Deux enveloppes, une somme doublée : faut-il échanger ?

Intervenant 10:00

Bienvenue à toutes et à tous dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on va parler d'un truc à l'air complètement inoffensif au premier abord.

Intervenant 20:08

Oui, très inoffensif, presque un jeu d'enfant en fait.

Intervenant 10:11

Voilà, c'est ça. On pose deux enveloppes fermées sur une table. L'une contient une certaine somme d'argent et l'autre contient très exactement le double. On en choisit une au hasard, on l'ouvre et disons qu'on y trouve 100 euros.

Intervenant 20:26

D'accord, 100 euros.

Intervenant 10:27

Et à ce moment précis, n'importe quel calcul mathématique de base va nous hurler, mais vraiment nous hurler qu'il faut absolument échanger cette enveloppe contre la deuxième pour maximiser nos gains.

Intervenant 20:38

C'est ce que disent les probabilités

Intervenant 10:41

classiques, oui. Sauf que suivre cette logique, ça défie le bon sens le plus élémentaire. Comment un jeu aussi minimaliste peut-il faire littéralement exploser nos théories rationnelles ? C'est tout l'enjet de notre exploration aujourd'hui. On va plonger dans le fameux paradoxe des deux enveloppes.

Intervenant 20:56

Et ce qui rend cette énigme si captivante, ce n'est pas juste de dénicher une petite astuce pour gagner quelques euros de plus à un jeu de hasard. L'enjeu est fondamentalement épistémologique.

Intervenant 11:07

Ah ouais, carrément, on ne rigole plus.

Intervenant 21:09

Bah

Intervenant 11:09

non. En nous appuyant sur nos sources et sur pas mal d'articles de recherche qui décortiquent ce casse-tête, on va observer comment notre cerveau et les règles des probabilités entrent en collision frontale. C'est vraiment une fenêtre fascinante sur la manière dont on modélise l'incertitude. C'est clair. Et pour bien mesurer l'ampleur des dégâts causés par ce problème, il est hyper intéressant de voir comment il a évolué dans le temps. Parce que tu sais, ce n'est pas une simple énigme apparue par magie sur des forums obscurs d'Internet.

Intervenant 21:34

Non, pas du tout.

Intervenant 11:35

À la base, c'était un problème de logique purement académique. En 1988, le mathématicien Sandy Isabel publie un ouvrage qui s'appelle « Symmetry and its Discontents ». Et il y analyse ce qu'on appelait à l'époque le paradoxe de l'échange.

Intervenant 21:47

C'était la première mouture du problème en fait.

Intervenant 11:50

Exactement. À l'époque, le jeu se conçoit avec deux joueurs, face à face, et chacun tient une enveloppe fermée. Zabel pose un diagnostic super clair sur ça. Il dit que l'hypothèse d'équiprobabilité, c'est-à-dire l'idée de supposer qu'on a une chance sur deux d'avoir la bonne ou la mauvaise enveloppe, pour justifier un échange mutuel, c'est mathématiquement inadmissible.

Intervenant 22:08

Oui, parce que la démonstration de Zabel, elle repose sur un principe de conservation logique très strict. Si on imagine deux adversaires, c'est tout simplement inconcevable que l'échange soit mathématiquement favorable aux deux en même temps.

Intervenant 12:20

Ben oui, forcément, l'argent ne tombe pas du ciel.

Intervenant 22:23

Voilà, ce que l'un gagne, l'autre le perd obligatoirement. C'est ce qu'on appelle un jeu à somme nulle. Donc, la conclusion académique de Zabel, elle est implacable, échanger son enveloppe fermée contre celle de l'adversaire n'a aucune, mais alors aucune, rationalité.

Intervenant 12:38

C'est d'une symétrie

Intervenant 22:39

parfaite. C'est ça, le jeu présente une symétrie parfaite et aucun calcul ne permet de la briser pour justifier un mouvement de la part d'un joueur.

Intervenant 12:46

Mais du coup, si la communauté académique considérait le dossier comme clos en 88, comment est-ce que cette symétrie parfaite a fini par créer une panique intellectuelle mondiale quelques années plus tard ? Ah,

Intervenant 22:57

la fameuse mutation du problème.

Intervenant 13:01

C'est là que ça devient dingue. La mutation majeure, c'est qu'on supprime l'adversaire. En 1992, il y a la célèbre chroniqueuse Marilyn Vos Savant qui répondait aux questions de logique dans le magazine américain Parade.

Intervenant 23:13

Elle était très connue pour résoudre des énigmes impossibles.

Intervenant 13:16

Ouais, un vrai génie. Et un jour, elle reçoit une lettre. Un lecteur lui décrit cette situation. Il dit « J'ai devant moi deux enveloppes, l'une contient le double de l'autre. J'en ouvre une et je trouve 100 dollars. Dois-je l'échanger contre la deuxième, qui contient donc soit 50 dollars, soit 200 dollars, pour augmenter mon espérance de gain ?

Intervenant 23:37

Oui, le concret quoi. Exactement. Le monde abstrait des hypothèses devient une décision d'investissement très concrète.

Intervenant 14:00

Ok. Décortiquons un peu tout ça, parce que moi je bloque vraiment sur la controverse. Si on fait preuve d'un minimum de pragmatisme, franchement le calcul saute aux yeux. J'ai 100 dollars en main. D'accord. Si je décide de changer, j'ai une chance sur d'autres tomblées sur l'enveloppe à 200 dollars. Donc, dans ce scénario, je gagne 100 dollars net de plus.

Intervenant 24:21

Oui, le gain potentiel.

Intervenant 14:23

Et de l'autre côté, j'ai une chance sur deux de tomber sur l'enveloppe à 50 dollars. Et là, je perds 50 dollars par à tort à ce que j'avais. Mon gain potentiel de 100 est exactement le double de ma perte potentielle de 50. Le calcul est bon ! Mathématiquement, l'espérance de gain globale de cet échange est de 125 dollars, ce qui est supérieur aux 100 dollars initiaux. Pourquoi l'espérance mathématique classique ne fonctionne-t-elle pas ici ? N'importe quel algorithme financier validerait cet échange à la seconde, non ?

Intervenant 24:50

Ce qui est fascinant ici, c'est que l'erreur de ce calcul instinctif, c'est de présupposer que la découverte des 100 dollars apporte une information pertinente pour prendre la décision. Ah bon ?

Intervenant 15:00

C'est quand même une sacrée info, 100 balles !

Intervenant 25:02

Eh bien, Maréline, voix savant, répond à ce lecteur de manière assez brillante en posant une question toute bête. Ce raisonnement mathématique que tu viens de faire, est-ce qu'il dépend réellement du montant que tu as découvert ?

Intervenant 15:16

C'est-à-dire ?