16 oct. 2023 · 24 min
Table de Pythagore : la moyenne révèle le centre
L’épisode part du pentagone et de l’hexagone, dégage la règle de la moyenne, puis suit ses prolongements en trois dimensions et leurs exceptions.
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Intervenant 1
Bienvenue à quiconque nous écoute dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on entame une nouvelle exploration approfondie de nos sources mathématiques. Et pour ça, j'aimerais qu'on imagine un instant tenir en main un simple couteau à beurre.
Intervenant 2
Un couteau à beurre ? Carrément ! C'est très spécifique comme image pour commencer.
Intervenant 1
Ah mais oui, un objet tellement banal, tellement présent dans notre quotidien qu'on n'y prête même plus attention en fait. Mais supposons qu'en y regardant de plus près, on découvre que le manche de ce couteau dissimule en réalité le mécanisme ultra complexe et magnifique d'une montre suisse.
Intervenant 2
Ah, je vois où vous voulez en venir. L'idée de la complexité cachée sous une apparence triviale, c'est ça ?
Intervenant 1
C'est exactement ça et c'est exactement le sentiment que procure le sujet de notre plongée d'aujourd'hui. Un véritable monument qui a causé, disons-le, quelques sueurs froides et pas mal de larmes sur les bancs de l'école. Je parle bien sûr de la redoutable table de multiplication.
Intervenant 2
Ou pour lui donner un nom un peu plus majestueux, la table de Pythagore. Et c'est vrai que le choix de cet objet est parfait pour notre analyse parce que c'est un vrai point de bascule.
Intervenant 1
Un point de bascule, c'est-à-dire ?
Intervenant 2
Pour la majorité des esprits, cette table, c'est vraiment le tout premier contact frontal avec la dureté de l'abstraction mathématique. On la mémorise, on la récite un peu comme une comptine.
Intervenant 1
Souvent, on la redoute même.
Intervenant 2
Oh oui, très souvent. Mais au final, on finit par l'utiliser machinalement toute sa vie. Et le problème, c'est qu'on oublie totalement de la regarder pour ce qu'elle est fondamentalement. Un objet mathématique pur.
Intervenant 1
Et c'est vraiment le cœur de notre mission aujourd'hui. Qu'on se rassure tout de suite, il ne s'agit absolument pas de faire une session angoissante de révision de calcul mental pour notre public.
Intervenant 2
Non, non, rassurez-vous, pas d'interrogation surprise aujourd'hui.
Intervenant 1
Ouf ! Non, l'idée, c'est vraiment de révéler la magie géométrique pure qui se cache silencieusement sous ces lignes et ces colonnes de chiffres. Mais avant de plonger tête la première là-dedans, j'aimerais qu'on observe cet objet d'un point de vue purement historique.
Intervenant 2
Ah oui, c'est fondamental pour comprendre la portée de la chose.
Intervenant 1
Parce qu'on a souvent l'impression que cette grille a toujours existé en fait, qu'elle est apparue par magie au dos de nos cahiers de brouillon. Mais d'où vient réellement cet héritage ?
Intervenant 2
Eh bien, ses racines s'enfoncent extrêmement loin, directement dans l'Antiquité grecque en fait. Et ce qui est fou, c'est que des décennies avant qu'on ne retrouve la moindre trace physique d'un tel tableau, la philosophie s'en emparait déjà.
Intervenant 1
La philosophie ? Attendez, les philosophes grecs débattaient de la table de Seth ?
Intervenant 2
Eh bien, presque. Aristote, par exemple, dans son œuvre majeure, Les Topiques, il insistait lourdement sur la nécessité d'apprendre par cœur les tables de 1 à 10. Ah
Intervenant 1
ouais, donc la corvée de mémorisation, ça ne date pas d'hier.
Intervenant 2
Non, ça ne date pas d'hier, mais il faut comprendre sa démarche. Pour lui, le but, ce n'était pas du tout de torturer les élèves avec de la mémorisation stérile. Il voyait vraiment ça comme le socle indispensable de la pensée.
Intervenant 1
D'accord. Pour quelles raisons exactement ?
Intervenant 2
L'idée, c'était de libérer la charge mentale du cerveau. En gros, si l'esprit n'a plus besoin de lutter pour savoir combien font 7 x 8, eh bien, il peut alors s'élever et concevoir des démonstrations géométriques ou des concepts philosophiques beaucoup plus élaborés.
Intervenant 1
C'est fou. C'est frappant de réaliser qu'Aristote formulait déjà des théories sur la charge cognitive qui sont exactement les mêmes que celles de la pédagogie moderne, en fait.
Intervenant 2
Absolument, c'est le principe d'externaliser le calcul de base pour libérer la puissance du, disons, du processeur cérébral.
Intervenant 1
Et on dispose de presse matérielle de cette époque, non ? De ces fameuses tables.
Intervenant 2
Oui, et c'est là que l'histoire prend une dimension presque monumentale. La plus ancienne représentation physique qu'on possède de cette table, structurée vraiment sous sa forme classique d'une grille de 10 par 10, elle remonte au début du IIIe siècle avant notre ère.
Intervenant 1
D'accord. Et c'était sur quel support ? Un vieux papyrus ?
Intervenant 2
Pas du tout. Elle n'a pas été griffonnée sur un bout de parchemin poussiéreux, non. Elle a été gravée dans la pierre.
Intervenant 1
Gravée dans la pierre ?
Intervenant 2
Oui, plus précisément sur une imposante stèle funéraire en marbre blanc de 77 cm de haut.
Intervenant 1
Attendez quoi ? Une stèle funéraire ? Mais graver un tableau de multiplication sur un bloc de marbre pour l'éternité au-dessus de sa propre tombe ?
Intervenant 2
C'est ça ! C'était la stèle d'un géomètre nommé Ptolémée. Et précisons au passage qu'il s'agit d'un géomètre bien antérieur, à ne pas confondre avec le très célèbre astronome du 2e siècle.
Intervenant 1
D'accord, donc pas l'astronome. Mais quand même, le niveau de vénération est incroyable. Ça place une simple grille de calcul au rang de vérité absolue ou sacrée. Alors qu'est-ce que ça veut dire au fond, ce besoin de figer des nombres dans la pierre comme ça ?
Intervenant 2
Eh bien, c'est la manifestation la plus pure de l'immuabilité mathématique. Ce tableau gravé dans le marbre blanc, il a traversé des millénaires de guerres, d'empires, de révolutions technologiques, et ce de manière totalement intacte. C'est
Intervenant 1
vertigineux quand on
Intervenant 2
y pense. C'est fascinant, oui, de se dire que la grille qui sculptait l'esprit des érudits grecs est rigoureusement identique à celle qui forge l'esprit des écoliers d'aujourd'hui, malgré l'arrivée des calculatrices.
Intervenant 1
Ouais, les langages meurent, les civilisations s'effondrent, les ordinateurs quantiques émergent. Mais l'intersection de la troisième ligne et de la quatrième colonne, ça donnera toujours 12.
Intervenant 2
Exactement. La vérité géométrique ne vieillit tout simplement pas.
Intervenant 1
Le marbre blanc de l'Antiquité qui finit imprimé sur du carton au fond de nos cartables. Le contraste est superbe. Mais bon, maintenant regardons de très près ce tableau immuable. Puisqu'il n'a pas changé d'un iota, quelles sont ces fameuses richesses qui nous échappent totalement quand on se contente d'apprendre les résultats par cœur ?
Intervenant 2
Eh bien, le secret réside dans les relations spatiales entre les cases.
Intervenant 1
Les relations spatiales, c'est-à-dire ?
Intervenant 2
La toute première découverte stupéfiante aborde ce qu'on appelle en mathématiques la propriété des moyennes. C'est une règle qui concerne exclusivement l'entourage direct d'un nombre donné sur la grille.
Intervenant 1
Bon, décortiquons tout ça. Admettons qu'on pointe le doigt sur un nombre complètement au hasard, disons au beau milieu de la table.
Intervenant 2
D'accord, prenons un nombre central.
Intervenant 1
Ce nombre central, il ressemble un peu à une île et il est directement entouré par huit autres nombres voisins. On a un voisin juste au-dessus, un en-dessous, un à gauche, un à droite et quatre voisins dans les diagonales immédiates. C'est bien ça ?
Intervenant 2
C'est exactement ça, le voisinage immédiat, les huit cases adjacentes. Eh bien, la trouvaille de nos sources affirme que le nombre situé sur notre île sombrale est très exactement égal à la moyenne arithmétique de ces huit voisins.
Intervenant 1
Waouh ! C'est quand même super contre-intuitif au premier abord.
Intervenant 2
Ça paraît irréel en effet, mais c'est l'expression d'une symétrie locale absolument parfaite. Chaque nombre est le centre de gravité exacte de son propre voisinage.
Intervenant 1
Franchement, l'envie de le prouver est trop forte. Pour les esprits curieux qui aiment la rigueur algébrique, mais qui détestent les monologues de manuels scolaires, imaginons la chose de manière très visuelle.
Intervenant 2
Allez-y, je vous écoute.
Intervenant 1
Prenons notre case centrale.
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