Nombre e : plusieurs chemins vers une même constante

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment très ravie de lancer cette discussion aujourd'hui parce qu'on a un sujet, enfin, c'est une plongée qui s'annonce assez vertigineuse.

Intervenant 20:11

Ah bah bonjour et oui, vertigineux, je crois que c'est exactement le bon mot pour le coup.

Intervenant 10:15

Bah oui, parce que bon, essayons d'imaginer un truc. Si on demandait à quelqu'un de mesurer, je ne sais pas, la distance jusqu'aux confins de l'univers, mais en utilisant une petite règle d'écolier. Vous savez, la petite règle en plastique de 20 centimètres qu'on a tous eue.

Intervenant 20:28

Ouais, la fameuse règle MAPED, quoi. La réaction la plus logique, ce serait de crier au fou.

Intervenant 10:34

C'est clair. Le cerveau humain, il est juste pas fait pour empiler mentalement des milliards et des milliards de petites graduations sans complètement disjoncter.

Intervenant 20:42

C'est sûr. Et pourtant, en fait, il y a plus de 2000 ans, cette sensation un peu d'asphyxie mentale, ce vertige face à l'immensité, eh bien, ça a forcé l'humanité à, disons, à inventer une toute nouvelle façon de concevoir les maths.

Intervenant 10:56

Et le truc le plus incroyable, je trouve, dans notre analyse d'aujourd'hui, c'est que cette quête, pour essayer de compter l'incomptable, elle a fini par faire émerger, des siècles plus tard, un des nombres les plus mystérieux de l'univers.

Intervenant 21:07

Ouais, le fameux nombre e.

Intervenant 11:08

Exactement,

Intervenant 21:10

le fameux e. Et c'est vraiment un point de départ fantastique pour notre discussion parce que souvent on associe les grandes découvertes mathématiques à un génie un peu solitaire qui griffonne la solution ultime sur un grand tableau noir en une seule nuit.

Intervenant 11:22

Le mythe classique du génie incompris.

Intervenant 21:24

Voilà. Alors que la réalité, elle est infiniment plus chaotique et du coup beaucoup plus

Intervenant 11:30

intéressante. Ce n'est pas une découverte qui s'est faite d'un seul coup. C'est une notion qui a jailli un peu de partout, de manière presque organique et par des chemins qui n'avaient absolument aucun rapport entre eux au départ. On va parler d'astronomie, de finance, de géométrie pure.

Intervenant 21:47

C'est ça. Chaque discipline creusait vraiment dans son coin. Et toutes ont fini par buter exactement sur la même vérité cachée.

Intervenant 11:54

Donc, c'est l'histoire d'un tunnel creusé des deux côtés de la montagne, quoi. Mais pour bien comprendre pourquoi on a eu besoin de ce nombre, il faut faire un grand bond en arrière.

Intervenant 22:03

Direction la Grèce antique.

Intervenant 12:04

Ouais. À cette époque, on a ce besoin viscéral de manipuler des grandeurs vraiment colossales, mais on se heurte à un meurtre technologique qui est en fait le langage lui-même.

Intervenant 22:14

Ah oui, le mur de la langue et des notations. Faut s'imaginer que le système de numération grecque à l'époque, il avait un plafond de verre qui était extrêmement bas. En fait, il comptait jusqu'à un nombre qu'ils appelaient la myriade.

Intervenant 12:26

Ce qui correspond à 10 000.

Intervenant 22:27

Ouais, c'est ça, 10 000. Alors bon, dans le quotidien d'un citoyen grec normal ou même d'un général, 10 000, c'est très bien. C'est largement suffisant pour dénombrer les soldats d'une armée ennemie.

Intervenant 12:39

Ou le nombre de têtes de bétail ou les pièces d'or d'un trésor.

Intervenant 22:43

Exactement. Mais dès qu'on lève les yeux vers le ciel étoilé ou qu'on regarde simplement une plage, 10 000, ça devient complètement ridicule.

Intervenant 12:51

Ah bah oui !

Intervenant 22:52

D'ailleurs, il me semble qu'il y a un poète célèbre, Pindar, qui en faisait carrément une crise existentielle, non ? C'est une très belle façon de le formuler. Pindar écrivait des odes magnifiques, mais il se plaignait que le sable, l'aréna, échappait au nombre. Et intellectuellement, pour les penseurs grecs de l'époque, c'était juste insupportable.

Intervenant 13:12

Bah, ça se comprend. Le monde physique contenait des trucs que leur propre système mathématique ne pouvait même pas nommer. Et si on ne peut pas nommer une quantité, comment on peut prétendre comprendre l'univers, quoi ?

Intervenant 23:23

Et c'est exactement là qu'intervient Archimède. Alors, on le connaît pour sa poussée, ses machines de guerre.

Intervenant 13:28

Ouais, Eureka dans son bain, tout ça.

Intervenant 23:31

Voilà. Mais ce qu'il a fait avec les nombres, dans son traité qui s'appelle l'Arénère, c'est de la pure science-fiction pour l'époque.

Intervenant 13:37

Bon, alors décortiquons un peu ça. Comment il a réussi à briser ce fameux plafond de verre des 10 000 ?

Intervenant 23:42

En fait, Archimède a tout simplement refusé la fatalité. Au lieu de s'avouer vaincu par le sable, il a décidé de pirater le système de l'intérieur, en quelque sorte. Puisque le mot maximum, c'était myriade, il a pris ce mot et il l'a multiplié par lui-même. Il a inventé la myripe de myriade.

Intervenant 14:01

Ok, donc 10 000 x 10 000, ce qui nous donne 100 millions, non ?

Intervenant 24:06

C'est ça. Soit 10 puissance 8 dans notre notation moderne. Et c'est là que réside son vrai génie. 100 millions, ce n'était pas la fin pour lui. C'était le nouveau point de départ.

Intervenant 14:18

Ah oui, il a fait des blocs.

Intervenant 24:20

Ouais. Il a appelé tous les nombres jusqu'à 100 millions les premiers nombres. Ensuite, il a utilisé ce bloc géant de 100 millions comme une nouvelle unité de base pour construire les seconds nombres, donc allant jusqu'à 100 millions au carré, soit 10 puissance 16.

Intervenant 14:35

Oula, d'accord.

Intervenant 24:36

Et il a continué d'empiler ces immenses blocs, puissance après puissance, jusqu'à créer un véritable monstre mathématique. Un nombre qu'il a noté grand A, qui correspond, tenez-vous bien, à 10 puissance 8, le tout élevé à la puissance 10 puissance 8.

Intervenant 14:52

Attendez juste pour visualiser un peu le délire. C'est un 1 suivi de 800 millions de zéros derrière.

Intervenant 24:59

Mais c'est

Intervenant 15:00

gigantesque !

Intervenant 25:01

Ah bah c'est tellement gigantesque qu'Archimède s'en est carrément servi comme nouvelle base pour aller encore plus loin.

Intervenant 15:06

Non !

Intervenant 25:06

Si si, il a construit des périodes entières à partir de ce nombre a, pour finalement arriver à un système qui était capable d'énombrer tous les grains de sable nécessaires pour remplir l'univers entier. Même si l'univers était fait que de sable quoi.

Intervenant 15:17

Mais c'est un délire de grandeur totalement assumé en fait. Mais alors, au-delà de la prouesse intellectuelle d'Archimède, qu'est-ce que ce petit jeu avec le sable nous apprend sur notre mystérieux nombre e ? En quoi ça pose la première pierre en fait ?

Intervenant 25:32

Eh bien, de manière totalement empirique, en emboîtant ces énormes paquets de nombres, Archimède venait tout simplement d'inventer le concept moderne de l'exponentiel.

Intervenant 15:41

Ah d'accord !

Intervenant 25:41

En manipulant ces grandeurs, les érudits ont commencé à remarquer un motif fascinant, une sorte de... de code de triche de l'univers.

Intervenant 15:49

Un code de triche ? Comment ça ?

Intervenant 25:51

Eh bien, quand on travaille avec des suites géométriques, c'est-à-dire des listes de nombres où on multiplie toujours par la même valeur pour passer au suivant, genre 2, 4, 8,

Intervenant 16:00

16... 32, 64, ouais !

Intervenant 26:02

Exactement ! Eh bien, ils se sont rendus compte que pour multiplier deux de ces nombres entre eux, il suffisait d'additionner leur position dans la liste.

Intervenant 16:09

Attendez, si je décortique ça, ça veut dire que le troisième nombre de la liste, multiplié par le quatrième nombre de la liste, c'est égal au septième nombre de la liste.

Intervenant 26:20

Ouais, c'est la mécanique pure et dure de la chose. En termes plus modernes, on dirait 10 puissance 3 fois 10 puissance 4, ça égale 10 puissance 7.

Intervenant 16:28

Ah, mais oui ! 3 plus 4 égale 7.

Intervenant 26:30

Voilà. On transforme une multiplication écrasante en une simple addition d'exposants. Bon, à l'époque, c'était juste une curiosité intellectuelle. Mais des siècles plus tard, cette petite observation, elle allait littéralement sauver la vie d'une génération entière de scientifiques.

Intervenant 16:45

Et ça, ça nous amène direct au XVIIe siècle, le grand siècle de la révolution scientifique. Avec, bon, les lunettes astronomiques de Galilée, les trajectoires célestes à calculer, le ciel s'ouvre enfin, mais sur les bureaux des astronomes, ça devait être le cauchemar absolu, non ?

Intervenant 27:02

Un cauchemar logistique total. Les astronomes doivent calculer des orbites planétaires. Et pour faire ça, ils manipulent des observations super précises. Ce qui se traduit par des multiplications à la main, impliquant des nombres à 10, 12, voire 15 chiffres. L'horreur. Imaginez l'angoisse. Vous passez trois jours sur un calcul de trajectoire. Vous faites une toute petite erreur de retenue à la dixième ligne.

Intervenant 17:26

Et faut tout recommencer à zéro.

Intervenant 27:27

Exactement. Les mecs devenaient fous. Il leur fallait absolument ce fameux code de triche d'Archimède.

Intervenant 17:32

Mais applicable à n'importe quel nombre, c'est ça ? Pas juste aux puissances parfaites de 10 ?

Intervenant 27:36

C'est ça. Et c'est là qu'une solution surgit d'un endroit mais totalement inattendu, la trigonométrie.

Intervenant 17:43

Alors attendez, c'est là que ça devient vraiment intéressant. Parce que bon, la trigonométrie, pour rappel, c'est l'étude des angles, des triangles, des sinus, des cosinus. C'est quoi le rapport avec la multiplication de grosses données astronomiques ?

Intervenant 27:59

Bah, à première vue, il n'y en a aucun. Et c'est ce qui rend l'histoire belle, je trouve. En fait, au XVIe siècle, en 1579, pour être super précis, le français François Viette avait calculé des tables trigonométriques d'une précision juste hallucinante pour l'époque.

Intervenant 18:13

Douze décimales, c'est ça ?

Intervenant 28:14

Douze décimales, ouais. Du coup, les mathématiciens ont eu l'idée d'utiliser une propriété cachée des triangles pour un peu tricher avec l'arithmétique. C'est ce qu'on a appelé la méthode de Prosta-Ferrez.

Intervenant 18:24

Oula, Prosta quoi ?

Intervenant 28:26

Prostaphérèse. C'est un vieux mot grec qui signifie tout simplement addition et soustraction. D'accord,

Intervenant 18:32

ça fait moins peur d'un coup.

Intervenant 28:35

En gros, le principe, il repose sur des formules de linéarisation. Sans s'en sortir le tableau noir, il y a une règle géométrique qui dit que si on multiplie deux cosinus entre eux, le résultat final est égal à la moitié de l'addition de deux autres cosinus.

Intervenant 18:48

Ah ! Donc, si je comprends bien le stratagème, mon astronome, il a deux nombres affreux à multiplier. Au lieu de les multiplier bêtement à la main et d'y passer la nuit, il fait semblant que ces deux nombres, ce sont des cosinus.

Intervenant 29:01

C'est l'idée.

Intervenant 19:01

Il ouvre son énorme bouquin de table trigonométrique.