Giuseppe Peano, mathématicien : pourquoi tant de symboles ?

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Imaginez juste l'espace d'un instant, une simple ligne géométrique.

Intervenant 20:08

Une ligne parfaite.

Intervenant 10:10

Voilà, une ligne parfaitement fine, sans la moindre épaisseur. Et genre, cette ligne se plie et se replie sur elle-même avec tellement de frénésie et une telle perfection qu'elle arrive à remplir l'intégralité d'un carré sans laisser le moindre trou microscopique.

Intervenant 20:25

Dit comme ça, ça a l'air totalement absurde

Intervenant 10:27

physiquement. C'est logiquement impossible pour notre cerveau. Et pourtant, c'est ce qu'un homme a prouvé à la fin du XIXe siècle en brisant carrément les lois de notre réalité intuitive au passage. Aujourd'hui, on se lance dans une exploration en profondeur des sources qui documentent cet esprit hors du commun. Le fameux mathématicien italien Giuseppe Peano.

Intervenant 20:48

L'homme qui a littéralement réécrit le langage de la science. 1932. Et l'objectif de notre plongée dans ces documents, c'est pas de faire un catalogue d'équations imbuvables.

Intervenant 10:59

Heureusement.

Intervenant 21:00

Non, le but c'est de comprendre une révolution bien plus profonde. Peano, il a touché aux trois grandes facettes de ce qu'on appelle le formalisme. On va analyser son formalisme mathématique, son formalisme logique, et enfin, et ça c'est passionnant, les conséquences vertigineuses de son formalisme philosophique.

Intervenant 11:15

Ok, décortiquons un peu tout ça. Parce que le mot « formalisme », bon c'est un côté rigide qui peut paraître un peu intimidant quoi.

Intervenant 21:23

C'est vrai.

Intervenant 11:24

Mais l'histoire de Peano, elle commence en réalité par un choc visuel total. Avant même d'entrer dans les symboles ou les axiomes, il faut se replacer dans le contexte de 1890. Oui,

Intervenant 21:34

le monde des mathématiques de l'époque.

Intervenant 11:36

C'est ça. À ce moment-là, la géométrie euclidienne, c'est presque une religion. C'est le domaine du tangible, l'espace rassurant. Notre intuition spatiale, on la considère comme une boussole infaillible. Et paf, Peano publie un petit article qui détruit complètement cette boussole.

Intervenant 21:53

Et ce qui est fascinant ici, c'est l'économie de moyens avec laquelle il provoque ce séisme. Cet article de 1890, il est publié dans les mathématiciens Annalen et il fait genre seulement quatre pages.

Intervenant 12:06

4 pages pour tout casser.

Intervenant 22:08

Voilà. Et c'est rédigé en français. Son titre est presque trop modeste. C'est « sur une courbe qui remplit toute une aire plane ». Pour bien saisir le truc, il faut comprendre le concept de dimension à l'époque.

Intervenant 12:20

Ah ouais, la différence entre la ligne et la surface.

Intervenant 22:22

Exactement. Une ligne à une dimension, c'est défini par une seule variable, disons le temps t, qui s'écoule de 0 à 1. Un carré, c'est deux dimensions, donc deux coordonnées, x et y, qui varient chacune de 0 à 1. Or, Peano démontre mathématiquement qu'il existe une fonction continue capable d'associer chaque instant t de la ligne, À une position exacte XY dans le

Intervenant 12:50

carré.

Intervenant 22:51

De sorte que la courbe passe par absolument tous les points de ce carré.

Intervenant 12:56

C'est une attaque en règle contre le bon sens quoi. Pour donner une image, même si je sais qu'on touche aux limites de la physique, c'est comme prendre un unique fil de couture, un fil infiniment

Intervenant 23:06

fin,

Intervenant 13:08

on le tord, on lui fait faire des ongles droits, on le replie de manière fractale, encore et encore, jusqu'à ce qu'il tisse son tapis complètement dense, genre il n'y a plus aucun espace entre les mailles. Le fil unidimensionnel est devenu une surface bidimensionnelle.

Intervenant 23:24

L'image du fil tissé, elle est super séduisante pour l'esprit. Mais il faut justement s'en méfier. C'est exactement là que réside le piège de notre intuition. Un fil physique, il possède toujours une épaisseur, même de quelques atomes. Ce qui explique qu'il puisse remplir un espace en s'empilant. Mais la courbe de Peano, son épaisseur est strictement égale à zéro.

Intervenant 13:46

C'est de l'abstraction pure du

Intervenant 23:47

coup. C'est ça. Georges Cantor avait déjà prouvé quelques années plus tôt qu'il y avait autant de points sur une ligne que dans un carré. Mais la méthode de Cantor, elle déchirait la ligne, c'était discontinu. L'éclair de génie de Peano, c'est la continuité.

Intervenant 14:00

La ligne se brise jamais.

Intervenant 24:02

Jamais. Et c'est ça qui a scandalisé tout le monde. On s'est rendu compte qu'un objet de dimension 1 pouvait acquérir les propriétés d'un objet de dimension 2.

Intervenant 14:11

Donc, si je comprends bien, notre œil ou notre capacité à visualiser l'espace, ça devient un outil obsolète pour faire des maths de pointe.

Intervenant 24:20

Exactement. Cette publication force les mathématiciens à admettre que l'intuition peut les tromper lourdement. Et pourtant, cette, on va dire, monstruosité géométrique, elle a ouvert une voie rualale.

Intervenant 14:32

Ah ouais.

Intervenant 24:34

Oui, dès 1896, David Hilbert va proposer une version géométrique plus facile à dessiner de cette courbe et Henri Lebec s'en inspirera aussi en 1904.