Descartes : tracer une fraction avec le théorème de Thalès

Intervenant 10:00

Que se passe-t-il quand on force deux mondes mathématiques qui s'ignorent royalement à travailler ensemble ?

Intervenant 20:08

Ça fait des étincelles.

Intervenant 10:09

Ouais, c'est le moins qu'on puisse dire. Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente et bienvenue à quiconque nous écoute pour cette nouvelle exploration. Une plongée où l'on va littéralement plier la réalité de l'espace avec un bout de papier et un crayon.

Intervenant 20:25

C'est exactement l'ambition de notre discussion aujourd'hui. On va s'immerger dans les brouillons, et plus profondément encore, dans le cheminement intellectuel d'un des plus grands penseurs du XVIIe siècle.

Intervenant 10:36

Et pas n'importe lequel.

Intervenant 20:38

Non, pas n'importe quel. La mission de cette exploration, c'est de déterrer une méthode fascinante qui a été curieusement un peu oubliée par l'histoire populaire. On va voir comment dessiner physiquement des fractions avec juste une règle non graduée et un compas. Le tout selon la vision de Descartes.

Intervenant 10:57

René Descartes. Ah, évidemment, on associe presque automatiquement ce nom à la philo classique.

Intervenant 21:02

Au fameux « je pense donc je suis ».

Intervenant 11:04

C'est ça, à une certaine idée de la rationalité, très très abstraite. Mais avant de manipuler nos fractions avec des outils géométriques, je pense qu'il faut vraiment planter le décor.

Intervenant 21:14

Ouais, c'est indispensable.

Intervenant 11:16

Parce qu'il faut comprendre le coup de tonnerre historique qui a rendu cette manipulation possible, quoi.

Intervenant 21:21

Totalement. Le contexte, c'est la clé pour saisir l'ampleur du truc. Remontons à, disons, l'année 1637. D'accord, on y

Intervenant 11:28

est.

Intervenant 21:29

La scène intellectuelle, elle se déroule à Leïde, aux Pays-Bas. C'est là qu'est publiée une œuvre fondatrice de la pensée moderne, « Le discours de la méthode ».

Intervenant 11:38

Ouais, un texte dont le but affiché, c'est d'apprendre à bien conduire sa raison pour chercher la vérité dans les sciences.

Intervenant 21:44

Voilà.

Intervenant 11:45

Sauf que, et c'est le détail qui nous intéresse profondément aujourd'hui, ce discours de la méthode, il n'est pas paru tout seul.

Intervenant 21:51

Ah ben non, il ne flottait pas du tout dans le vide intellectuel.

Intervenant 11:54

Il me semble qu'il accompagnait d'autres textes, non ?

Intervenant 21:56

Exactement. Ce texte supercellable, en réalité, il servait juste de préface.

Intervenant 12:02

C'est fou de se dire ça.

Intervenant 22:03

Ouais. C'est une introduction méthodologique à trois traités scientifiques majeurs qui étaient publiés avec.

Intervenant 12:09

Ok. Lesquels ?

Intervenant 22:10

Il y avait la dioptrique, sur l'optique, les météores, sur les phénomènes atmosphériques, et enfin, l'ouvrage qui va tout déclencher pour nous aujourd'hui, la géométrie.

Intervenant 12:21

La géométrie. Et c'est un point super important parce que c'est le seul ouvrage purement mathématique qu'il ait jamais publié de son vivant.

Intervenant 22:29

L'unique ouvrage, ouais. Et pourtant, il crée une onde de choc monumentale. C'est dans ces pages qu'il introduit le principe des fameuses coordonnées.

Intervenant 12:37

Celle qu'on appelle les coordonnées cartésiennes aujourd'hui.

Intervenant 22:40

C'est ça. Le truc qu'on utilise sur n'importe quel graphique. C'est véritablement l'acte de naissance de la géométrie analytique.

Intervenant 12:47

En fait, ils jettent un pont énorme et complètement inattendu entre la géométrie et l'algèbre.

Intervenant 22:53

C'est un changement de paradigme total qui bouscule tout l'héritage de l'Antiquité grecque. L'idée fondatrice, c'est de prendre des problèmes géométriques

Intervenant 13:02

qui se traitaient depuis Euclide en faisant des figures hyper complexes, des intersections délicates.

Intervenant 23:08

Voilà, et de les résoudre en les traduisant par de simples calculs de longueur. En gros, ils transforment l'espace en équations algébriques.

Intervenant 13:16

Pour bien visualiser ce fossé, on peut se dire que l'algèbre et la géométrie jusque-là, ça parlait deux langues complètement différentes.

Intervenant 23:22

Ah bah ils s'ignoraient, comme tu disais au début.

Intervenant 13:25

C'est ça, l'algèbre manipulait des symboles, des équations, des entités totalement abstraites. Et la géométrie, elle manipulait la matière concrète, des angles, des surfaces, des lignes.

Intervenant 23:35

Ouais.

Intervenant 13:35

Et là, boum, Descartes invente la toute première application de traduction instantanée.

Intervenant 23:40

C'est exactement le terme juste, une traduction instantanée. D'ailleurs, le premier livre de La Géométrie annonce son projet avec une assurance spectaculaire.

Intervenant 13:48

Il s'intitule

Intervenant 23:49

comment déjà ? Il s'intitule « Des problèmes qu'on peut construire sans y employer que des cercles et des lignes droites ».

Intervenant 13:55

Rien que ça ?

Intervenant 23:56

Et dès la première phrase, le ton est donné. Je te cite la phrase exacte.

Intervenant 14:00

Vas-y.

Intervenant 24:01

Tous les problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tel

Intervenant 14:04

terme

Intervenant 24:06

qu'il n'est besoin par après que de connaître la longueur de quelques lignes droites pour les construire.

Intervenant 14:10

Attends, il écrivrait en tous les problèmes ?

Intervenant 24:12

Tous les problèmes, ouais.

Intervenant 14:13

Mais c'est une affirmation vertigineuse pour l'époque. Ça soulève une question évidente. Pourquoi il ressentait ce besoin viscéral de tout unifier ? Pourquoi vouloir ramener la noblesse des grandes figures géométriques à de simples calculs de lignes ?

Intervenant 24:27

Bah, ça découle vraiment de sa vision philosophique globale. Il cherchait une méthode universelle.

Intervenant 14:33

Une sorte de mécanique infaillible ?

Intervenant 24:36

Une mécanique de la pensée qui ne dépendrait pas de l'intuition visuelle. Parce que pour lui, les yeux, ça peut être trompeur.

Intervenant 14:43

C'est vrai que des fois, sur un dessin, deux lignes ont l'air parallèles et en fait pas du tout.

Intervenant 24:46

Exactement. En traduisant la géométrie en algèbre, il voulait automatiser la résolution. Il voulait que la vérité déroule d'une logique implacable, calculable.

Intervenant 14:55

Plutôt que de juste observer un dessin dans l'espace.

Intervenant 24:57

C'est ça. Et pour prouver que cette traduction algébrique est physiquement réalisable sur du papier, il va s'appuyer sur une mécanique redoutable. Le tracé de lignes parallèles.

Intervenant 15:06

D'accord, alors penchons-nous sur la mécanique du truc, parce que c'est là que ça devient fou. Comment on arrive à multiplier deux nombres, disons deux longueurs, juste en tirant des lignes ?

Intervenant 25:16

Ça paraît magique.

Intervenant 15:16

Bah oui, sur le papier, sans calculette, ça ressemble à un tour de prestidigitation.

Intervenant 25:20

Faisons l'expérience mentale ensemble. On va laisser de côté les équations compliquées et on se concentre sur le mouvement physique.

Intervenant 15:27

Ok, je te suis.

Intervenant 25:29

Imaginons qu'on doive multiplier deux longueurs distinctes. Le défi, c'est de construire une troisième longueur qui sera leur produit exact.

Intervenant 15:38

Donc, j'ai deux segments indépendants, disons des petits bâtons, que je pose sur une feuille blanche, et je veux faire apparaître le segment qui représente leur multiplication.

Intervenant 25:47

Tout à fait. L'astuce, c'est d'abord de tracer un angle. Imagine une paire de ciseaux qu'on ouvre légèrement.

Intervenant 15:54

Ok, j'ai l'image en tête, deux droites qui se croisent à un point d'origine.

Intervenant 25:58

Super. Sur la première lame de nos ciseaux, la ligne du bas, on va reporter notre première longueur. On

Intervenant 16:04

fait une petite

Intervenant 26:05

marque. Voilà.