Triplets pythagoriciens : comment les obtenir tous ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente.

Intervenant 20:02

Bonjour.

Intervenant 10:03

Je suis ravie d'ouvrir les micros aujourd'hui parce qu'on embarque pour une plongée absolument fascinante.

Intervenant 20:10

Oui, une vraie aventure.

Intervenant 10:11

C'est vraiment une de ces aventures intellectuelles qui commence avec disons l'objet le plus balal du monde pour nous propulser jusqu'aux confins de la géométrie abstraite.

Intervenant 20:20

Totalement.

Intervenant 10:20

Pour démarrer, j'aimerais qu'on imagine un chantier de construction dans l'Égypte antique. Sous un soleil écrasant, on a des bâtisseurs qui doivent ériger la base parfaite d'un temple.

Intervenant 20:30

Et pour ça, ils ont besoin d'un angle droit absolu.

Intervenant 10:33

C'est crucial pour que ça tienne debout,

Intervenant 20:34

oui. Voilà. Sauf qu'évidemment, ils n'ont pas de laser, pas de théodolite, pas d'instrument optique. Ils n'ont entre les mains qu'une simple corde. Exactement. Et attention, pas n'importe quelle corde. Il s'agit d'une corde qui comporte très exactement 13 nœuds.

Intervenant 10:50

13

Intervenant 20:51

nœuds. Oui, des nœuds espacés de manière rigoureusement identique. C'est vraiment l'outil technologique par excellence de l'époque pour garantir la rectitude des bâtiments.

Intervenant 11:01

On connaît tous un peu cette astuce de chantier, tu sais, 13 nœuds, ça crée donc 12 internals réguliers. Et si on tend cette corde pour former un triangle avec un côté de 3 intervalles, un autre de 4 et le dernier de 5,

Intervenant 21:17

L'angle droit apparaît de lui-même. C'est le célébrissime triangle 3-4-5. C'est ça. Et c'est une image de départ idéale pour nous aujourd'hui. Parce que derrière cette ingéniosité super pratique de chantier, il se cache en fait une réalité mathématique bien plus profonde qu'un simple théorème de collège.

Intervenant 11:34

Ouais, c'est

Intervenant 21:34

clair. On a tous appris à l'école que la somme des carrés des deux petits côtés est égale au carré du plus grand clôté. Le fameux x² plus y² égale z².

Intervenant 11:45

Le cauchemar ou le rêve de nos années collège, au choix.

Intervenant 21:48

C'est ça. Mais la mission de notre exploration aujourd'hui, pour ceux qui nous écoutent, c'est d'aller voir ce qui se trame dans les coulisses de cette équation. Parce qu'en vérité, ce n'est pas qu'un problème d'angle ou de longueur géométrique. C'est surtout un problème redoutable d'arithmétique.

Intervenant 12:03

Et ça, c'est une nuance cruciale. C'est de l'arithmétique pure. Parce que, enfin, on ne cherche pas n'importe quelle solution, on est d'accord ?

Intervenant 22:12

Ah bah non, pas du tout.

Intervenant 12:13

Si on dessine un triangle rectangle isocèle, mettons avec des côtés de 1 et 1, l'hypoténuse mesure la racine carrée de 2. C'est un nombre irrationnel avec une suite infinie de décimales. Mais ce qui fascine les mathématiciens ici, c'est pas ça.

Intervenant 22:27

On cherche à résoudre une équation polynomiale, mais avec une contrainte de taille. Toutes les solutions doivent être des nombres entiers.

Intervenant 12:34

D'où le 3, 4 et 5 qui fonctionne à merveille.

Intervenant 22:37

Exactement. Puisque 3 au carré plus 4 au carré, ça fait 9 plus 16, ce qui donne bien 25, le carré de 5. Mais trouver tous ces fameux triplets pythagoriciens, ça a été une quête acharnée qui a duré des millénaires.

Intervenant 12:51

Et justement, cette quête est remplie de rebondissements historiques assez fous. Et je dirais que le tout premier de ces rebondissements, c'est le nom même qu'on donne à ces nombres.

Intervenant 23:00

Oh que oui, parler de triplets pythagoriciens pour démarrer, c'est en fait une ironie historique assez savoureuse, non ? Complètement savoureuse. L'attribution de ce concept à Pythagore, c'est bon, c'est un raccourci très tardif de l'histoire. Et le pire, c'est que cette paternité, elle était déjà moquée dans l'Antiquité. Ah bon ? Carrément moqués.

Intervenant 13:20

Ah oui ?

Intervenant 23:20

Si on se penche sur les écrits de Proclus de Lycie, c'est un immense commentateur des mathématiques au 5ème siècle, son ton est presque sarcastique.

Intervenant 13:28

D'accord.

Intervenant 23:29

Il raconte que certains s'obstinent, tu vois, à attribuer ce théorème à Pythagore. Il y a même cette légende qui circulait, selon laquelle il aurait sacrifié un bœuf entier au dieu pour fêter sa découverte géométrique.

Intervenant 13:40

Le fameux sacrifice d'Hécatombe.

Intervenant 23:42

Voilà. Et Proclus fait bien comprendre à ses lecteurs qu'il n'y croit pas une seule seconde.

Intervenant 13:46

Donc le mythe du génie grec solitaire, il en prend un sacré coup d'entrée de jeu. Surtout que l'archéologie moderne a fini par donner raison à Proclus de manière spectaculaire, avec cette découverte incroyable dans les années 1920 dans le sud de l'actuel Irak.

Intervenant 24:02

Ah, la fameuse tablette Plimpton 322. C'est

Intervenant 14:06

ça.

Intervenant 24:06

Cette tablette d'argile, c'est un monument absolu de l'histoire des sciences. Pour l'anecdote, elle a été exhumée par Edgar Banks.

Intervenant 14:13

L'archéologue qui a inspiré Indiana Jones, c'est bien ça ?

Intervenant 24:17

Lui-même, un personnage haut en couleurs. Et pendant des décennies, le truc, c'est que les chercheurs ont cru qu'il s'agissait d'un simple registre comptable ou d'un livre de comptes commercial, tu vois.

Intervenant 14:27

Ouais, un tableau Excel de l'époque, quoi.

Intervenant 24:29

Exactement. Il a fallu attendre 1951 pour que l'historien des mathématiques Otto Neuschgebauer en révèle la véritable nature. Et accrochez-vous, cette tablette, elle date d'environ 1800 avant notre ère.

Intervenant 14:42

Wow.

Intervenant 24:43

C'est plus d'un millénaire avant la naissance de la civilisation grecque classique.

Intervenant 14:47

C'est dingue. Et ce qui est inscrit sur cette tablette, enfin, ça donne un véritable vertige arithmétique. On est à des années-lumière du petit triangle 3-4-5 des bâtisseurs.

Intervenant 24:57

OK, oui.

Intervenant 14:58

La tablette contient 15 lignes d'écriture cunéiforme et on y trouve des tripiés ahurissants. J'ai noté par exemple le triplet 65, 72 et 97. Ça, c'est déjà gros, mais il y a encore plus massif. 13 500, 12 709 et 18 541. C'est vertigineux. Mais attends, je fais une pause là-dessus. Parce que trouver 3, 4 et 5 en manipulant des cailloux ou une corde, ok, c'est de l'artisanat malin. Mais sortir des triplets de plus de 10 000 précis à l'unité près ?

Intervenant 25:29

C'est une autre dimension.

Intervenant 15:30

Bah oui. Ces scribes, ils n'avaient ni algèbre symbolique moderne, ni ordinateur. C'est une puissance de calcul qui semble presque anachronique. Comment ils opéraient en fait ? Surtout qu'on sait qu'ils n'utilisaient pas notre base 10 classique.

Intervenant 25:44

C'est justement là la clé de leur génie. Les babyloniens, ils comptaient en base 60. C'est un système sexagésimal. On en a d'ailleurs hérité aujourd'hui pour nos minutes, nos secondes et les 360 degrés d'un cercle.

Intervenant 15:56

D'accord.

Intervenant 25:57

Mais pour comprendre comment ils trouvaient ces nombres gigantesques sans calculatrice, il faut vraiment comprendre pourquoi la base 60, elle est en fait très supérieure à la nôtre pour l'arithmétique pure.

Intervenant 16:07

Supérieur ? C'est contre-intuitif, on a l'impression que c'est beaucoup plus compliqué de manipuler 60 symboles différents, non ?

Intervenant 26:13

C'est une question de diviseur, en fait. Notre base 10, franchement, elle est très pauvre. Elle ne se divise que par 2 et par 5.

Intervenant 16:21

C'est

Intervenant 26:22

vrai. Conséquence directe, si on veut diviser 1 par 3 en base 10, on obtient 0,333 à l'infini. Les fractions sont instables, elles bavent, quoi. Le nombre 60, en revanche, c'est ce qu'on appelle un nombre hautement composé. Ils se divisent parfaitement par deux, par trois, quatre, cinq, six, dix, douze, quinze, vingt et trente. Ah

Intervenant 16:43

oui, la liste est longue.

Intervenant 26:45

Ça veut dire que les babyloniens n'avaient quasiment jamais affaire à des décimales infinies dans leurs calculs quotidiens. Et le truc fou, c'est qu'ils n'utilisaient pas de division à proprement parler. Ils faisaient des multiplications par l'inverse. Et leur table d'inverse était d'une propreté absolue.