Pentagramme : de l’étoile antique à la quatrième dimension

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on s'attaque à un truc, un symbole qu'on a absolument tous gribouillé au moins une fois, machinalement au téléphone ou dans la marge d'un cahier.

Intervenant 20:13

Ouais, le fameux trait continu avec ses cinq pointes. C'est vrai qu'on l'a tous fait.

Intervenant 10:18

Exactement. Le pentagramme et son grand frère, le pentacle. Et franchement, sous ces airs de petits dessins géométriques inoffensifs, ça cache des secrets complètement vertigineux.

Intervenant 20:28

C'est clair. Et le but de notre analyse aujourd'hui, en épluchant nos sources mathématiques, c'est vraiment de dépoussiérer ce symbole vieux comme le monde. On veut montrer comment il fonctionne.

Intervenant 10:38

Ouais, parce que ça va super loin en fait.

Intervenant 20:40

Ah bah complètement. L'objectif, c'est de démontrer par quel mécanisme cette simple étoile à cinq branches réussit l'exploit de relier les plus anciennes civilisations humaines à la géométrie euclidienne la plus pure.

Intervenant 10:55

Et même jusqu'au concept hyper complexe de la géovétrie multidimensionnelle. Enfin, la quatrième dimension quoi. Ça, ça m'a retourné le cerveau quand on a préparé l'émission.

Intervenant 21:04

Je te comprends. Mais avant de faire exploser les dimensions, il faut d'abord qu'on pose des bases matérielles solides.

Intervenant 11:11

Oui, parce que si on demande à une mathématicienne comme toi ce qu'est un pentagramme concrètement, quelle est la définition stricte ? On ne parle pas juste d'une étoile magique, on est d'accord ?

Intervenant 21:20

Non, pas du tout. L'appellation mathématique rigoureuse, c'est un pentagone étoilé. Et par définition, c'est ce qu'on appelle un pentagone non-convexe.

Intervenant 11:30

Ok. Et dans nos sources, on retrouve souvent un code assez bizarre pour le désigner. Le symbole de Schleffli, c'est ça ?

Intervenant 21:39

C'est ça. En géométrie, on utilise cette classification très précise. Et pour le pentagramme, ce symbole, c'est en tracolade 5 sur 2.

Intervenant 11:48

Alors le 5, je vois bien l'idée. C'est les cinq sommets, comme pour n'importe quel pentagone en fait. Mais le chiffre 2, il vient faire quoi là-dedans ?

Intervenant 21:56

Ce 2, c'est la clé de la construction géométrique. C'est un peu le mode d'emploi de la figure.

Intervenant 12:02

Genre comment on doit la tracer sur le papier ?

Intervenant 22:04

Exactement. Imagine cinq points disposés en cercle, tu vois, les sommets d'un pentagone régulier classique.

Intervenant 12:10

D'accord, je visualise.

Intervenant 22:12

Si tu relis ces points un par un, de proche en proche, tu obtiens le symbole 5 sur 1, un pentagone, tout ce qu'il y a de plus normal. Mais le 2 nous indique qu'il faut faire un saut.

Intervenant 12:23

Ah, on saute un sommet.

Intervenant 22:25

Voilà, on part d'un sommet de départ, on va l'appeler le sommet S, on ignore délibérément le sommet voisin immédiat et on tire un trait droit vers le sommet d'après, donc le sommet S plus

Intervenant 12:37

2. Et du coup, en répétant cette règle de saut systématique, les lignes finissent forcément par se croiser au centre. Et c'est ça qui forme l'étoile.

Intervenant 22:45

C'est tout à fait ça. Et c'est ce qui te permet de tracer la figure d'un seul trait continu sans jamais lever le stylo, jusqu'à revenir à ton point de départ.

Intervenant 12:53

Et cette boucle ininterrompue, enfin cette continuité, c'est un truc qui a complètement fasciné l'humanité. C'est pas juste une forme abstraite pour les mathématiciens.

Intervenant 23:02

Ah non, pas du tout. Son impact historique est juste massif.

Intervenant 13:05

C'est le moins qu'on puisse dire. En fouillant dans l'histoire, on trouve des traces de ce fameux 5 sur 2 sur des poteries rudimentaires chez les Sumériens. Et là, on parle du quatrième millénaire avant notre ère, quoi.

Intervenant 23:15

Ouais, c'est vertigineux quand on y pense. Et ça traverse les époques.

Intervenant 13:20

Complètement. On fait un bond dans le temps, vers 1092, et on le retrouve caché en filigrane chez Léonard de Vinci, son fameux homme de Vitruve. Tu sais, cette étude des proportions parfaites du corps humain.

Intervenant 23:32

L'homme dans le cercle, oui.

Intervenant 13:33

Voilà. Et il s'inscrit très exactement dans la logique de ce pentagramme. Et de manière encore plus surprenante, cette forme a littéralement façonné la géographie moderne.

Intervenant 23:44

Oui, l'exemple de l'urbanisme que donnent nos sources est assez frappant.

Intervenant 13:48

Quand Pierre-Charles L'Enfant, qui était l'ingénieur et architecte français, a dessiné les plans de la ville de Washington en 1754, il a carrément intégré cette forme géométrique dans le tracé des avenues de la capitale américaine.

Intervenant 23:59

Casser des poteries mésopotamiennes aux rues de Washington, faut avouer que c'est une trajectoire assez hallucinante pour un simple concept géométrique.

Intervenant 14:08

Grave ! Et c'est dû à quoi cet engouement en fait ?

Intervenant 24:11

Bah, ce qui est crucial à comprendre, c'est la charge symbolique que l'humanité a greffé là-dessus. Au fil des siècles, la figure a développé une double identité très polarisée. Et ça, c'est basé uniquement sur son orientation dans l'espace.

Intervenant 14:24

C'est-à-dire ? Ça dépend d'où on met la pointe. Exactement. Si l’on place le pentagramme avec une pointe unique dirigée vers le haut, historiquement, ça a toujours symbolisé la primauté de l'esprit sur la matière.

Intervenant 24:34

D'accord.

Intervenant 14:35

Mais si on applique une simple rotation juste pour que cette même pointe regarde vers le bas, le sens s'inverse totalement. Ça devient la supériorité de la matière sur l'esprit.

Intervenant 24:44

Et c'est assez amusant de voir à quel point les sociétés anciennes prenaient ce symbole hyper au sérieux, mais parfois de manière très décontractée au quotidien.

Intervenant 14:52

Oui, tu penses à l'anecdote sur Pythagore, c'est ça ? Ouais, elle est géniale cette anecdote dans nos sources. Donc, autour de 500 avant J.-C., Pythagore a fait de ce pentagramme l'emblème absolu de son école, le fameux Sinium Pythagoricum.

Intervenant 25:07

C'était leur signe de ralliement en fait.

Intervenant 15:09

C'est ça. Et ses disciples l'utilisaient de façon hyper pragmatique. Au bas de leurs lettres, ils dessinaient l'étoile en guise de salutation. Ça voulait simplement dire « porte-toi bien ».

Intervenant 25:18

C'est excellent.

Intervenant 15:19

C'est un peu comme si aujourd'hui, au lieu de conclure un email professionnel par le classique cordialement, on glissait un gros symbole perçu comme mystique pour souhaiter une bonne santé géométrique à son boss.

Intervenant 25:29

L'analogie est très parlante, c'est exactement ça. Après, pour Pythagore et ses disciples, faut bien se dire que la santé, l'harmonie et les mathématiques, ça ne faisait qu'un.

Intervenant 15:38

Ouais, ils étaient à fond dedans.

Intervenant 25:40

Ah oui, c'était une obsession, mais elle n'était pas irrationnelle pour autant. Ce qui les fascinait, et ce qui a fasciné plus tard le grand géomètre Euclide, c'est que ce tracé continu est régi par des lois de proportionnalité absolue.

Intervenant 15:53

Donc là, l'histoire laisse la place à la géométrie pure.

Intervenant 25:56

Tout à fait. On touche au cœur du réacteur, le fameux nombre d'or.

Intervenant 16:00

Ah, le nombre d'or. J'ai toujours entendu dire que le Pentagramme le cachait, mais concrètement, comment ça marche ? Comment cette divine proportion se retrouve à l'intérieur de notre petite étoile ?

Intervenant 26:11

Pour piger ça, il faut vraiment se plonger dans les travaux d'Euclide, rédigé vers l'an 300 avant notre ère. Dans ses éléments, il étudie un truc qu'il appelle la proportion d'extrême et moyenne raison.

Intervenant 16:22

Ok, ça sonne très solennel.

Intervenant 26:24

Un peu, oui. Mais regardons la structure de notre étoile. Prends une des grandes lignes qui traverse la figure, une diagonale qu'on va appeler D.