√2 et nombre d’or : de la feuille A4 au mythe artistique

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Alors, pour commencer cette exploration, j'aimerais que notre audience imagine un truc tout simple. Tracer un carré sur le sable.

Intervenant 20:09

Ouais, la figure géométrique de base,

Intervenant 10:12

quoi. Exactement. Quatre côtés parfaitement égaux et on les relie par une ligne en diagonale. Visuellement, ça semble être la figure la plus pure, la plus inoffensive de l'univers.

Intervenant 20:21

Complètement inoffensive, en apparence.

Intervenant 10:24

En apparence. Parce que, aux alentours de 530 avant notre ère, ce dessin tout bête a déclenché une crise philosophique d'une violence inouïe. La légende dit même que ça a mené à un assassinat en pleine mer.

Intervenant 20:35

Ah oui, le fameux scandale pythagoricien.

Intervenant 10:38

C'est une histoire fascinante. Parce que caché dans cette diagonale, il y a un nombre sauvage. Un nombre qu'on appelle rebelle, qui est impossible à capturer avec les mathématiques de l'époque. Un truc qui a littéralement fracassé la vision du monde des penseurs antiques.

Intervenant 20:55

Ce terme de nombre rebelle est vraiment parfait pour le coup. Parce que l'histoire mathématique, ce n'est pas ce long fleuve tranquille où chaque théorème s'emboîte gentiment avec le précédent. C'est clair. C'est un champ de bataille idéologique. Les certitudes s'effondrent souvent face à l'émergence de concepts qui défient le bon sens. Et l'irrationalité, c'est exactement ça.

Intervenant 11:15

Et c'est précisément la mission de notre exploration d'aujourd'hui pour les passionnés qui nous écoutent. On a fouillé dans nos archives, dans les articles historiques, pour vraiment déconstruire l'histoire de ces tout premiers nombres irrationnels.

Intervenant 21:27

Oui, on va retracer la traque de cette terrifiante racine carrée de 2.

Intervenant 11:31

Ouais.

Intervenant 21:32

Et ensuite, on se penchera sur l'autre grand prétendant, une vraie superstar historique, le fameux nombre d'or, qu'on appelle souvent Phi.

Intervenant 11:39

Alors, quel est le plan de vol pour aujourd'hui ?

Intervenant 21:42

Eh bien, ça nécessite de faire quelques bonds dans le temps en fait. On va d'abord voyager de Babylone à la Grèce antique pour comprendre la naissance de cette notion d'irrationalité.

Intervenant 11:51

D'accord.

Intervenant 21:52

Ensuite, on va quitter l'aspect chaotique de ces nombres pour révéler leur structure cachée. On va voir qu'ils ont une élégance absolue grâce aux fractions continues.

Intervenant 12:01

Oh, j'adore cette partie !

Intervenant 22:02

Et enfin, il faudra s'attaquer au mythe. On va décortiquer avec rigueur la mécanique pseudo-scientifique qui a transformé un simple rapport algébrique en une espèce de règle divine de la beauté.

Intervenant 12:13

Avant d'en arriver au déboulonnage du mythe, il faut vraiment qu'on saisisse l'ampleur du traumatisme initial. Comment une simple diagonale a pu créer un tel chaos ?

Intervenant 22:22

Ouais, il faut remettre le contexte.

Intervenant 12:24

Parce que quand on regarde les sources, on voit bien que l'humanité n'avait pas attendu les Grecs pour faire de la géométrie de haut niveau.

Intervenant 22:29

Absolument

Intervenant 12:30

pas. Entre 1800 et 1600 avant notre ère, les babyloniens y manipulaient déjà la diagonale du carré avec une aisance de dingue.

Intervenant 22:37

Tout à fait. On a retrouvé des tablettes d'argile avec des approximations ultra précises de la racine carrée de

Intervenant 12:44

2. Et les textes indiens aussi, non ?

Intervenant 22:45

Oui. Les famas Chulbasutras, au VIe siècle avant notre ère, y donnaient des méthodes de calcul vraiment redoutables.

Intervenant 12:52

Mais alors où est la rupture avec les Grecs ?

Intervenant 22:54

En fait, la différence, elle est dans l'intention. Les babyloniens et les indiens, ils étaient dans les mathématiques appliquées. Leurs approximations, c'était des outils pour l'arpentage, l'architecture.

Intervenant 13:05

Ils voulaient juste que le bâtiment tienne debout, quoi.

Intervenant 23:07

Exactement. Mais les grecs, et surtout la secte des pythagoriciens, ils s'en fichaient de construire un temple. Ils voulaient comprendre la nature même des choses, déchiffrer le code source de l'univers.

Intervenant 13:17

C'est là qu'on arrive à leur fameuse devise.

Intervenant 23:19

Oui, tout est nombre. Et pour Pythagore, c'est pas une métaphore poétique. C'est un dogme absolu.

Intervenant 13:26

Et par nombre, pour que ce soit clair pour notre audience, ils entendaient uniquement les nombres entiers ou alors des rapports entre entiers, donc les fractions.

Intervenant 23:33

C'est ça, les nombres rationnels.

Intervenant 13:35

J'ai une analogie visuelle pour ça. Imaginons qu'on essaye de mesurer le côté d'un carré géant et sa diagonale avec des briques de Lego. Des briques de plus en plus minuscules.

Intervenant 23:46

Ouais, c'est une très bonne image.

Intervenant 13:48

L'espoir fondamental des Grecs, c'était de trouver une brique de Lego tellement petite qu'elle rentrerait un nombre exact de fois dans le côté et un nombre exact de fois dans la diagonale.

Intervenant 24:00

Sans qu'un seul millimètre nous dépasse.

Intervenant 14:02

Voilà. Et si ça marche, on dit que ces deux longueurs sont commensurables.

Intervenant 24:07

Sauf que, spoiler alert, ce postulat de commensurabilité va totalement s'effondrer.

Intervenant 14:12

Et ça fait mal.

Intervenant 24:12

Très mal. D'après le philosophe Proclus, c'est Hyppas de Métaponte, un pythagoricien, qui aurait percé le secret de √2. Il a prouvé que cette fameuse brique commune n'existe tout simplement

Intervenant 14:24

pas. Le rapport ne peut s'écrire sous la forme d'aucune fraction, même hyper complexe. C'est une grandeur incommensurable.

Intervenant 24:32

Voilà, un nombre irrationnel.

Intervenant 14:34

Mais attendez, j'ai une question de relance là-dessus. L'algèbre moderne, avec les x, les dy et les démonstrations par l'absurbe, ça existait pas en 530 avant notre ère ?

Intervenant 24:44

Non, pas du

Intervenant 14:45

tout. Aujourd'hui, on démontre ça avec les nombres paires et impaires, comme Aristote l'a fait plus tard. Mais concrètement, comment les premiers pythagoriciens ont-ils pu prouver cette contradiction, juste avec des formes géométriques ?

Intervenant 24:56

Eh bien, leur méthode est d'une sophistication folle. C'est le principe de la descente infinie. Prenons un instant pour visualiser ça.

Intervenant 15:05

Je vous écoute.

Intervenant 25:06

Ils sont partis de l'hypothèse inverse, pour voir où ça coinçait. Supposons que le côté et la diagonale soient commensurables. Imaginons un grand carré où le côté vaudrait exactement 29 unités et la diagonale exactement 41 unités.

Intervenant 15:21

D'accord, je pose ça mentalement.