Logarithmes : calculer de tête ce qui paraît impossible

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Aujourd'hui, on part sur une exploration vraiment incroyable. Imaginez qu'en octobre 2024, un ordinateur a recraché un nombre tellement gigantesque, mais vraiment absurde, que si on essayait de l'écrire à la main sur un tableau, on épuiserait probablement toutes les craies de la planète bien avant la fin.

Intervenant 20:22

Ouais, c'est clair, c'est un monstre. Et salut, ravi d'être là pour décortiquer ça.

Intervenant 10:27

Ravi de t'avoir avec nous. Et donc, on ne va pas juste regarder ce monstre mathématique de loin aujourd'hui. Notre mission, en se basant sur ce super article, les logarithmes à la rescousse, c'est de calculer sa taille exacte, de tête, et genre en moins de 30 secondes.

Intervenant 20:45

C'est un défi qui a l'air complètement fou, je te l'accorde totalement. Surtout que notre cerveau humain, il déteste viscéralement les très grands nombres.

Intervenant 10:53

À sac carrément, on bloque très vite.

Intervenant 20:55

Exactement. Mais c'est tout l'enjeu de notre décryptage d'aujourd'hui. L'idée, c'est de montrer que les maths, ce n'est pas juste là pour nous faire transpirer sur des calculs interminables façon liste de courses. C'est vraiment un outil pour changer notre angle de vue.

Intervenant 11:10

Jusqu'à ce que la difficulté disparaisse en fait. J'adore cette idée d'esquiver le problème en changeant de perspective. C'est presque philosophique, non ?

Intervenant 21:18

C'est très philosophique, oui.

Intervenant 11:20

Avant de philosopher, il faut absolument qu'on parle de ce nombre de 2024. D'où il sort ce monstre ?

Intervenant 21:27

Il vient d'un projet collaboratif, le GMPS. En gros, ils utilisent des ordinateurs du monde entier pour traquer des nombres très spécifiques. C'est un chercheur, Luc Durand, qui a décroché le jackpot.

Intervenant 11:39

Le plus grand nombre premier connu, c'est ça ?

Intervenant 21:41

C'est ça. C'est ce qu'on appelle un nombre de Mersenne. Et la formule, elle est à la fois super simple et juste terrifiante. C'est 2 à la puissance 136 279 841, le tout moins 1. Attends,

Intervenant 11:56

faut qu'on laisse ça infuser une seconde pour ceux qui nous écoutent. 2 multiplié par lui-même, plus de 136 millions de fois.

Intervenant 22:04

Ouais, c'est vertigineux.

Intervenant 12:06

Notre cerveau n'est pas du tout câblé pour ça. Enfin, tu sais, on dit souvent que si on plie une feuille de papier 40 fois sur elle-même, l'épaisseur touche la Lune.

Intervenant 22:13

La fameuse croissance exponentielle, ouais.

Intervenant 12:15

Voilà, ça détruit notre intuition physique. Et là, on ne plie pas 40 fois, on plie 136 millions de fois.

Intervenant 22:21

C'est une quantité qui ne rentre plus du tout dans notre réalité quotidienne. Et bien sûr, le but de notre discussion, ce n'est pas d'expliquer comment l'algorithme a prouvé que c'est un nombre premier. C'est d'une complexité folle, pas appelée M d'ailleurs, pour faire plus simple.

Intervenant 12:34

Ouf, merci. Mais par où on commence en fait ? Face à un truc pareil, je suis juste paralysée. Bah,

Intervenant 22:40

on pose les bases, calmement. Si tu veux trouver le nombre de chiffres d'un entier, disons un nombre n, ça revient à chercher la plus petite valeur d'un exposant, un petit n. De sorte que le grand n soit strictement inférieur à 10 puissance petite n.

Intervenant 12:54

Ah, attends, laisse-moi visualiser.

Intervenant 22:56

Vas-y.

Intervenant 12:56

Donc, si un nombre est inférieur à 10 puissance 3, donc 1000, c'est qu'il s'écrit avec au maximum trois chiffres, genre 999.

Intervenant 23:05

Exactement. La logique de base est super lumineuse.

Intervenant 13:09

Ouais, on encadre juste avec des puissances de 10. Mais attends, on a un énorme problème technique là. On se retrouve avec notre inconnu, le petit N, coincé tout en haut, dans l'exposant.

Intervenant 23:18

C'est ça.

Intervenant 13:19

Et de l'autre côté, on a le 2 à la puissance 136 millions qui trône au plafond. Comment on isole un exposant de tête ? Franchement là, je suis bloqué.

Intervenant 23:28

Et c'est précisément là qu'entre en scène l'arme secrète des mathématiciens. Le truc utilisé depuis le 17ème siècle. Les logarithmes. Et plus particulièrement, le logarithme népérien, le fameux LN.

Intervenant 13:41

Ah, le retour du LN du lycée.

Intervenant 23:43

C'est ça.

Intervenant 13:43

À l'époque, faut imaginer, les astronomes passaient des mois à faire des multiplications horribles de têtes. Et les logarithmes, ça a été inventé pour les sauver de cette corvée. C'est une espèce de machine conceptuelle magique.

Intervenant 23:55

Un genre de traducteur ?

Intervenant 13:56

Exactement, un traducteur qui rétrograde la complexité des opérations d'un cran. Comment ça, ça rétrograde ? C'est quoi la mécanique derrière ?

Intervenant 24:05

Ben, sa fonction principale, c'est de transformer les multiplications complexes en simples additions. Donc le ln de A fois B, ça devient ln de A plus ln de B. Ah ouais,

Intervenant 14:15

l'addition c'est quand même vachement plus digeste.

Intervenant 24:18

Carrément. Et la conséquence de ça, le truc vraiment puissant, c'est pour les puissances. Si t'as un nombre à une certaine puissance, le logarithme prend cet exposant et il le fait redescendre par terre, sur la ligne principale.

Intervenant 14:29

Attends, il le fait descendre, genre littéralement ?

Intervenant 24:32

Ouais, comme une presse hydraulique qui aplatie la montagne. Le ln de A puissance n, ça devient juste n multiplié par le ln de A. L'exposant n n'est plus en l'air, c'est devenu un simple facteur de multiplication.

Intervenant 14:44

D'accord, je vois bien la métaphore de la presse hydraulique. L'exposant intouchable se retrouve à notre niveau. C'est génial de changer de point de vue comme ça. Donc, si on applique ça à notre monstre de Mersenne, on fait quoi du moins 1 à la fin de la formule ? Le fameux 2 puissance 136 millions moins 1 ?