'encre de la réalité.

Intervenant 22:05

Voilà, c'est ça. Et Euler décide de couper cette encre.

Intervenant 12:09

C'est un changement de paradigme complètement radical. Moi je vois ça un peu, c'est comme si soudainement, un informaticien décidait de ne plus jamais regarder l'interface graphique d'un logiciel.

Intervenant 22:19

Ah, j'aime bien cette

Intervenant 12:20

idée ! Tu vois, pour ne travailler qu'exclusivement dans le code source. L'interface graphique avec ses petits boutons et ses fenêtres rassurantes, ça c'est la géométrie. Et le code source, ce sont les nombres purs, l'algèbre. En fait, Euler plonge directement dans le code source.

Intervenant 22:35

C'est une excellente analogie. Et en plongeant dans ce code source, il inverse complètement la hiérarchie classique des savoirs. D'ailleurs, dans le premier volume de son ouvrage, il n'y a pas la moindre trace de géométrie. Zéro

Intervenant 12:47

figure.

Intervenant 22:48

Impressionnant. Ouais. Euler étudie juste les quantités, les suites de nombres, et il définit le concept de fonction mathématique de manière purement algébrique. Les formes géométriques, elles ne nous viendront que dans un second temps, dans le volume 2. Et c'est cette émancipation qui va lui permettre de faire des ponts qui étaient impensables avant.

Intervenant 13:05

Genre quoi, par exemple ?

Intervenant 23:06

Bah, prenons les fonctions trigonométriques. Le sinus et le cosinus. Jusque-là, un sinus, c'était rien d'autre qu'une ligne tracée dans un cercle. C'était très visuel. Euler, lui, il le redéfinit comme le résultat d'une série infinie de nombres.

Intervenant 13:21

Ah oui, une pure mécanique de calcul.

Intervenant 23:23

Exactement, totalement indépendante de la moindre figure géométrique.

Intervenant 13:27

Mais Euler, il s'arrête pas à réécrire ce qui existe déjà, si je me souviens bien. Il introduit des outils qui vont absolument tout bousculer. Et là, on abode son jeu avec la fameuse fonction exponentielle et ce nombre imaginaire, le fameux

Intervenant 23:40

i. Ah, le nombre i, dont le carré donne un résultat négatif, moins 1.

Intervenant 13:45

C'est quand même fou comme concept.

Intervenant 23:46

C'est clair. Et la rencontre entre la croissance exponentielle et ce nombre imaginaire, c'est le cœur absolu de la révolution de l'heure. Historiquement, l'exponentielle sert à décrire des phénomènes qui explosent, des choses qui croisent de plus en plus vite.

Intervenant 14:01

Comme la reproduction de bactéries ou les intérêts bancaires composés.

Intervenant 24:05

Tout à fait. Mais Euler, il découvre un truc dingue. Si on nourrit cette fonction de croissance avec un nombre imaginaire, son comportement change du tout au tout. Elle arrête de grandir vers l'infini.

Intervenant 14:16

Ah bon ?

Intervenant 24:17

Ouais. Au lieu de ça, elle se met à tourner sur elle-même. La croissance pure se transforme en rotation parfaite, en oscillation.

Intervenant 14:25

Attends, je veux m'assurer qu'on visualise bien la chose là. Une force qui pousse normalement tout droit vers l'infini. Dès qu'on lui injecte ce petit paramètre imaginaire, elle s'enroule et elle se met à osciller, genre comme un pendule ou une vague de l'océan.

Intervenant 24:38

C'est exactement ça. Le nombre imaginaire agit comme un pivot fondamental. Mathématiquement, Euler traduit ça par des relations d'une élégance inouïe. Il démontre que le cosinus ou le sinus d'une valeur, ce ne sont finalement que des combinaisons de ces fonctions exponentielles complexes.

Intervenant 14:56

Donc le mouvement circulaire, l'oscillation ?