Le problème de Waring : résolu, mais toujours inachevé

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Il suffit d'imaginer un enfant qui construit une tour avec des blocs en bois pour se rendre compte qu'une simple observation sur l'empilement de ces blocs, ça pourrait déclencher une véritable guerre mathématique.

Intervenant 20:14

Ah ça oui, une guerre intellectuelle même. Une guerre qui va durer plus de 250 ans au bas mot.

Intervenant 10:21

C'est ça, une quête qui va mobiliser les esprits les plus brillants de la planète et nécessiter au final la puissance de supercalculateurs colossaux pour être résolus.

Intervenant 20:31

Ouais, parce que tu vois, souvent, on a cette perception générale des mathématiques comme un édifice parfaitement ordonné, une ligne droite super rassurante où chaque découverte vient se poser très sagement sur la précédente.

Intervenant 10:42

Exactement. Si on prend une simple addition, par exemple, ça semble limpide, défini, sans aucun mystère.

Intervenant 20:50

Et pourtant, en grattant juste un tout petit peu la surface de ces opérations qu'on enseigne à l'école primaire, on peut vraiment tomber dans un abîme conceptuel complètement inattendu.

Intervenant 11:00

Et la mission de notre plongée au cœur des sources et d'aujourd'hui, c'est justement de décortiquer cet énigme absolu, ce fameux problème de Waring.

Intervenant 21:09

Et le problème de Waring, c'est vraiment le parfait exemple du faux ami en mathématiques.

Intervenant 11:13

Un faux ami, c'est-à-dire ?

Intervenant 21:15

Il se présente comme une question d'une innocence folle, le genre de petit problème qu'on pourrait griffonner sur un coin de table après un repas de famille, mais qui cache en réalité un labyrinthe monumental.

Intervenant 11:24

C'est toute la beauté de la théorie des nombres, ça.

Intervenant 21:26

Absolument. Une façade d'une grande simplicité qui masque des mécanismes d'une complexité redoutable.

Intervenant 11:32

Alors démêlons tout ça, parce que c'est un récit qui est tissé de rebondissements improbables. On va partir d'un petit jeu de construction avec des carrés et des cubes pour finir par s'attaquer à des équations vérifiées par des machines qui crachent des millions de calculs à la seconde.

Intervenant 21:47

Tout à fait, avec même une petite apparition du fantôme du fils d'un des plus grands génies de l'histoire scientifique.

Intervenant 11:53

Le contraste est total entre le début et la fin. Mais ce qui frappe d'emblée dans nos sources, c'est que l'homme qui a donné son nom à cette énigme, donc Waring, ce n'est même pas lui qui a posé la première pierre.

Intervenant 22:02

Non, en fait, l'histoire commence avec un autre géant des mathématiques, Joseph-Louis Lagrange.

Intervenant 12:09

Ah, Lagrange, évidemment. En quelle année on se situe là ?

Intervenant 22:11

On est en 1770. Et Lagrange démontre ce qui va devenir le célèbre théorème des quatre carrés. Et c'est une règle qui est majestueuse parce qu'elle est universelle.

Intervenant 12:24

Qu'est-ce qu'elle dit exactement cette règle ?

Intervenant 22:26

Elle stipule que tout nombre entier, naturel, peu importe sa taille, il peut s'écrire comme la somme d'au maximum quatre carrés d'entiers.

Intervenant 12:34

Ok, alors mettons ça en perspective pour bien comprendre la mécanique. Si on prend un petit nombre, disons 10.

Intervenant 22:42

Oui, très bon exemple.

Intervenant 12:43

Bah 10, c'est 9 plus 1, c'est-à-dire 3 au carré plus 1 au carré. Donc là, il n'a fallu que 2 carrés pour atteindre la cible. Le contrat est rempli quoi.

Intervenant 22:53

Exactement. La condition d'être au maximum 4 est parfaitement respectée puisqu'on n'en a utilisé que 2. Mais la puissance de ce théorème, c'est qu'il ne s'arrête pas aux petits nombres qu'on peut calculer tête.

Intervenant 13:05

C'est ça qui est dingue.

Intervenant 23:06

Oui, la démonstration de Lagrange, elle englobe l'infinité des nombres. Si on prend une cible beaucoup plus grande, prenons l'année 2023 par exemple.

Intervenant 13:15

D'accord.

Intervenant 23:16

Eh bien 2023, ça peut s'écrire de la façon suivante. 43 au carré, plus 13 au carré, plus 2 au carré, plus 1 au carré.

Intervenant 13:24

Ah ouais. On a exactement quatre termes, jamais plus.

Intervenant 23:27

Voilà. Et dans le jargon très spécifique de ce problème, cette limite indépassable, on la note avec une lettre g minuscule. Le

Intervenant 13:34

fameux petit g de n.

Intervenant 23:36

C'est ça. Donc là, on dit que g de 2, où le 2 entre parenthèses représente la puissance 2, donc les carrés, est égal à 4.

Intervenant 13:43

Le décor est donc planté par Lagrange. La règle est élégante, elle est prouvée. Et c'est précisément à ce moment-là qu'Edward Waring entre en scène. Il regarde cette perfection géométrique et il décide d'y mettre le feu. C'est une

Intervenant 23:54

bonne façon de le dire.

Intervenant 13:56

Il observe ce théorème des carrés et il soulève la question qui va tout faire basculer. Il se dit, que se passe-t-il si on décide de changer la puissance ?

Intervenant 24:06

Exactement ! Si tout nombre peut s'écrire avec 4 carrés, combien en faut-il si on utilise des cubes ? C'est-à-dire la puissance 3. Et combien il en faudrait avec la puissance 4 ?

Intervenant 14:16

Donc Waring se lance dans des calculs manuels, il exporte les nombres un par un, et il remarque un truc hyper curieux en s'arrêtant sur le nombre 23.

Intervenant 24:25

Oui, le fameux 23.

Intervenant 14:27

S'il s'impose de fabriquer 23 en additionnant que des cubes parfaits, il se rend compte qu'il lui faut obligatoirement 9 cubes. Il ne peut pas faire moins, quoi.

Intervenant 24:35

Impossible de faire moins. Dans le détail, il utilise 2 fois le chiffre 2 au cube, ce qui donne 16, et 7 fois le chiffre 1 au cube, ce qui rajoute 7, et donc on arrive à 23. 9 termes au total.

Intervenant 14:47

C'est déjà beaucoup. Mais ça ne s'arrête pas au cube. En explorant les puissances quatrièmes, il tombe sur le nombre 79. Et là, le résultat est encore plus impressionnant.

Intervenant 24:59

Ah oui, là ça explose. Pour atteindre exactement 79, il lui faut pas moins de 19 puissances quatrièmes.

Intervenant 15:06

19 ? C'est

Intervenant 25:07

énorme ! Oui, ça correspond à 4 fois le chiffre 2 à la puissance 4 et 15 fois le chiffre 1 à la puissance 4.

Intervenant 15:14

Et face à ça, Waring lance la conjecture qui va le rendre célèbre. Il déclare que G est égal à 9 et que G est égal à 19. Voilà. Autrement dit, il postule solennellement qu'il ne faudra jamais plus de 9 cubes pour composer n'importe quel nombre antiexistant et jamais plus de 19 puissance quatrième. Mais le détail troublant, c'est qu'il affirme ça haut et fort, mais il donne aucune preuve.

Intervenant 25:42

Aucune. Et c'est ce qui rend cette conjecture à la fois brillante et complètement effrayante. Il faut se rendre compte de la démesure du truc. Il observe que pour un petit nombre comme 23, il faut 9 cubes. Et à partir de ce tout petit exemple microscopique, il fait un saut spectaculaire dans l'inconnu.

Intervenant 16:00

C'est clair.