21 déc. 2023 · 17 min
Du cryptarithme aux figures : le parcours Gilles Cohen
Dans cet épisode, suivez les problèmes réunis pour Gilles Cohen : codes, probabilités et géométrie jalonnent un hommage par les énigmes.
Collections de cet épisode (13)
Un contenu original Tangente, adapté en podcast avec l’aide de l’IA et validé par notre rédaction. Comment ça marche ?
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Intervenant 1
Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis super excitée de vous retrouver pour une nouvelle exploration. Parce que bon, face à trois petites boîtes banales posées sur une table, notre cerveau est intimement convaincu de déduire la vérité du premier coup d'œil.
Intervenant 2
Oui, et spoiler, il nous ment effrontément.
Intervenant 1
Mais totalement. Aujourd'hui, notre mission, c'est vraiment d'explorer pourquoi notre instinct est mathématiquement programmé pour nous tromper, et surtout, comment déjouer ces pièges.
Intervenant 2
Exactement. Et pour ça, on plonge au cœur de l'esprit d'un véritable architecte de la pensée, Gilles Cohen.
Intervenant 1
Voilà. Un créateur inépuisable quoi. Le genre d'esprit qui a passé sa vie à construire des labyrinthes logiques. Bon, décortiquons un peu tout ça. Les énigmes mathématiques qu'il a laissé derrière lui ne sont pas des simples devoirs sur table. Ce sont de minuscules univers de logique qui ne demandent qu'à être explorés.
Intervenant 2
Pour s'y aventurer. Bah non, tout le monde possède l'équipement de base en fait. La logique pure.
Intervenant 1
Ouais, c'est rassurant quelque part.
Intervenant 2
C'est ça. Notre but aujourd'hui, c'est surtout pas de réciter un catalogue de solutions ennuyeuses. Il s'agit de soulever le capot, de comprendre le fameux « pourquoi » derrière la mécanique de ces casse-têtes.
Intervenant 1
Absolument. Mais avant de courir un marathon intellectuel et d'attaquer les paradoxes qui retournent le cerveau, un bon échauffement s'impose.
Intervenant 2
C'est clair. La déduction pure, c'est vraiment le point de départ.
Intervenant 1
Prenons un grand classique, le truc que beaucoup de passionnés ont croisé sans forcément connaître son nom formel. Je veux parler du cryptarithme.
Intervenant 2
Ah oui, un classique indémodable.
Intervenant 1
Le concept est redoutablement simple, en apparence. On a une addition posée super classique, mais tous les chiffres sont remplacés par des lettres.
Intervenant 2
Avec une lettre égale un chiffre unique et évidemment, aucun nombre ne commence par un zéro.
Intervenant 1
Voilà, c'est ça. Et honnêtement, ça a l'air d'un simple jeu de mots croisés numériques, non ? Mais la réalité est beaucoup plus féroce.
Intervenant 2
Ah ben, la comparaison avec les mots croisés, elle s'arrête très très vite. Dans un cryptarithme, on ne cherche pas à deviner, genre au hasard.
Intervenant 1
On ne peut pas juste tester toutes les combinaisons.
Intervenant 2
Non, ça prendrait un temps fou. On est forcé d'établir des règles de fer. Par exemple, si l'addition de deux lettres identiques donne un résultat impair, on sait immédiatement qu'il y a une retenue cachée quelque part. Ah ouais, logique. Ce n'est pas de la devinette, c'est une vraie autopsie de l'arithmétique. Chaque retenue devient un levier pour faire sauter les possibilités une par une.
Intervenant 1
Ce qui demande une discipline de fer, quoi. Et c'est une discipline qu'on retrouve poussée à l'extrême dans un autre casse-tête de cette collection, qui s'appelle les amis espiègles.
Intervenant 2
Un très bon problème, ça.
Intervenant 1
L'histoire est presque absurde. On a Estelle et Chloé. Estelle donne à son amie une liste de nombres à trois chiffres, disons 346, 905, 376, 845 et 305.
Intervenant 2
Et elle doit trouver un code secret à partir de ça.
Intervenant 1
Exactement. Son numéro fétiche, c'est un code à trois chiffres et elle lâche une seule contrainte. Dans chacun des nombres de cette liste, il y a un et un seul chiffre qui est exactement à la bonne place.
Intervenant 2
Et son amie fait la même chose avec un digicode à quatre chiffres et une liste de huit nombres ?
Intervenant 1
C'est ça. Franchement, face à ça, on a l'impression de regarder une sorte de cadenas numérique bavard, mais super avare en indices, tu vois. Il donne une seule micro-piste à la fois et ça exige une élimination impitoyable.
Intervenant 2
L'information semble terriblement indigente, c'est vrai. Mais c'est une illusion. Ce jour de structure fait appel à l'arme la plus puissante de la logique formelle, le fameux raisonnement par l'absurde.
Intervenant 1
D'accord. Donc comment on applique ça ici, concrètement ?
Intervenant 2
Eh bien, puisqu'on ne peut pas aller directement vers la vérité, on va prendre chaque hypothèse et la pousser jusqu'à ce qu'elle explose en vol.
Intervenant 1
Ok, donc si je prends la liste, je dis au hasard, imaginons que le 3 de 346 soit le bon chiffre à la bonne place.
Intervenant 2
Je le verrouille. Voilà le point de départ parfait. Si ce 3 est le bon chiffre, ça déclenche une réaction en chaîne impitoyable. Ça signifie que dans 346, le 4 et le 6 sont faux. Jusque là, je te suis. Mais regardons le reste de la liste d'Estelle. On a le nombre 305. Puisque notre premier chiffre est un 3, la règle d'un seul chiffre bien placé par nombre est déjà remplie pour 305. Ce qui condamne automatiquement le 0 et le 5. Ils ne peuvent pas faire partie du code final à ces positions.
Intervenant 1
Exactement.
Intervenant 2
Attends, mais si je condamne le 5 à la troisième position, ça crée un carnage dans le reste de la liste. C'est le but. Le nombre 905 perd son 5. Le nombre 845 perd son 5. Ils se retrouvent complètement mutilés et doivent trouver leurs chiffres juste ailleurs, parmi les miettes qui restent.
Intervenant 1
C'est toute la beauté du processus, ouais. En tirant ce seul fil, les contradictions vont s'accumuler à une vitesse folle. Très vite, on va se retrouver avec un nombre de la liste où tous les chiffres ont été éliminés.
Intervenant 2
Ah, et s'ils sont tous éliminés, c'est que l'hypothèse de départ posait problème, précisément. À cet instant précis, la logique triomphe. L'hypothèse de départ, le fameux 3 en première position, était tout simplement fausse. C'est
Intervenant 1
implacable, quoi.
Intervenant 2
L'essence même de la rigueur mathématique, c'est ça. On avance avec certitude, non pas en cherchant la lumière, mais en fermant toutes les mauvaises portes jusqu'à ce qu'il n'en reste qu'une.
Intervenant 1
Ouais, on élimine l'impossible. Mais bon, c'est confortable quand on a des règles fixes, tu vois. On ferme les portes, on avance. Mais que se passe-t-il quand le terrain de jeu lui-même se met à bouger ?
Intervenant 2
Ah, tu veux parler des probabilités ?
Intervenant 1
Absolument, quand on quitte le confort de la déduction pure pour entrer dans les sables mouvants des probas. C'est là que l'article nous emmène vers un monstre sacré, le fameux paradoxe de Bertrand.
Intervenant 2
Le problème des trois boîtes, c'est un de mes préférés. C'est fascinant car c'est le moment exact où notre propre biologie, notre intuition, se retourne contre nous.
Intervenant 1
Posons le décor pour notre audience. C'est d'une simplicité trompeuve. On a trois boîtes parfaitement identiques devant nous. La boîte 1 contient deux billes vertes.
Intervenant 2
OK.
Intervenant 1
La boîte 2 est un mélange. Une bille verte, une bille rouge. Et la boîte 3 contient deux billes rouges.
Intervenant 2
Donc, deux vertes, un mélange et deux rouges. Très bien.
Intervenant 1
L'expérience commence, on ferme les yeux, on choisit une boîte totalement au hasard, on plonge la main, on sort une seule bille. On ouvre les yeux, la bille est rouge.
Intervenant 2
Et c'est là que la fameuse question tombe.
Intervenant 1
Voilà. Quelle est la probabilité que l'autre bille de la même boîte, celle qui est restée au fond, soit rouge elle aussi ?
Intervenant 2
Et face à cette énoncée, le cerveau a un réflexe de survie intellectuelle assez marrant. Il simplifie tout.
Intervenant 1
Et c'est là que ça devient vraiment intéressant. L'instinct hurle que la probabilité est de 50-50, puisqu'on est forcément soit dans la boîte 2, soit dans la boîte 3. C'est une évidence.
Intervenant 2
L'instinct hurle très fort, oui.
Intervenant 1
Mais c'est un piège absolu, non ?
Intervenant 2
C'est un piège mortel, ouais. Ce que tu décris, c'est une évidence visuelle, mais une aberration mathématique totale.
Intervenant 1
Attends, pourquoi ? J'ai éliminé la boîte une, il m'en reste deux. Une chance sur deux.
Intervenant 2
L'erreur fondamentale, c'est de compter les contenants. Alors qu'en probabilité conditionnelle, l'univers a changé. Il faut compter le contenu. Oublions les boîtes, un instant.
Intervenant 1
D'accord, j'oublie les boîtes.
Intervenant 2
Focalisons-nous sur l'information certaine que nous avons. La seule certitude, c'est quoi ?
Intervenant 1
C'est la bille rouge que j'ai dans la
Intervenant 2
main. Faisons l'avantage. Au total, dans tout ce jeu, combien y a-t-il de billes
Intervenant 1
rouges ? Il y en a trois. Une dans la boîte mixte et les deux autres dans la boîte 3.
Intervenant 2
Voilà. Quand on tire une bille rouge à l'aveugle, on a pioché l'une de ces trois billes avec une stricte égalité de chance. Ok, je vois. L'univers des possibles n'est plus composé de deux boîtes. Il est composé de trois billes rouges spécifiques.
Intervenant 1
D'accord, l'univers s'est réduit à ces trois petites billes.
Intervenant 2
Maintenant, analysons l'origine de ces trois billes. Sur ces trois scénarios possibles, combien mène à une autre bille rouge ?
Intervenant 1
Si j'ai pioché la bille rouge de la boîte mixte, l'autre est verte.
Intervenant 2
C'est un seul scénario, oui.
Intervenant 1
Mais si j'ai pioché la première bille rouge de la boîte 3, l'autre est rouge. Et si j'ai pioché la seconde bille rouge de cette même boîte 3, l'autre est rouge aussi.
Intervenant 2
Et voilà. Il y a donc deux scénarios sur trois où notre main a plongé dans la boîte doublement rouge. La véritable probabilité est de deux tiers.
Intervenant 1
Waouh ! 66%, pas 50 ?
Intervenant 2
Exactement. Les mathématiques offrent un filet de sécurité rigoureux quand le bon sens déraille complètement.
Intervenant 1
C'est un vertige cognitif, quoi. L'esprit s'accroche désespérément à l'image des deux boîtes restantes sur la table, alors que les maths comptent les chemins invisibles. Et l'article pousse le vice encore plus loin.
Intervenant 2
Ah oui, avec l'extension du problème.
Intervenant 1
Il généralise ce paradoxe avec N plus une boîte contenant chacune N billes, avec des ratios différents, c'est fou.
Intervenant 2
Cette généralisation, elle est cruciale, parce qu'elle démontre la limite absolue de l'intuition. Face à 50 boîtes contenant chacune 49 billes mélangées, le cerveau humain est complètement aveuble.
Intervenant 1
Impossible de visualiser ça mentalement.
Intervenant 2
Impossible. Seule l'application rigoureuse du concept de probabilité conditionnelle permet de s'en sortir.
Intervenant 1
Bon, alors on ne peut plus se fier à son intuition en pro-bas. Mais que faire quand les mathématiques elles-mêmes semblent dresser un mur infranchissable ?
Intervenant 2
Il faut changer de tactique.
Intervenant 1
C'est ça. On passe au changement de perspective. Quand s'acharner ne sert à rien, certains problèmes exigent de changer littéralement de dimension ou de domaine.
Intervenant 2
C'est la marque des grandes énigmes. Elles se présentent comme une forteresse imprenable dans un domaine, disons l'algèbre pur, et elles s'effondrent si on les attaque par surprise depuis la géométrie.
Intervenant 1
Le principe des tiroirs appliqués aux nombres réels en est l'illustration parfaite. Sur le papier, l'énoncé fait peur. On nous donne cinq nombres réels complètement au hasard.
Intervenant 2
N'importe lesquels.
Intervenant 1
Et on doit prouver qu'il existera toujours deux nombres parmi les cinq, appelons-les A et B, tels que la fraction A moins B sur 1 plus A fois B donne un résultat entre 0 et 1.
Intervenant 2
Rien que d'entendre la formule, ça donne le tournis.
Intervenant 1
C'est clair. Essayer de résoudre ça avec des X et des Y, c'est s'engager dans un cauchemar algébrique. Moi, je vois ça comme s'acharner à pousser une porte de toutes ses forces avant de réaliser qu'elle est coulissante.
Intervenant 2
C'est une excellente métaphore. Si on l'attaque de front avec l'arithmétique, c'est une voie sans issue. Les nombres réels s'étendent de moins l'infini à plus l'infini.
Intervenant 1
Comment prouver quoi que ce soit là-dedans ?
Intervenant 2
Le secret, le grand indice de cet exercice, il tient en un mot. Tangente.
Intervenant 1
Remplacer les membres à la fonction trigonométrique de la tangente. J'ai un peu de mal à voir le miracle là. On remplace une équation abstraite par un concept encore plus abstrait ?
Intervenant 2
C'est vrai que ça paraît contre-intuitif, mais le miracle réside dans la forme de l'équation. La fraction A moins B, divisée par 1 plus AB, c'est la réplique millimétrée d'une identité trigonométrique célèbre.
Intervenant 1
Ah, la fameuse tangente de la différence de deux angles !
Intervenant 2
Exactement. En posant que chaque nombre réel correspond à la tangente d'un angle, on vient de commettre un vrai braquage conceptuel.
Intervenant 1
Si je saisis bien, on a pris une infinité de nombres réels sur une ligne interminable et on les a forcés à rentrer dans un espace fini. C'est comme remplacer des nombres par des angles, ça débloque tout.
Intervenant 2
C'est exactement ça. Tous ces nombres gigantesques sont confinés dans un intervalle d'angle précis entre moins 90 et plus 90 degrés.
Intervenant 1
D'accord.
Intervenant 2
C'est là qu'on utilise le principe des tiroirs. On découpe cet espace fini en quatre secteurs, nos quatre tiroirs. Puisqu'on a cinq valeurs au départ, nos cinq pigeons, la logique dicte qu'il y aura obligatoirement au moins deux pigeons dans le même tiroir.
Intervenant 1
Donc deux angles assez proches pour que le résultat tombe entre 0 et 1. C'est brillant, piant, le problème impossible est pulvérisé.
Intervenant 2
Et cette même leçon, on la retrouve dans toute la géométrie abordée par Gilles Cohen, se méfier des apparences.
Intervenant 1
Oui, on a plein d'exemples visuels, comme ces cercles qui s'entrecoupent, C1, C2, C3, créant des intersections. Et on nous demande si certains points sont alignés. À l'œil nu, on dirait que oui.
Intervenant 2
Mais le dessin ment.
Intervenant 1
Toujours. Et c'est encore pire avec l'énigme des trois lopins de terre. Imaginez Alice et Bob qui possèdent des terrains formés par des triangles rectangles inscrits dans un grand demi-cercle.
Intervenant 2
Ah oui, très bel exemple.
Intervenant 1
Quand on regarde le croquis, l'air du terrain de Bob semble rigoureusement égal à l'air du terrain d'Alice. Mais ça ne suffit pas, Sylvien.
Intervenant 2
Le fait que deux airs aient l'air identique ne vaut absolument rien en maths. Il faut chercher la structure cachée pour fournir une preuve irréfutable.
Intervenant 1
Et comment on fait ça ici, sans juste mesurer avec une règle ?
Intervenant 2
On utilise les théorèmes fondamentaux. Puisque les triangles sont dans un demi-cercle, ce sont forcément des triangles rectangles. On sort le théorème de Pythagore, on calcule les projections.
Intervenant 1
On lâche le dessin pour l'équation pure, quoi.
Intervenant 2
C'est ça. Et au bout de cette démonstration mécanique, indépendante de l'apparence, l'équation finale prouve que les R sont bien égales.
Intervenant 1
C'est fou. Ça marche aussi pour la bipartition d'un triangle, non ? Trouver le point exact sur un segment pour couper l'air en deux parties parfaites. L'œil ne peut pas trouver ce point, seule la formule le peut.
Intervenant 2
Parfaitement résumé. L'apparence est validée par la preuve, mais la preuve ne dépend jamais de l'apparence.
Intervenant 1
C'est un peu le thème de notre exploration. Et ça nous amène à un domaine encore plus mouvant. Jusqu'ici, on a parlé de figures figées. Mais que se pèse-t-il quand on introduit des règles de mouvement ?
Intervenant 2
Quand les choses évoluent étape par étape,
Intervenant 1
oui. On bascule dans l'algorithmique. C'est l'art de prévoir la fin du jeu. Et l'article offre un cas d'école fabuleux, le jeu des trois vases d'Alice et Bob.
Intervenant 2
Un jeu diabolique.
Intervenant 1
Il y a trois vases A, B et C. Dans le vase A, 13 jetons. Dans le B, 15 jetons. Dans le C, 17 jetons.
Intervenant 2
Les fameux nombres impairs.
Intervenant 1
Exact. La règle est stricte. Bob doit retirer un jeton de deux vases différents et mettre ces deux jetons dans le troisième. Son but, c'est de vider complètement deux vases.
Intervenant 2
Pour avoir les 45 jetons dans un seul vase.
Intervenant 1
C'est ça. Alors, qu'est-ce que tout ça signifie au fond ? Parce que face à 13, 15 et 17 jetons qu'on déplace sans cesse, on dirait une boucle infinie.
Intervenant 2
Le piège, c'est d'essayer de simuler mentalement les coups. On s'y perd tout de suite.
Intervenant 1
Bah oui, comment savoir si Bob peut atteindre son but sans devoir simuler le jeu pendant des heures sur un bout de papier ?
Intervenant 2
Ce qui est fascinant ici, c'est l'utilisation des invariants. Dans ces jeux-là, les mathématiciens cherchent la règle sous-jacente, ce qui ne change jamais malgré les mouvements.
Intervenant 1
Un invariant, d'accord.
Intervenant 2
Ici, la clé, c'est la parité et les écarts. Regardons les différences entre les vases à travers le modulo 3, le reste de la division par trois.
Intervenant 1
Ah non, pourquoi on divise par trois là ?
Intervenant 2
Quand Bob joue, il retire un jeton du vase A, un du vase B, et il ajoute deux jetons dans le C.
Intervenant 1
Ouais.
Intervenant 2
La différence entre A et B ne change pas, puisqu'ils ont tous les deux perdu un jeton.
Intervenant 1
Ah oui, logique. Si j'ai 15 et 13, la différence est 2. J'enlève 1 à chaque, ça fait 14 et 12. La différence reste 2.
Intervenant 2
Par contre, entre C et A, l'un gagne 2, l'autre perd 1. La différence change de 3 unités.
Intervenant 1
Ah !
Intervenant 2
Mais si la différence change de 3 unités, son reste dans la division par 3, lui, ne change absolument jamais.
Intervenant 1
Ah, c'est brillant ! L'écart initial était de 2 ou 4, donc modulo 3, on n'obtient jamais 0.
Intervenant 2
Et le but de Bob, c'est 45 d'un côté et 0 de l'autre. Une différence de 45 qui est un multiple parfait de 3.
Intervenant 1
Donc, modulo 3, ça fait 0. Et vu qu'on ne peut jamais attendre 0, Bob ne gagnera jamais.
Intervenant 2
La victoire est mathématiquement impossible. C'est une illusion complète.
Intervenant 1
C'est juste incroyable ! D'ailleurs, cette idée de règle locale qui dicte un résultat global, on la retrouve aussi dans les problèmes de Voyinage ?
Intervenant 2
Oui, avec le coloriage des cases.
Intervenant 1
C'est ça, colorier N cases en noir ou blanc avec des règles strictes sur les voisins, même à distance d'eux.
Intervenant 2
On cherche le cycle caché, ce qui est mathématiquement possible ou non pour N cases.
Intervenant 1
C'est la même logique de l'invariant.
Intervenant 2
Quel voyage hallucinant ! Franchement, d'un simple cryptarithme à ses manipulations de jetons infinis, chaque énigme est une invitation à repenser notre façon d'aborder la réalité.
Intervenant 1
C'est vrai, c'est une gymnastique mentale exceptionnelle que nous alléguait Gilles Cohen.
Intervenant 2
Mais avant de se quitter, si ces problèmes nous prouvent que nos sens et notre intuition primaire sont si souvent pris en défaut, ça pose question, non ?
Intervenant 1
C'est même une réflexion assez vertigineuse. Si notre intuition flanche si lourdement sur trois boîtes ou un dessin, combien de vérités évidentes acceptons-nous au quotidien dans notre société sans jamais appliquer ce filtre de la rigueur mathématique ? Ah là là, une question qui donne à réfléchir. En tout cas, pour les passionnés qui veulent affronter ces merveilles par eux-mêmes et découvrir les solutions complètes, foncez sur tangentemag.com.
Intervenant 2
Vous y trouverez aussi de très beaux témoignages.
Intervenant 1
Exactement. Merci de nous avoir accompagnés dans cette plongée captivante au cœur de la logique Ikea. À très vite.
Intervenant 2
À bientôt.
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