Nombres irrationnels : pourquoi les fractions échouent

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. C'est vraiment un bonheur de lancer cette nouvelle exploration aujourd'hui.

Intervenant 20:08

C'est lui et lui. Très content d'être là pour aborder ça.

Intervenant 10:12

Et pour commencer, imaginons une scène toute bête du quotidien. Par exemple, un magnifique gâteau au chocolat posé sur une table.

Intervenant 20:20

Ah, le classique.

Intervenant 10:21

Voilà, s'il faut le partager, le concept coule de source, un demi, un tiers, un quart. L'esprit humain maîtrise ça de façon hyper intuitive.

Intervenant 20:30

Ouais, c'est presque inné, quoi.

Intervenant 10:32

Exactement. On prend un couteau, on divise la matière, c'est propre, c'est net. Et surtout, c'est rassurant. Les fractions ont l'air d'être l'outil mathématique absolument parfait pour découper notre réalité.

Intervenant 20:44

Sur le papier, oui.

Intervenant 10:46

Mais l'exploration d'aujourd'hui, qui se base sur un article fascinant intitulé « L'échec des fractions », pose une question super vertigineuse. Que se passe-t-il quand la réalité elle-même nous prouve que cet outil si familier est en fait irrémédiablement cassé ? Bon, décortiquons tout ça, pose-nous un peu le décor.

Intervenant 21:07

Eh bien, l'histoire a d'abord vu ça comme un effondrement total, tu vois. Le fait que les fractions soient incapables de tout mesurer, ça a été perçu au tout début comme un mur infranchissable. Une

Intervenant 11:16

sorte de gros bug dans la matrice,

Intervenant 21:18

quoi. C'est ça. Mais en réalité, ce mur cachait une porte dérobée. Et franchir cette porte, ça n'a pas du tout détruit les maths, bien au contraire. Ça a permis de découvrir un univers numérique immense, peuplé de nombres dont on soupçonnait même pas l'existence.

Intervenant 11:31

D'accord. Mais pour bien capter l'ampleur du truc, je crois qu'il faut remonter le temps, retourner sur les lieux du crime en gros.

Intervenant 21:37

Ouais, direction l'Antiquité grecque.

Intervenant 11:39

Si ça. Et tout part d'une figure géométrique qui a l'air super inoffensive. Un simple carré.

Intervenant 21:45

Un bête carré tracé sur le sable, ouais. Imaginons que chaque côté mesure très exactement 1, c'est notre étalon de base. Jusque là

Intervenant 11:51

tout va bien, je te suis.

Intervenant 21:53

Mais si on trace la diagonale de ce fameux carré, le théorème de Pythagore nous dit que cette diagonale vaut la racine carrée de 2.

Intervenant 12:00

Ok.

Intervenant 22:01

Or, et c'est la grosse découverte qui fâche à l'époque, cette longueur refuse totalement de s'écrire sous la forme d'une fraction.

Intervenant 12:08

Attends, vraiment aucune fraction ?

Intervenant 22:10

Aucune. Elle est incommensurable. C'est-à-dire qu'il est rigoureusement impossible de trouver deux nombreux entiers, même gigantesques, dont la division donnerait exactement cette longueur.

Intervenant 12:20

C'est fou quand on y pense. C'est un peu comme, disons, construire une maison complètement normale. Les murs sont droits, on mesure tout, ça tombe juste.

Intervenant 22:29

Ouais, au millimètre.

Intervenant 12:30

Voilà. Et puis, tu décides de mesurer le couloir qui traverse le salon, en diagonale, et tu captes que ce couloir appartient carrément à une autre dimension.

Intervenant 22:39

C'est une super image.

Intervenant 12:41

Bah oui, la longueur est là, physiquement, on peut marcher dessus. Mais notre maître ruban, qui ne connaît que les entiers, il tourne dans le vide.

Intervenant 22:48

Il est complètement obsolète ?

Intervenant 12:50

Mais du coup, pourquoi ça déclenchait une panique aussi dingue à l'époque ? Enfin, c'est juste un détail technique, non ?

Intervenant 22:55

Ah non, pas pour eux. C'était perçu comme une véritable hérésie. Il faut vraiment se glisser dans la tête des pythagoriciens.

Intervenant 13:02

La fameuse secte de Pythagore ?

Intervenant 23:04

Exactement. Pour eux, la philo, la religion et les mathématiques, c'était la même chose. Leur dogme absolu, c'était que l'univers entier était régi par des rapports de nombres entiers.

Intervenant 13:16

L'harmonie parfaite, quoi.

Intervenant 23:18

Voilà. La musique dépendait de fractions sur les cordes vibrantes. Le mouvement des planètes suivait des ratios précis. Les fractions, c'était littéralement la preuve de la perfection divine.

Intervenant 13:29

Ah, je vois le problème arriver.

Intervenant 23:31

Ah oui, découvrir qu'un simple carré génère en son propre centre une longueur impossible à exprimer avec des entiers, c'était la preuve que le cosmos contenait du chaos.

Intervenant 13:40

Le mot est lâché. Le chaos irrationnel. L'harmonie parfaite vient de se briser à cause d'un pauvre trait dans le sable.

Intervenant 23:49

Et la réaction a été d'une violence inouïe. La tradition attribue cette découverte à un philosophe du nom d'Hypas de Métaponte.

Intervenant 13:56

Qu'est-ce qui lui est arrivé à ce pauvre Ipas ?

Intervenant 23:59

La légende raconte que les Pythagoriciens l'ont jeté par-dessus le bord d'un navire pour le noyer.

Intervenant 14:03

Non, noyés pour une racine carrée.

Intervenant 24:07

En pleine mer, ouais, pour que ce secret hérétique disparaisse avec lui. Bon, que ce soit un fait historique ou une allégorie, ça montre bien le traumatisme. Les fondements de leur monde venaient de s'effondrer.

Intervenant 14:17

C'est glaçant. Et ce qui frappe dans l'article, c'est que cette cicatrice ne s'est pas refermée tout de suite. On pourrait croire qu'ils ont juste mis à jour les manuels de maths et basta.