Avant la calculatrice : multiplier avec des bâtons

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Faisons un tout petit effort d'imagination pour commencer cette plongée sonore. Il faut se représenter au XIIe siècle sur le chantier absolument colossal d'une cathédrale gothique.

Intervenant 20:12

Ah oui, au milieu de la poussière et du bruit.

Intervenant 10:14

Exactement. Des centaines d'artisans qui attendent des instructions. Et le maître bâtisseur, lui, il doit calculer la résistance structurale d'une voûte en pierre pesant des milliers de tonnes.

Intervenant 20:23

La moindre erreur et tout s'effondre. Littéralement.

Intervenant 10:26

C'est ça. Ou bien, autre décor, transportons-nous dans le bureau un peu exigu d'un marchand de la Renaissance. À la lumière tremblotante d'une bougie, le type essaye d'estimer les provisions exactes au gramme et au denier près pour qu'un équipage entier puisse survivre à la traversée de l'océan Atlantique.

Intervenant 20:41

Avec des vies humaines en jeu à chaque ligne de calcul.

Intervenant 10:44

Et surtout, pas de smartphone dans la poche, pas de calculatrice électronique, rien d'autre qu'un cerveau humain, du parchemin et une pression immense.

Intervenant 20:53

C'est presque angoissant quand on y pense.

Intervenant 10:55

Mais carrément ! Aujourd'hui, on sort nos téléphones, on effleure un écran de verre brillant et le résultat de n'importe quelle opération hyper complexe apparaît instantanément. C'est lisse, c'est immédiat, on dirait presque de la magie.

Intervenant 21:08

Sauf que ce n'est pas de la magie, c'est l'aboutissement d'une très longue évolution technique.

Intervenant 11:13

Voilà. Et comment faisions-nous avant cette ère de l'instantanéité numérique ? C'est précisément l'objet de notre exploration du jour. À travers un article source absolument captivant intitulé « Multiplier avec des bâtons ».

Intervenant 21:26

Un titre qui annonce bien la couleur matérielle du sujet.

Intervenant 11:29

C'est clair. Le but, c'est d'aller à la rencontre d'outils physiques palpables et souvent dotés d'un génie mécanique pur. Des objets créés par les mathématiciens du passé pour, disons, dompter les nombres de leurs propres mains.

Intervenant 21:42

Et c'est un sujet d'une importance absolument capitale. Si l'on se replace dans le vaste contexte de l'histoire humaine, réaliser des calculs justes n'a jamais été un simple passe-temps de salon pour érudits solitaires.

Intervenant 11:54

Non, c'était pas des sudokus pour faire passer le temps.

Intervenant 21:56

Pas du tout. C'était une nécessité absolue, une question littérale de survie, de prospérité économique et, comme on l'a dit, de stabilité architecturale. Les artisans, les ingénieurs de la marine, les banquiers balbutiants de l'époque moderne, Absolument tous ces acteurs cruciaux devaient réaliser des opérations arithmétiques vitales au quotidien.

Intervenant 12:16

Et le cerveau humain a beau être une machine incroyable, il a quand même ses limites, non ?

Intervenant 22:20

Exactement. Surtout en matière de calcul mental pur, avec de très grands nombres. L'objectif historique des mathématiciens a donc toujours été double. D'une part, il s'agissait de réduire drastiquement ce que l'on appelle aujourd'hui la charge mentale.

Intervenant 12:35

C'est-à-dire la fatigue de retenir les chiffres en cours de route ?

Intervenant 22:38

Voilà, l'épuissement cognitif lié à la mémorisation temporaire des nombres, en plein calcul. Et d'autre part, le but ultime était d'éliminer les erreurs humaines. Une simple retenue oubliée, juste un petit 1 oublié dans une colonne, et ça pouvait faire s'effondrer un pont ou ruiner une expédition commerciale entière.

Intervenant 12:57

La pression est folle ?

Intervenant 22:58

Et c'est pour ça que l'histoire du calcul que nous abordons aujourd'hui, c'est finalement l'histoire d'une longue quête d'outils physiques, tangibles, conçus spécialement pour soulager le cerveau.

Intervenant 13:09

Et pour illustrer cette quête fascinante, la toute première étape de notre voyage nous emmène dans la lumière dorée et les canaux de la Renaissance italienne.

Intervenant 23:17

Ah, une très belle époque pour les mathématiques.

Intervenant 13:20

Surtout avec une méthode algorithmique qui porte un nom extrêmement poétique et même un peu mystérieux. Ok, décortiquons tout ça. Comment fonctionne très exactement cette fameuse méthode dite par jalousie ou per gelosia dans la langue de Dante ?

Intervenant 23:33

Alors, le seul fait d'entendre ce terme de jalousie nous transporte immédiatement au cœur de Venise. Cette technique tire son appellation de la forme géométrique très singulière du tableau que l'opérateur doit impérativement tracer sur son papier pour réaliser l'opération. On parle

Intervenant 13:48

d'un vrai dessin géométrique là.

Intervenant 23:50

Tout à fait. Il s'agit d'un grand quadrillage où chaque petite case est elle-même barrée d'une diagonale. Visuellement, l'ensemble rappelle de façon frappante les volets à lattes inclinées typiques des riches demeures vénitiennes.

Intervenant 14:04

Ah oui, ces volets en bois qui laissaient passer la lumière.

Intervenant 24:07

Ces fameux volets qui permettaient de voir sans être vus et que l'on appelle justement des jalousies. Et c'est là, dans cette effervescence intellectuelle italienne, que vécut le célèbre mathématicien Luca Pacioli.

Intervenant 14:19

Un personnage fascinant d'ailleurs.

Intervenant 24:21

Oui, ce moine franciscain a minutieusement détaillé cette technique géométrique dans son œuvre majeure publiée à la toute fin du XVe siècle. C'est la summa de Aritmetica, Geometria, Proportionetioni et Proportionalita.

Intervenant 14:34

Un titre bien dense pour une œuvre monumentale. Et les sources mettent d'ailleurs en lumière un détail visuel absolument merveilleux pour s'imprégner de l'époque.

Intervenant 24:43

Le fameux tableau de Luca Sammartiello.

Intervenant 14:45

Exactement. Il existe un tableau très célèbre peint par Giacoppo de Barbari représentant Luca Pacioli lui-même. On y voit le savant en habit de moine, l'air très grave, vraiment au centre de la composition.

Intervenant 24:58

Avec une lumière très dramatique.

Intervenant 15:00

Et juste là, posé solennellement dans le coin inférieur droit de la toile, sous l'ombre d'un magnifique dodecaèdre translucide à moitié rempli d'eau, un détail visuel incroyable au passage, repose précisément cet immense ouvrage fondateur.

Intervenant 25:15

La scène peinte est d'une solennité incroyable. Et la méthode elle-même l'est tout autant, enfin je dois dire sur le plan de l'esthétique visuelle.

Intervenant 15:22

Faisons vraiment l'effort de visualiser très lentement, mentalement, la mécanique de cette méthode par jalousie. Car c'est une véritable fusion entre la géométrie et l'arithmétique. Plaçons-nous en pensée devant une feuille de parchemin vierge.

Intervenant 25:35

D'accord, on sort la plume.

Intervenant 15:36

L'objectif est de multiplier de grands nombres, disons 987 par 987, comme le propose l'article source. On ne se lance pas tête baissée dans le calcul. D'abord, on dessine un grand carré.

Intervenant 25:48

Un très grand carré.

Intervenant 15:50

Puisque nous avons trois chiffres de chaque côté, on divise ce grand carré en un quadrillage parfait de trois cases sur trois. Nous avons donc neuf petites cases. Vient ensuite le geste signature de la méthode. Le moment vénitien. Voilà, on trace une ligne diagonale à l'intérieur de chaque petite case, de haut en bas et de droite à gauche. Et voilà nos lattes de volets vénitiens. Ensuite, on écrit 9, 8 et 7 au-dessus des 3 colonnes, puis 9, 8 et 7 le long des lignes à droite.

Intervenant 26:19

Et c'est à ce stade que le vrai travail arithmétique commence.

Intervenant 16:23

C'est ça. On croise chaque colonne avec chaque ligne. 9 x 9, ça fait 81. Dans la case correspondante, on inscrit le 8 dans le petit triangle du haut et le 1 dans le triangle du bas. Et on remplit ainsi toute la grille, case par case.

Intervenant 26:37

Exactement. C'est un processus de remplissage vraiment systématique, presque méditatif quoi. La grille devient un répertoire où l'on dépose chaque petit résultat intermédiaire.

Intervenant 16:46

On découpe le grand problème en plein de petits calculs.

Intervenant 26:49

C'est l'idée. Et une fois que ce magnifique échiquier oblique est intégralement rempli de chiffres, la magie de l'algorithme prend le relais. Il n'y a plus aucune multiplication à faire.

Intervenant 16:59

Attends, vraiment ? Plus aucune ?

Intervenant 27:01

Plus du tout. Il suffit simplement d'additionner les chiffres en suivant les couloirs obliques qui ont été formés par ces fameuses diagonales continues.

Intervenant 17:09

On débute la lecture par le tout petit couloir situé à l'extrême bas, à droite. D'accord.

Intervenant 27:13

Puis on remonte tranquillement, couloir par couloir, vers le haut et vers la gauche de la grille. Bien sûr, si la somme d'un couloir dépasse 9, on reporte la retenue dans le couloir suivant.

Intervenant 17:24

Classique.

Intervenant 27:25

Et à la toute fin, en lisant la série de chiffres apparues sur le contour inférieur puis sur le contour gauche du tableau, la réponse se dévoile d'elle-même. Et c'est 974 169. Le calcul complexe s'est transformé en une paisible promenade visuelle le long des diagonales.

Intervenant 17:43

Alors, l'image de la promenade visuelle apaisante est très belle. On comprend tout à fait la très esthétique de la chose. Mais en lisant la source et en jouant le jeu de la reconstitution de notre côté, il y a un problème massif qui saute aux yeux.

Intervenant 27:59

Un détail qui fâche.

Intervenant 18:00

Et qui vient un peu casser cette romance vénitienne, oui. Il faut se rendre à l'évidence, on passe un temps infini à tracer frénétiquement cette grille géante. Il faut s'appliquer pour que les lignes soient droites, tracer les 9 diagonales avec précision, aligner les chiffres. C'est un véritable cauchemar de dessinateur, de moine copiste.

Intervenant 28:18

C'est vrai que la mise en place est lourde.

Intervenant 18:20

Avant même de commencer à faire des mathématiques, la préparation prend plus de temps que la résolution elle-même. Et par-dessus tout, l'article souligne une faille indépassable. Cette méthode n'enlève absolument pas le besoin viscéral de connaître toutes ces tables de multiplication par cœur pour remplir chaque case du tableau.

Intervenant 28:37

C'est le nerf de la guerre.

Intervenant 18:38

Si l'on a un trou de mémoire sur 8x7, tableau vénitien ou pas, on est complètement bloqué. La charge mentale est certes organisée dans de jolies petites cases, mais elle est très loin d'être éradiquée.

Intervenant 28:49

C'est une analyse remarquablement lucide.