Pourquoi les maths ne peuvent-elles pas se passer des mots ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente, le podcast qui célèbre les mathématiques avec une passion débordante pour en révéler vraiment toute la beauté et la richesse. Je suis ravie d'être avec vous aujourd'hui.

Intervenant 20:12

Salut Evelyne, oui, ravie d'être là aussi. On a un super programme aujourd'hui.

Intervenant 10:16

Ah ça c'est sûr. Au programme de cette plongée fascinante, on vous propose une exploration au cœur des textes qui va complètement renverser la perception habituelle qu'on a de cette discipline.

Intervenant 20:27

C'est vrai que ça bouscule pas mal d'idées reçues.

Intervenant 10:30

Totalement. Alors il faut s'imaginer la scène quoi. Au tableau noir, un professeur de mathématiques pose sacré, il se tourne vers la classe et lâche cette expression très curieuse, presque machinale. Il dit bon ici on fait un abus de langage.

Intervenant 20:45

Ah oui, la fameuse phrase. C'est une petite phrase qu'on entend tout le temps en fait.

Intervenant 10:48

C'est ça.

Intervenant 20:48

C'est devenu d'une banalité affligeante, souvent tolérée, et même revendiquée pour de super bonnes raisons, fait de la logique d'ailleurs.

Intervenant 10:55

Oui, on simplifie pour les élèves.

Intervenant 20:57

Voilà. Mais si on s'arrête juste une seconde sur le sens profond de ces mots, on réalise que cette formulation, qui a l'air inoffensive comme ça, elle cache une réalité vertigineuse sur l'essence même des mathématiques.

Intervenant 11:09

Ok, reprenons depuis le début, décortiquons un peu ça. Parce que si on parle d'abus, ça sous-entend forcément qu'il y a une infraction, non ? Une règle qui a été transgressée.

Intervenant 21:19

Exactement. L'utilisation même du mot « abus » est forte.

Intervenant 11:23

Bah oui, ça sous-entend intrinsèquement qu'il existerait quelque part, dans un monde idéal, un langage mathématique pur, immaculé, parfaitement univoque.

Intervenant 21:33

Un langage parfait, quoi.

Intervenant 11:35

C'est ça. Et surtout, un langage complètement vidé de tous les mots du quotidien qu'on utilise. Un langage qui, s'il n'était pas « abusé », serait d'une perfection absolue, totalement abstrait.

Intervenant 21:47

C'est l'idée que beaucoup s'en font.

Intervenant 11:49

Mais du coup, est-ce que ce fantasme d'une mathématique complètement sans mots a une quelconque réalité ?

Intervenant 21:54

Eh bien, c'est le nœud du problème. C'est vraiment la grande interrogation de notre exploration d'aujourd'hui. Et je dois dire que la réponse est spectaculaire.

Intervenant 12:03

Ah ouais ? Raconte-moi.

Intervenant 22:04

Les documents qu'on étudie aujourd'hui démontrent pourquoi les mathématiques, malgré toute leur quête d'abstraction et de rigueur vraiment chirurgicale, elles ont un besoin viscéral, désespéré même, de nos mots quotidiens.

Intervenant 12:17

Donc elles ne peuvent pas s'en passer ?

Intervenant 22:18

Impossible. On va voir comment des mots de tous les jours, parfois les mots les plus triviaux, sont littéralement arrachés à leur contexte habituel pour subir une métamorphose et devenir des concepts d'une puissance inouïe.

Intervenant 12:32

Franchement, c'est une prémisse fascinante. Mais avant de voir comment ces mots entrent au panthéon des mathématiques, je pense qu'il faut qu'on comprenne pourquoi ce fameux langage pur n'existe pas en fait.

Intervenant 22:42

Ouais, c'est la base pour comprendre la suite.

Intervenant 12:44

Parce que, historiquement, les chercheurs ont véritablement essayé de se passer de notre dictionnaire. C'est pas juste une idée en l'air, non ?

Intervenant 22:50

Absolument pas. Il est important de rappeler qu'à l'origine, les mathématiques, c'était une discipline purement rhétorique.

Intervenant 12:57

C'est-à-dire ?

Intervenant 22:57

On faisait des phrases. C'est exactement ça. On écrivait les problèmes, le raisonnement et même les solutions en faisant des phrases complètes avec des sujets, des verbes, des compléments. Oh là là, ça devait être long. Très long. Ce n'est que très lentement que les symboles, les lettres grecques et les formules ont émergé pour coloniser progressivement la page blanche. Au siècle dernier, un rêve un peu fou s'est emparé d'une partie de la communauté scientifique. C'est le rêve qu'on appelle le rêve formaliste.

Intervenant 13:30

Attends, je veux bien comprendre. L'idée de ce rêve, c'était de bannir complètement la langue parlée, de remplacer chaque concept, chaque phrase, par uniquement des symboles cryptiques.

Intervenant 23:40

C'est l'idée, oui. L'espoir, c'était de construire un édifice mathématique qui ne serait qu'écriture symbolique, totalement débarrassé de toute langue commune.

Intervenant 13:49

Mais pourquoi ? C'est quoi le problème avec

Intervenant 23:52

notre langue ? La raison derrière ça, elle est simple. La langue de tous les jours, elle est perçue par ses penseurs comme profondément impure.

Intervenant 14:00

Impure, carrément.

Intervenant 24:01

Elle est relâchée, ambiguë, poétique. Elle est chargée de double sens, de subjectivité. Le rêve formaliste, c'était vraiment l'ambition de créer une forteresse de pure logique, imperméable aux faiblesses de l'interprétation humaine.

Intervenant 14:15

D'accord, mais j'imagine que si on en parle aujourd'hui sous l'angle du rêve, c'est que cette forteresse, elle s'est effondrée. C'est quoi qui a coincé ? Quel a été l'obstacle ?

Intervenant 24:25

L'obstacle a pris la forme d'un mur monumental, bâti par le célèbre groupe de mathématiciens connu sous le nom de Bourbaki.

Intervenant 14:32

Ah oui, Bourbaki.

Intervenant 24:33

Oui, dans leur œuvre titanesque qui s'appelle « Les éléments de mathématiques », ils ont mis un terme définitif à cette utopie formaliste. Et ils l'ont fait d'une manière assez brillante en fait.

Intervenant 14:43

Ils ont fait comment ?

Intervenant 24:44

Par une forme de démonstration par l'absurde. Ils ont montré l'impossibilité physique et même cognitive de se passer de notre langage.

Intervenant 14:52

Concrètement, ça donne quoi cette preuve de l'impossibilité ?

Intervenant 24:55

Bourbaki a procédé à une estimation très minutieuse de ce que représenterait l'écriture la plus simple qui soit dans un langage purement et strictement formel.

Intervenant 15:06

Ok.

Intervenant 25:06

Prenons l'entier naturel le plus basique, le chiffre 1.

Intervenant 15:10

Le chiffre 1, un simple trait vertical quoi.

Intervenant 25:12

C'est ça. Et bien dans un formalisme absolu, pour désigner ce terme 1, sans faire appel à la moindre intuition du langage commun, il faudrait un assemblage de plusieurs dizaines de milliers de signes.

Intervenant 15:23

Pardon, des dizaines de milliers de signes, juste pour écrire 1 ?

Intervenant 25:28

Précisément, oui. Il faudrait aligner des dizaines de milliers de caractères super complexes. Des symboles comme le taux grec, le carré logique, le ou logique, la négation, le signe d'égalité, le symbole d'appartenance.

Intervenant 15:42

Oh mon Dieu, mais c'est un cauchemar !

Intervenant 25:44

Des pages et des pages de symboles imbriqués les uns dans les autres, de manière purement mécanique, juste pour définir l'unité.

Intervenant 15:51

Mais c'est fou !

Intervenant 25:52

Et alors imagine un peu le travail colossal et même complètement absurde que représenterait l'écriture de l'équation la plus élémentaire qu'on apprend à l'école primaire, le fameux 1 plus 1 égale 2.

Intervenant 16:03

C'est complètement insensé. Franchement, c'est exactement comme si pour transmettre la recette d'un simple gâteau au yaourt, on exigeait d'un pâtissier qu'il n'utilise que les formules chimiques exactes.

Intervenant 26:14

Ah, c'est une super image ça !

Intervenant 16:16

Bah oui ! Au lieu de dire « prenez de la farine et du sucre », le pauvre gars devrait écrire la structure moléculaire complexe de chaque type d'amidon, décrire les liaisons covalentes du saccharose et détailler le repliement des protéines du blanc d'œuf.

Intervenant 26:32

C'est exactement ça, ouais.

Intervenant 16:33

Sur le papier, ça serait une description d'une précision absolue, un vrai triomphe de la chimie. Mais en réalité, personne dans aucune cuisine du monde ne pourrait jamais faire cuire ce fichu gâteau.

Intervenant 26:46

Ouais, le gâteau ne verrait jamais le jour, c'est sûr.

Intervenant 16:48

On mourrait de faim avant de le mettre au

Intervenant 26:50

four. C'est clair. La page noircit de dizaines de milliers de symboles pour simplement dire que 1 et 1 font 2. Ça serait interminable et totalement indéchiffrable pour un cerveau humain.

Intervenant 17:02

Ouais, logique.

Intervenant 27:03

La sentence est donc tombée, elle est irrévocable. Les mathématiques doivent se résoudre à utiliser des mots. Elles ne peuvent pas survivre en s'enfermant dans une tour d'ivoire purement symbolique.

Intervenant 17:12

Donc, le constat est clair, les mathématiques, toutes puissantes qu'elles soient, s'inclinent face au langage.

Intervenant 27:19

Tout à fait.