Cantor, mathématicien : les pièges de ses tables de Goldbach

Intervenant 10:00

Salut tout le monde et bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver pour cette nouvelle exploration. Bonjour

Intervenant 20:07

à toutes et à tous, très heureux d'être là.

Intervenant 10:09

Alors aujourd'hui, il faut s'imaginer le plus grand architecte du monde. Quelqu'un qui serait capable de concevoir des gratte-ciels en dimensions infinies, genre des métropoles entières flottant dans des espaces abstraits impossibles à visualiser.

Intervenant 20:24

Une belle métaphore.

Intervenant 10:26

Et soudainement, au sommet de sa gloire, cet architecte s'enferme dans un bureau. Et là, il devient totalement obsédé par un petit casse-tête en blocs de bois de trois pièces, vous savez, le truc pour enfants. Et il se met à accumuler des erreurs de calcul basiques.

Intervenant 20:42

C'est exactement

Intervenant 10:43

ça. Bref, bienvenue dans cette grande exploration mathématique. L'objectif ici, c'est de prendre des sources pointues, des notes historiques et d'en extraire les mécanismes les plus fascinants. Aujourd'hui, on plonge au cœur d'un véritable choc des titans.

Intervenant 20:58

Un choc absolument spectaculaire, oui. Parce que d'un côté, nous avons Georg Cantor, donc la figure fondatrice de la théorie des ensembles, le maître absolu de la rigueur, l'homme qui a littéralement mathématisé l'infini. Rien que ça. Et de l'autre côté, la conjecture de Goldbach. Une simple question posée en 1742, qui ressemble à un exercice de cours préparatoire, mais qui défie encore l'humanité toute entière aujourd'hui.

Intervenant 11:23

La mission de cette exploration, le grand mystère qu'il faut résoudre, c'est de comprendre par quel mécanisme, psychologique et mathématique, un esprit aussi affûté que Cantor a pu abandonner sa rigueur légendaire, comment il a pu se laisser dévorer par une intuition empirique face à ce problème, jusqu'à formuler des affirmations totalement fausses.

Intervenant 21:46

C'est ça qui est dingue.

Intervenant 11:47

Mais pour mesurer l'ampleur de ce basculement, il faut d'abord poser les bases de qui était Cantor. On ne parle vraiment pas d'un amateur éclairé.

Intervenant 21:54

Ah non, loin de là. À la fin du 19e siècle, Cantor a bouleversé les fondements même de la logique. Avant lui, l'infini, c'était un concept philosophique un peu vague, quoi. Ouais, une

Intervenant 12:05

idée, pas un objet mathématique.

Intervenant 22:08

Voilà. Et Cantor, il a prouvé mathématiquement qu'il existait des infinis de tailles différentes. Par exemple, il a démontré que l'infini des nombres entiers, donc 1, 2, 3, etc., il est infiniment plus petit que l'infini des nombres réels, qui inclut absolument toutes les décimales possibles,

Intervenant 12:28

C'est vertigineux de se dire qu'il y a des infinis plus grands que d'autres.

Intervenant 22:32

Et il a formalisé ça avec ce qu'on appelle l'hypothèse du continu. Ça postule qu'il n'existe aucun infini intermédiaire entre ces deux-là.

Intervenant 12:40

Un concept tellement complexe que cette hypothèse du continu a été placée tout en haut de la célèbre liste des 23 problèmes de David Gilbert en 1900.

Intervenant 22:48

Exactement.

Intervenant 12:50

Et le plus fou, c'est que la réponse à ce problème, qui a été trouvé par Paul Cohen en 1963, c'est que l'hypothèse est indécidable.

Intervenant 22:58

C'est ça.

Intervenant 12:58

Les mathématiques ne peuvent ni prouver qu'elle est vraie, ni prouver qu'elle est fausse, avec nos axiomes actuels. Cantor évoluait donc en permanence dans ces hautes sphères de l'abstraction pure.

Intervenant 23:08

Et c'est là que l'irruption de la conjecture de Goldbach dans sa vie devient fascinante. Entre 1884 et 1896, cet homme qui en fait dompte des infinis multiples, il se passionne pour une règle arithmétique d'une simplicité désarmante.

Intervenant 13:25

Ok, décortiquons tout ça. La conjecture de Goldbach affirme une chose très simple. Tout nombre entier perd strictement supérieur à 2 et la somme de deux nombres premiers. C'est tout.

Intervenant 23:36

Voilà la règle de base.

Intervenant 13:38

Par exemple, 6, c'est 3 plus 3. 18, c'est 5 plus 13. 100, c'est 47 plus 53. Sachant qu'un nombre premier, on le rappelle, c'est comme un atome indivisible en mathématiques, un nombre qui ne se divise que par 1 et par lui-même.

Intervenant 23:55

C'est un énoncé qu'un enfant peut tester sur une feuille de papier, en fait. Mais derrière cette vitrine innocente, il y a un monstre de complexité qui se cache. La question naturelle, c'est pourquoi Cantor, le théoricien de l'abstrait, s'attaque-t-il à ce petit problème d'arithmétique basique ?

Intervenant 14:11

Justement, il devait bien y avoir une logique derrière ce virage. Je ne sais pas, il cherchait à se reposer l'esprit.

Intervenant 24:17

C'est beaucoup plus stratégique que cela. En réalité, Cantor cherchait désespérément une application concrète à ses résultats sur la théorie des sous-ensembles des nombres réels.

Intervenant 14:26

Ah, pour asseoir sa crédibilité !

Intervenant 24:28

Exactement. Il voulait prouver à ses détracteurs que ces concepts ultra-abstraits pouvaient servir d'outil pour résoudre des problèmes tangibles, en théorie des nombres. Et de plus, Cantor militait beaucoup pour la collaboration internationale.

Intervenant 14:42

Et Goldbach, c'est parfait pour ça ?

Intervenant 24:44

Oui. La conjecture de Goldbach, c'était l'appât idéal. Sa simplicité attire irrésistiblement les amateurs, les passionnés. Ça crée un effort collectif géant pour trouver une exception.

Intervenant 14:54

Parce que pour détruire la conjecture, il suffit de trouver un seul nombre pair qui refuse de se décomposer en deux nombres premiers. C'est le fameux contre-exemple.

Intervenant 25:03

C'est ça. Un seul suffit.

Intervenant 15:05

Mais comment on prouve que c'est vrai pour tous les nombres ?

Intervenant 25:09

La force brute, ça semble être le premier réflexe, non ? On prend un ordinateur et on teste chaque nombre paire, un par un. Et d'ailleurs, c'est ce qui a été fait d'ailleurs. Avec l'avènement de l'informatique, les capacités de calcul ont explosé. Récemment, en janvier 2022, un projet informatique massif a permis de valider la conjecture jusqu'à un entier paire gigantesque, 4 fois 10 puissance 18.

Intervenant 15:31

4 milliards de milliards, c'est énorme ! Oui, c'est colossal !

Intervenant 25:34

Attendez,

Intervenant 15:36

ce qui amène une question très légitime. Si on a vérifié 4 milliards de milliards de cas sans trouver une seule exception, on ne peut pas juste dire que c'est bon et passer à autre chose ? Dans n'importe quelle autre science, la physique ou la biologie par exemple, une telle accumulation de données, ça équivaudrait à une certitude absolue ?

Intervenant 25:54

Ce qui est fascinant ici, c'est que ce qui distingue les mathématiques des autres sciences, c'est vraiment la notion de vérité universelle. La physique tolère l'approximation, la biologie aussi. Les mathématiques exigent l'absolu.

Intervenant 16:06

Ouais, pas de place pour le « à peu près ».