Problème des partis : comment Pascal partage-t-il les mises ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est un bonheur absolu de retrouver notre public pour cette nouvelle exploration fascinante. Et je suis vraiment ravie parce qu'aujourd'hui, on va faire un vrai voyage dans le temps.

Intervenant 20:12

Ouais, un voyage assez radical. On part directement en 1654.

Intervenant 10:17

Exactement. Imaginons la scène. L'ambiance est feutrée, on entend le bruit sec des pièces de monnaie qui s'entrechoquent sur une table en bois massif. Il est question de jeu, de hasard, de sommes d'argent considérables et surtout d'une grosse dispute.

Intervenant 20:32

Ah bah, une dispute de joueurs, il n'y a rien de plus classique tu me diras.

Intervenant 10:35

C'est ça. Sauf que cette querelle autour d'un jeu inachevé a littéralement tenu en échec les esprits les plus brillants de l'époque.

Intervenant 20:43

Et le terme « brillant » n'est vraiment pas galvaudé. Des savants majeurs de la Renaissance italienne, des gens comme Luca Pacioli, Jérôme Cardan ou même Tartaglia, s'étaient déjà penchés sur cette énigme. Et ils ont tous buté dessus. C'est ce que l'histoire des maths retient sous le nom du fameux problème des partis.

Intervenant 11:00

Le problème des partis. C'est vrai que ça sonne presque comme, je ne sais pas, une intrigue politique. Mais il s'agit bien d'une affaire de joueurs de dés et de cartes. Et pour dénouer cet impasse, l'histoire fait appel à un jeune prodige de 31 ans, Blaise Pascal.

Intervenant 21:16

Voilà. Et l'objectif de notre analyse d'aujourd'hui, c'est de comprendre étape par étape comment cette dispute très terre-à-terre sur le partage d'un butin a provoqué un vrai séisme intellectuel. On va voir comment la pensée de Pascal a carrément donné naissance à une discipline qu'on utilise tous les jours, les probabilités modernes.

Intervenant 11:34

Je suis fascinée par cette idée. Tout le défi de notre échange va être de suivre le fil de cette pensée mathématique. Mais sans tableau noir.

Intervenant 21:42

Promis, pas de tableau noir. La logique de Pascal est d'une rigueur absolue, mais elle reste fondamentalement accessible si on prend juste le temps de décortiquer son raisonnement.

Intervenant 11:50

Bon, posons tout de suite le décor et les règles du jeu. L'affaire est portée à l'attention de Pascal par Antoine Gombeau.

Intervenant 21:58

Voilà,

Intervenant 12:00

un grand amateur de jeux de hasard. Et la situation de départ est la suivante. On a deux joueurs, on va les appeler A et B, qui s'affrontent. C'est un jeu de hasard pur, pile ou face, dé, peu importe.

Intervenant 22:12

Et chacun a misé la même somme au départ.

Intervenant 12:14

Exactement. Le contrat est hyper simple. Le premier joueur qui remporte trois manches rafle la totalité de la cagnotte.

Intervenant 22:21

Un contrat très clair quoi. Le premier a trois victoires, prend tout, l'autre repart les mains vides. Zéro.

Intervenant 12:28

Sauf que, coup de théâtre, pour une raison extérieure, genre une urgence quelconque, la partie doit s'arrêter brusquement. C'est impossible de terminer.

Intervenant 22:37

Et c'est là que les ennuis commencent.

Intervenant 12:39

Ah bah oui, parce qu'au moment de l'interruption, le joueur A a remporté deux victoires et le joueur B n'en a remporté qu'une seule. Évidemment, la tension monte pour savoir comment diviser l'argent qui est là au milieu de la table.

Intervenant 22:51

C'est le nœud du problème.

Intervenant 12:52

Bon, décortiquons un peu tout ça. Intuitivement, on se dit que si A a gagné deux parties sur les trois qui ont été jouées, bah on prend la cagnotte, on donne les deux tiers à A, un tiers à B et puis on n'en parle plus, non ? C'est la récompense au mérite en quelque sorte.

Intervenant 23:06

Eh bien, ce qui est fascinant ici, c'est que l'argument de la proportionnalité que tu viens de donner, c'est exactement celui que les savants italiens avaient proposé avant Pascal. Et c'est là que réside la première grande faille. Pascal démontre que cette intuition est un piège

Intervenant 13:22

total.

Intervenant 23:26

Parce que pour être véritablement équitable, Pascal affirme qu'il ne faut absolument pas regarder le passé. Comptabiliser les parties déjà jouées, c'est une erreur de raisonnement monumentale. La seule direction vers laquelle il faut tourner son regard, c'est

Intervenant 13:39

l'avenir.

Intervenant 23:40

Plus précisément, les parties qui restent à gagner.

Intervenant 13:43

Attends, c'est très contre-intuitif. Pascal dit concrètement au joueur A, le fait que tu aies durement gagné tes deux manches, ça ne m'intéresse pas pour le calcul. C'est presque nier l'effort du joueur quoi.

Intervenant 23:54

C'est exactement ça. En fait, Pascal redéfinit le problème à travers le concept de l'état équivalent. Il explique que la situation d'un joueur ne s'évalue que par la distance qui le sépare de la victoire finale.

Intervenant 14:06

D'accord.

Intervenant 24:07

Donc, être à une manche de la victoire dans un jeu en trois manches, c'est strictement la même position mathématique que d'être à une manche de la victoire dans un marathon de 50 manches. Ah ouais, je

Intervenant 14:16

vois le genre. Le passé n'a plus d'importance.

Intervenant 24:19

Voilà. L'historique des gains n'a aucune prise sur les lois du hasard à l'instant présent. Il faut arrêter de se demander qui a gagné quoi, pour se demander combien de points manque-t-il à chacun pour l'emporter.

Intervenant 14:29

Donc on passe d'une logique de récompense pour un passé révolu à une logique d'anticipation des futurs possibles. C'est un basculement complet de philosophie.

Intervenant 24:37

Totalement.

Intervenant 14:37

Surtout que la façon dont Pascal redéfinit la propriété même de l'argent me fascine. Il avance l'idée que les pièces de monnaie sur la table, en fait, elles n'appartiennent déjà plus aux joueurs.

Intervenant 24:49

C'est vraiment le fondement de son traité. Dès l'instant où les joueurs ont posé leurs mises et accepté les règles d'un jeu de hasard, ils ont abandonné la propriété matérielle de cet argent.

Intervenant 14:59

Ils l'ont cédé au jeu, en fait.

Intervenant 25:02

C'est ça. En échange, ils ont acquis, ce que Pascal nomme poétiquement, le droit d'attendre ce que le hasard peut leur offrir. C'est un contrat de risque, une loi volontaire.

Intervenant 15:12

Le droit d'attendre. Mais alors, si on interrompt la partie, on brise ce contrat en plein vol.

Intervenant 25:18

Exactement.

Intervenant 15:18

Il faut donc convertir ce droit invisible, cette fameuse attente, en une somme d'argent réelle. Mais comment on calcule le prix d'un futur qui n'aura jamais lieu ?

Intervenant 25:28

Pour faire ça, Pascal pose deux principes de justice qui vont fonder toute la notion mathématique de l'espérance.

Intervenant 15:35

Je t'écoute.

Intervenant 25:36

Le premier principe est très simple.