26 mars 2017 · 7 min
Pari de Pascal : pourquoi l’espérance est-elle indéterminée ?
Dans cet épisode audio, suivez le pari pas à pas : du choix entre croire ou non jusqu’à l’espérance indéterminée, puis à l’objection théologique.
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va faire une exploration vraiment fascinante parce qu'imaginez qu'on vous propose un jeu.
Intervenant 2
Oui, un jeu de hasard.
Intervenant 1
C'est ça, un jeu de pile ou face, hyper simple, mais avec une petite subtilité. Vous pourriez potentiellement gagner une somme d'argent infinie.
Intervenant 2
Rien que ça.
Intervenant 1
Voilà. Et la logique mathématique pure voudrait que vous misiez tout ce que vous possédez. Votre maison, vos économies, juste pour avoir le droit d'y jouer.
Intervenant 2
Sauf que dans les faits, personne ne le ferait.
Intervenant 1
Bah non. Honnêtement, on miserait quoi ? Peut-être quelques euros au maximum.
Intervenant 2
C'est tout le cœur du paradoxe en fait. Notre cerveau, il refuse catégoriquement cette espèce de logique implacable de l'infini.
Intervenant 1
Il s'en passe logiques qui sont monumentales.
Intervenant 2
Et pas seulement en maths.
Intervenant 1
Ah non, carrément en théologie.
Intervenant 2
Et le cas d'école parfait pour commencer, c'est Blaise Pascal. On est au XVIIe siècle, il vient tout juste de poser les bases des probabilités en résolvant un problème de jeu de dés.
Intervenant 1
Le problème du Chevalier de Méret, c'est ça ?
Intervenant 2
Exactement. Mais Pascal, il ne s'arrête pas aux cartes ou aux dés. Il décide d'appliquer ce nouvel outil rationnel à la question ultime en fait.
Intervenant 1
À la croyance en Dieu. Voilà. Le fameux pari de Pascal, c'est vrai que l'argumentaire de base, il est redoutable. Pascal dit qu'on est embarqué.
Intervenant 2
On est obligé de choisir.
Intervenant 1
C'est ça. Si on parie que Dieu existe, on s'impose une vie, une vie pieuse, des sacrifices pour espérer gagner le paradis. Mais si on parie l'inverse, on profite d'une vie sans contrainte, mais avec le risque de l'enfer éternel. Franchement, vu comme ça, on dirait un peu le tout premier argumentaire de vente pour une police d'assurance avec un gain infini, non ?
Intervenant 2
L'anologie de l'assurance, elle est excellente. Mais pour que cette assurance fonctionne d'un point de vue purement mathématique, il faut bien comprendre le mécanisme de l'espérance. L'espérance mathématique, c'est la probabilité de gagner multipliée par le gain potentiel. Et Pascal, il part du principe que la vie éternelle, le paradis, c'est un gain d'une valeur infinie.
Intervenant 1
D'accord, mais attendez, je veux être bien sûr de suivre la mécanique. Même si, disons que je suis profondément athée et que j'estime la probabilité que Dieu existe à 0,00001%.
Intervenant 2
Ça ne change absolument rien.
Intervenant 1
Ah
Intervenant 2
bon ? Rien du tout au résultat final, non. Parce que si vous multipliez une probabilité, même microscopique, par un gain infini, le résultat mathématique, ça reste l'infini.
Intervenant 1
Ah
Intervenant 2
ouais. Donc rationnellement, l'espérance de parier sur l'existence de Dieu, ça va toujours écraser n'importe quel coup fini, comme les contraintes d'une vie pieuse.
Intervenant 1
Sur le papier, c'est un parabla, mais il y a un énorme
Intervenant 2
hic quand même. Ouais.
Intervenant 1
Parce que si je me force à croire juste par intérêt, tu vois, pour rafler la mise infinie, ça ressemble à de la triche spirituelle un
Intervenant 2
peu. Vous mettez le doigt sur la faille théologique majeure de son propre pari en fait. Pascal était un fervent défenseur du jansenisme.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
Or, cette doctrine, elle valorisait ce qu'on appelle la contrition, c'est-à-dire le regret sincère de ses fautes par un amour véritable de Dieu.
Intervenant 1
Pas par calcul.
Intervenant 2
Exactement. Croire par simple peur de l'enfer ou à cause d'un calcul de probabilité, c'est ce qu'ils appelaient l'attrition. Et ça, c'était formellement condamné.
Intervenant 1
Ah, c'est ironique ! Donc utiliser les mathématiques pour s'auto-convaincre de croire, ça invalide la croyance elle-même selon sa propre religion ?
Intervenant 2
Voilà. L'infini a complètement cassé le modèle théologique de Pascal.
Intervenant 1
Ce qui m'amène à une question logique. Si on enlève toute la notion de spiritualité, est-ce que l'infini, ça casse aussi la rationalité purement financière ?
Intervenant 2
Et c'est ce qu'on va voir. On va se déplacer en 1725 à Saint-Pétersbourg.
Intervenant 1
Ok, on voyage.
Intervenant 2
Les scientifiques Nicolas et Daniel Bernoulli imaginent un petit jeu de hasard en apparence inoffensif. On lance une pièce non truquée. Tant qu'elle tombe sur pile, on continue. Et dès qu'elle tombe sur face, le jeu s'arrête.
Intervenant 1
D'accord. Laissez-moi visualiser les gains. Si je fais face du premier coup, je gagne combien ?
Intervenant 2
2
Intervenant 1
euros. Ok. Si vous faites 1 pile puis face, 4 euros. 2 piles puis face, 8 euros.
Intervenant 2
Donc ça double.
Intervenant 1
La règle est très simple. Le gain double à chaque lancé gagnant. C'est 2 puissance
Intervenant 2
N. D'accord. Donc 3 piles, c'est 16 euros. 4 piles, c'est 32.
Intervenant 1
C'est assez dérisoire pour le moment.
Intervenant 2
Ouais.
Intervenant 1
Comment est-ce que ce petit jeu, il peut générer une espérance infinie, comme on le disait dans l'intro ?
Intervenant 2
Faisons le calcul étape par étape. La probabilité de gagner 2 euros au premier tour, c'est de 1 sur
Intervenant 1
2.
Intervenant 2
Un demi multiplié par 2 euros, ça fait 1 euro d'espérance. Logique. La probabilité d'aller au deuxième tour et de gagner 4 euros, elle est de 1 sur 4. Un quart multiplié par 4 euros, ça fait aussi 1
Intervenant 1
euro. Mais je vois le piège. La probabilité, elle est divisée par deux à chaque étape, mais le gain, il est multiplié par deux.
Intervenant 2
Exactement.
Intervenant 1
Il s'annule. Donc, à chaque tour possible, l'espérance, c'est toujours de 1 euro.
Intervenant 2
Voilà. Et comme on peut théoriquement lancer la pièce à l'infini, on additionne 1 plus 1 plus 1 jusqu'à l'infini.
Intervenant 1
Wow.
Intervenant 2
L'espérance mathématique totale, elle est donc bel et bien infinie. Rationnellement, la formule, elle vous ordonne de payer des millions d'euros pour avoir le droit de lancer cette pièce une seule fois.
Intervenant 1
Sauf que dans la vraie vie, je refuserais de payer plus de 10 euros moi.
Intervenant 2
Mais bien sûr !
Intervenant 1
Enfin, personne de sensé n'irait vider son compte en banque pour un jeu où on a une chance sur deux de repartir avec seulement deux malheureux euros. C'est absurde.
Intervenant 2
Ce décalage énorme entre la théorie et la réalité, c'est le cœur du paradoxe de Saint-Pétersbourg. Bernoulli l'a expliqué en montrant que l'utilité financière n'est pas linéaire.
Intervenant 1
C'est-à-dire ?
Intervenant 2
Le centième euro que vous gagnez, il a beaucoup moins de valeur psychologique que le tout premier. Et surtout, l'infini abstrait, il se heurte au mur du réel matériel. Aucun casino au monde ne possède une réserve d'argent infinie pour vous payer si vous faites pile, disons 50 fois de suite.
Intervenant 1
Donc en fait, notre cerveau intègre instinctivement les limites concrètes que la formule mathématique ignore totalement.
Intervenant 2
Tout à fait.
Intervenant 1
Dès que l'infini entre dans l'équation, que ce soit l'au-delà de Pascal ou la tirelire illimitée de Bernoulli, le calcul probabiliste perd complètement les pédales.
Intervenant 2
L'outil probabiliste modélise parfaitement la chute d'un dé sur une table de salon, mais il est structurellement inapte à gérer l'illimité.
Intervenant 1
Ce qui soulève un dernier point de réflexion assez vertigineux je trouve.
Intervenant 2
Allez-y.
Intervenant 1
Si notre psychologie et nos modèles mathématiques rejettent naturellement l'idée de gain infini, comment on est censé évaluer et chiffrer les risques infiniment négatifs ?
Intervenant 2
C'est une très bonne question.
Intervenant 1
Oui, je pense aux menaces existentielles, comme l'émergence d'une intelligence artificielle incontrôlable ou un effondrement climatique total. Si on ne sait pas calculer l'infini positif, est-ce qu'on est fondamentalement incapable de se préparer à un danger de proportion infinie ?
Intervenant 2
C'est troublant.
Intervenant 1
Oui, c'est une question brûlante à garder en tête face aux grands enjeux de demain. Merci de nous avoir écoutés et à la prochaine.
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