Le nombre e : des étoiles aux intérêts composés

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Pour commencer, on peut s'imaginer un instant dans la Grèce antique, sur une plage.

Intervenant 20:08

C'est un excellent point de départ pour notre sujet du jour.

Intervenant 10:11

Oui, on essaye de compter les grains de sable sous nos pieds. On fait 1, 2, 100, 10 000. Et là, brutalement, le système mathématique de l'époque s'effondre.

Intervenant 20:21

Complètement. Il n'y a plus de mots, en fait.

Intervenant 10:23

C'est ça, plus de concept pour aller plus loin. Alors comment un simple blocage mental de l'Antiquité a-t-il pu, disons, déclencher une réaction en chaîne sur plusieurs millénaires ?

Intervenant 20:34

C'est une vraie quête effrénée, une quête qui va mobiliser des astronomes, des banquiers et même les grands génies géomètres.

Intervenant 10:41

Et tout ça pour aboutir à la découverte d'une constante super mystérieuse nichée au cœur de la nature elle-même. Le fameux nombre e.

Intervenant 20:49

Exactement. Ce qui a pris pendant toute notre exploration, c'est que ce fameux nombre e n'est pas tombé du ciel quoi. C'est pas un truc apparu sur le peuple noir d'un théoricien isolé.

Intervenant 10:57

Ah non, pas du tout.

Intervenant 20:59

Son émergence, c'est vraiment le résultat d'une lutte acharnée. L'humanité a littéralement dû forcer les limites de sa propre cognition pour inventer de nouveaux langages.

Intervenant 11:06

Parce que le monde devenait soudainement trop vaste pour les anciens outils, c'est ça ?

Intervenant 21:10

Voilà, c'est exactement ça.

Intervenant 11:11

Alors, revenons sur cette plage grecque. Pourquoi ils étaient bloqués exactement ? On a un peu mal à imaginer aujourd'hui qu'une civilisation aussi brillante puisse manquer de

Intervenant 21:21

chiffres. Le problème résidait dans le plafond de verre de leur système de numération. En fait, les Grecs utilisaient une unité maximale qu'ils appelaient la myriade.

Intervenant 11:31

Qu'on note avec la lettre M, non ?

Intervenant 21:33

C'est ça, un grand M. Et une myriade, ça correspondait à 10 000.

Intervenant 11:37

D'accord, donc pour l'administration ou le commerce, c'était amplement suffisant.

Intervenant 21:40

Tout à fait. Même pour l'art de la guerre. Dénombrer l'immense armée du roi perse, Darius, ça se faisait très bien en alignant des myriades. Mais l'esprit humain est curieux, tu vois ? Ah, ça oui. Dès qu'on essayait de quantifier des éléments naturels minuscules et innombrables, Le langage craquait. Le poète Pindar l'a magnifiquement résumé, presque comme un aveu de défaite. Il disait, la citation exacte c'est « le sable échappe au nombre ».

Intervenant 12:05

C'est beau. Donc la société accepte globalement l'idée que certaines choses sont tout simplement hors de portée des maths. Mais il y a un homme qui refuse catégoriquement cette défaite. C'est Archimède.

Intervenant 22:18

Oui, il refuse totalement.

Intervenant 12:20

Et comment il a fait

Intervenant 22:22

sauter ce plafond de verre, du coup ? Archimède, il réalise un tour de force conceptuel incroyable, dans un ouvrage sobrement intitulé L'Arénère. Au lieu de baisser les bras, il prend cette myriade, ce bloc de 10 000, et il décide d'en faire le socle d'un système gigantesque.

Intervenant 12:37

Attends, il crée un nouveau standard de mesure ?

Intervenant 22:40

En gros, ouais. Il crée d'abord ce qu'il appelle la myriade de myriades, qu'il note grand N.

Intervenant 12:45

Donc 10 000 x 10 000, ça fait 100 millions, non ?

Intervenant 22:48

C'est bien ça. 10 puissance 8. Il décide que tous les nombres de 1 jusqu'à n forment les premiers nombres. Mais le gain ne s'arrête pas là. Il prend ce n géant et il le multiplie par lui-même.

Intervenant 12:58

Ouh là là !

Intervenant 22:59

Il crée les seconds nombres qui vont jusqu'à n², soit 10 puissance 16. Et il empile ces blocs inlassablement.

Intervenant 13:07

Bon, décortiquons tout ça un peu. Si je fais une analogie, il prend un immeuble de 10 000 étages et il décide de l'utiliser comme une simple brique pour construire une ville entière. Et après, il utilise cette ville comme brique pour construire un continent.

Intervenant 23:22

C'est une super métaphore.

Intervenant 13:24

Mais du coup, il va jusqu'où avec cette méthode ?

Intervenant 23:27

Il va jusqu'à un nombre qu'il nomme a, qui est égal à n à la puissance n. On parle d'un suivi de 800 millions de 0,1. Et pour repousser la limite encore plus loin, il nomme ce vertige la première période. Puis il utilise ce nombre A colossal comme nouvelle base pour définir une deuxième période, jusqu'à un nombre B.

Intervenant 13:48

Égal à A à la puissance

Intervenant 23:49

n. Exactement. En procédant comme ça, Archimède met en place, pour la toute première fois de l'histoire, un principe exponentiel. Il démontre qu'on peut toujours compter même les grains de sable nécessaires pour remplir l'univers entier.

Intervenant 14:03

C'est juste incroyable de se dire qu'il a inventé l'équivalent philosophique de la notation scientifique de nos supercalculateurs modernes avec un simple stylet dans le sable. C'est du génie pur. Mais bon, si je me fais l'avocat du diable. Archimède, là, c'était de la pure théorie, un exercice de pensée pour prouver qu'il était le plus intelligent. À quel moment est-ce que les savants des siècles suivants ont réellement eu besoin de manipuler des monstres numériques pareils dans la vraie vie ?

Intervenant 24:26

Alors, la vraie bascule vers un besoin concret, elle s'opère bien plus tard, au tournant du XVIIe siècle, en fait. Là, il faut lever les yeux de la Terre.

Intervenant 14:34

Ah, l'astronomie.

Intervenant 24:35

Voilà. L'invention des lunettes astronomiques par Galilée, puis l'émergence des théories de Newton, ça transforme brutalement notre rapport au ciel.

Intervenant 14:44

Oui, on ne se contente plus juste de regarder les jolies étoiles.

Intervenant 24:47

Exactement. Les savants voient calculer des orbites, prévire des trajectoires, mesurer des distances stellaires. Et soudainement, l'astronomie réclame des multiplications absolument effroyables.

Intervenant 14:57

Des nombres énormes, j'imagine.

Intervenant 24:59

Énorme ! Imagine devoir multiplier un nombre à 12 chiffres par un autre nombre à 12 chiffres, entièrement à la main et à la lumière d'une bougie.

Intervenant 15:07

Oh l'horreur ! Et une seule erreur de retenue à la troisième ligne et tu envoies virtuellement la planète Mars dans un autre système solaire.

Intervenant 25:14

Mais c'est tout à fait ça.

Intervenant 15:15

Ça devait leur prendre des semaines juste pour vérifier un seul calcul.

Intervenant 25:18

Précisément. L'erreur humaine, c'était vraiment le fléau des astronomes à cette époque. Il fallait impérativement trouver un raccourci, un moyen de rendre ses calculs à la fois fiables et rapides.

Intervenant 15:31

Et c'est là qu'on trouve une solution géniale.

Intervenant 25:33

Oui, c'est ici qu'intervient une méthode très astucieuse, appelée la Prosta-Ferese, qui est issue de la trigonométrie. En 1579, le français François Viette avait perfectionné des tables trigonométriques qui donnaient des sinus d'angle avec une précision de 12 chiffres.

Intervenant 15:50

12 chiffres, c'est énorme pour l'époque. Mais attends, on fait une petite pause ici. Le terme Prosta-Ferese mérite vraiment qu'on s'y arrête.

Intervenant 25:58

Bien sûr.

Intervenant 15:59

Comment cette méthode soulageait concrètement notre pauvre astronome fatigué devant sa bougie ?

Intervenant 26:05

L'idée de base, c'est de remplacer la multiplication par l'addition.

Intervenant 16:09

Remplacer une multiplication par une addition, comment c'est possible ?

Intervenant 26:14

En utilisant une propriété géométrique bien connue. En fait, deux fois le cosinus d'un angle A, multiplié par le cosinus d'un angle B, c'est égal au cosinus de la somme A plus B, plus le cosinus de la différence A moins B.

Intervenant 16:27

Ah ouais, la fameuse formule de Trigaud qu'on apprend au lycée.

Intervenant 26:30

Voilà. Donc concrètement, l'astronome prenait ces deux nombres géants à multiplier, il faisait comme si c'était des valeurs de cosinus dans la table de Viette.

Intervenant 16:39

Malin ! Et après ?

Intervenant 26:40

Il trouvait les angles correspondants. Ensuite, au lieu de se lancer dans une multiplication cauchemardesque, il se contentait d'éditionner et de soustraire ses angles, puis de regarder le résultat final dans la table.

Intervenant 16:51

Ah, c'est génial ! Donc le calcul prenait quelques minutes au lieu de prendre des heures ?

Intervenant 26:56

C'est exactement ça. Un gain de temps monumental.

Intervenant 16:59

C'est brillant ! On déguise les membres en angles pour tricher et ne faire que des additions. Mais il y a un truc qui m'a frappé en préparant cette exploration. Il n'y avait pas que les astronomes qui souffraient.

Intervenant 27:10

Ah non, effectivement.

Intervenant 17:12

En plongeant dans nos sources, j'ai réalisé que les banquiers de la Renaissance étaient tout aussi désespérés pour d'autres raisons. Les taux d'intérêt posaient des problèmes monstrueux, non ?

Intervenant 27:20

Tout à fait.