Descente infinie de Fermat : le triangle qui rétrécit

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire un petit voyage dans le temps. Imaginez la scène. On est au 17e siècle et un homme rentre chez lui après une journée de travail vraiment harassante.

Intervenant 20:14

Ouais, une très longue journée, clairement.

Intervenant 10:16

Voilà, une journée épuisante. Il a passé des heures dans les couloirs bruyants, très solennels du Parlement de Toulouse. C'est un conseiller, un magistrat, donc une fonction avec des responsabilités écrasantes où des vies ou même des fortunes entières se jouent.

Intervenant 20:31

C'est pas un petit boulot, c'est certain ?

Intervenant 10:33

Exactement. Et donc, il enlève sa lourde robe de magistrat, il s'assoit à la lueur d'une bougie, et pour se détendre, au calme, il ouvre un livre de mathématiques en grec ancien.

Intervenant 20:44

La détente absolue, quoi.

Intervenant 10:46

Bah oui, chacun son truc. Et là, dans les marges minuscules de ce livre, il va griffonner des idées, des idées qui vont littéralement rendre fous les plus grands cerveaux de la planète pendant plus de 300 ans.

Intervenant 20:58

C'est un tableau fascinant et c'est la stricte réalité de la vie de Pierre de Fermat. Ce qui frappe immédiatement avec ce personnage, en fait, c'est cette double vie.

Intervenant 11:08

Oui, le magistrat le jour et le génie la nuit.

Intervenant 21:10

C'est exactement ça. Il n'était absolument pas mathématicien de profession. Alors bon, à l'époque, le métier de chercheur en mathématiques tel qu'on le conçoit aujourd'hui n'existait pas vraiment. Mais Fermat poussait vraiment le concept à l'extrême.

Intervenant 11:23

C'est-à-dire ?

Intervenant 21:24

Eh bien, il ne voyait la géométrie et l'arithmétique que comme un simple divertissement intellectuel. Un passe-temps pour ses soirées, rien de plus. C'est d'ailleurs pour cela que l'Histoire des sciences lui a donné ce surnom, ce surnom magnifique de « Prince des amateurs ».

Intervenant 11:39

Le « Prince des amateurs ». Le titre est superbe, c'est clair. Mais moi je trouve qu'il y a quelque chose d'un peu vertigineux là-dedans. Je suis même un peu bluffée.

Intervenant 21:47

Ah oui, complètement. Pourquoi vertigineux ?

Intervenant 11:49

S'il considérait ça comme un simple loisir, pourquoi est-ce qu'on en parle encore aujourd'hui, à notre époque ? Comment un homme isolé à Toulouse, complètement en dehors des grands cercles parisiens, a-t-il pu inventer une méthode de raisonnement totalement inédite ?

Intervenant 22:04

C'est la grande question,

Intervenant 12:05

oui. Surtout sans même prendre la peine d'écrire de vrais livres. Et c'est tout l'enjeu de notre exploration d'aujourd'hui, pour ceux qui nous écoutent. On va voir comment un tel génie a pu opérer.

Intervenant 22:15

Absolument. Et pour comprendre ce miracle, il faut se plonger dans le véritable laboratoire de Fermat.

Intervenant 12:22

Et c'était pas un laboratoire avec des tableaux noirs et des craies, j'imagine ?

Intervenant 22:25

Non, pas du tout. Il ne travaillait pas dans une université prestigieuse. Son univers, c'était un ouvrage très précis. C'était une édition gréco-latine des Arithmétiques de Diophante.

Intervenant 12:36

Diophante, le grand mathématicien de l'Antiquité.

Intervenant 22:38

C'est ça. Cette édition, elle avait été commentée et publiée en 1621 par un certain Claude Gaspard Bachet de Mésiriac.

Intervenant 12:46

D'accord.

Intervenant 22:47

Et Fermat, en fait, il lisait les problèmes posés par Diophante le soir. Et quand une idée lui traversait l'esprit, hop, il l'écrivait directement sur le papier dans l'espace vide autour du texte. Il n'a presque rien publié de son vivant. Il n'avait aucune ambition de faire carrière là-dedans.

Intervenant 13:03

C'est quand même incroyable. Bon, décortiquons tout ça. C'est un peu comme si, aujourd'hui, un illustre inconnu révolutionnait la physique quantique uniquement dans la section commentaires d'un blog scientifique obscur.

Intervenant 23:17

Oui, l'analogie est excellente. C'est exactement le même niveau de décalage.

Intervenant 13:21

Et en plus, on a frôlé la catastrophe, non ? Si j'ai bien compris les sources, sans son fils aîné, Samuel, tout ça aurait pu être perdu à jamais.

Intervenant 23:30

Ah mais totalement ! C'est Samuel qui a méticuleusement rassemblé le livre de son père et recopié toutes ses petites notes dans les marges pour les publier plus tard, en 1671. Sans lui, tout ce génie aurait simplement disparu dans la nature.

Intervenant 13:44

Heureusement que Samuel était là. Et le contenu de ses commentaires, c'est du lourd, n'est-ce pas ?

Intervenant 23:49

Ah, ça laisse sans voix. La note la plus célèbre, celle qui a vraiment forgé le mythe de Fermat, elle se trouve juste à côté d'un problème sur les puissances. Le fameux problème qui a rendu tout le monde dingue. Exactement. Il y affirme noir sur blanc qu'il est impossible de partager un cube en deux cubes ou une puissance quatrième en deux puissances quatrièmes. C'est ce qu'on appelle aujourd'hui le grand théorème. D'accord. Mais le plus incroyable, c'est sa justification. Il écrit en latin d'ailleurs un truc du genre « j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir ».

Intervenant 14:22

L'excuse parfaite, c'est magique. J'ai la réponse à l'un des problèmes les plus complexes de l'univers, c'est magnifique. Mais bon, manque de place, allez, je passe à autre chose.

Intervenant 24:33

C'est sûr que ça a de quoi énerver la communauté scientifique.

Intervenant 14:36

Il y a un mélange de provocation et d'arrogance hyper brillante là-dedans. Il jette une énorme bombe intellectuelle et il laisse les autres se débrouiller avec les morceaux. Mais attendez, le grand théorème, c'est un peu l'arbre qui cache la forêt pour nous aujourd'hui, non ?

Intervenant 24:49

Comment ça ?

Intervenant 14:50

Parce que ce n'est pas le cœur de notre sujet. Cette arrogance géniale dans les marges, ça nous mène vers une autre note, une note beaucoup moins médiatisée pour le grand public, mais peut-être encore plus importante pour la logique mathématique.

Intervenant 25:03

Tout à fait. Nous allons parler de ce qu'on appelle la note 45. Elle se trouve dans la marge du problème numéro 20 de ce fameux Bachet de Mésiriac.

Intervenant 15:11

Et quel était le problème de départ du coup ?

Intervenant 25:13

Le problème demandait simplement de trouver un triangle rectangle dont l'aire soit égale à un nombre donné. Et là, Fermat prend sa plume et paf, il laisse exploser une affirmation d'une puissance absolue.