Fermat s’est trompé : l’enquête d’Euler sur un nombre

Intervenant 10:00

Bienvenue dans le podcast du magazine Tangente. Je suis vraiment ravie de vous retrouver aujourd'hui pour une nouvelle exploration.

Intervenant 20:07

Salut Evelyne. Ouais, très content d'être là. On a vraiment un sujet en or aujourd'hui.

Intervenant 10:12

Ah, ça, pour être en or, c'est en or. Imaginez un peu le tableau. Vous entrez dans l'histoire comme l'un des plus grands esprits mathématiques de tous les temps.

Intervenant 20:22

Rien que ça, ouais.

Intervenant 10:23

Votre nom est carrément gravé dans la pierre, vos théorèmes sont étudiés des siècles après votre mort, et une simple marge de livre où vous avez griffonné un truc devient une légende mondiale.

Intervenant 20:34

Le fameux dernier théorème, ouais, tout le monde connaît cette histoire.

Intervenant 10:37

Exactement. Et puis, imaginez que votre théorie la plus affirmée, celle dont vous étiez absolument persuadés, finisse par être réduite en cendres, genre 80 ans plus tard.

Intervenant 20:48

Et le pire, c'est la raison pour laquelle elle s'effondre.

Intervenant 10:50

Mais oui ! Tout ça parce que vous étiez peut-être, disons, un peu trop paresseux pour poser une simple division sur un bout de papier brouillon. C'est le destin fou de Pierre de Fermat, le titan français des mathématiques du XVIIe siècle. D'accord, décortiquons tout ça.

Intervenant 21:06

On y

Intervenant 11:06

va. Le but de notre analyse aujourd'hui, c'est de plonger dans l'exception qui confirme la règle. Le théorème de Fermat, qui s'est révélé magistralement, est presque comiquement

Intervenant 21:16

faux. C'est ça. Et en fait, cette histoire est un cas d'école incontournable. Elle illustre à la perfection les dangers de l'induction, même pour un cerveau hyper structuré par la logique comme celui de Fermat.

Intervenant 11:28

Ouais, parce qu'on a souvent tendance à voir les maths comme un truc froid et infaillible, non ?

Intervenant 21:32

Totalement. C'est l'image d'Epinal, la discipline purement déductive. Mais là, ça montre comment l'esprit humain, quand il est confronté à une série de résultats initiaux qui semblent obéir à une règle parfaite, finit par confondre une coïncidence temporaire avec une vérité universelle. On voit toute la psychologie de la découverte en action.

Intervenant 11:54

C'est vraiment fascinant. Mais pour bien saisir l'ampleur de la chute, il faut d'abord regarder la hauteur du piédestal, tu vois. On est en août 1640. Ouais,

Intervenant 22:04

le plein milieu du XVIIe siècle.

Intervenant 12:06

Voilà. Et à cette époque, la recherche avance surtout par correspondance privée. Donc, Fermat écrit à Bernard Frénichle de Bessy, un de ses collègues. Et dans cette lettre, il lâche une affirmation super audacieuse.

Intervenant 22:19

Il n'y va pas de main morte.

Intervenant 12:21

Ah non, pas du tout. Il écrit, je cite, « Voici ce que j'admire le plus, c'est que je suis quasiment persuadé que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont des nombres premiers. » Fin de citation.

Intervenant 22:36

Alors ouais, derrière ce phrasé du XVIIe siècle, qui est un peu lourd, on va pas se mentir, il se cache une expression algébrique très claire en fait.

Intervenant 12:44

C'est quoi exactement la formule pour ceux qui nous

Intervenant 22:46

écoutent ? C'est 2 à la puissance n, et le tout on fait plus 1 à la fin.

Intervenant 12:53

Donc une double exponentielle.

Intervenant 22:55

C'est ça. C'est ce qu'on appelle aujourd'hui les nombres de Fermat, qu'on note grand F, indice n. L'idée est basique, tu prends un entier n, tu calcules 2 puissance n, tu utilises ce résultat comme un nouvel exposant pour le chiffre 2, et tu ajoutes 1.

Intervenant 13:09

Et la croissance de ce truc est fulgurante j'imagine ?

Intervenant 23:12

Exponentiel au carré, tu penses bien. Mais les premiers termes sont plutôt inoffensifs. Si on prend n qui vaut 0, 1, 2, 3 et 4, la formule nous donne respectivement 3, 5, 17, 257 et 65 537.

Intervenant 13:28

Et tous ces nombres-là sont premiers.

Intervenant 23:30

Absolument tous, sans la moindre ambiguïté.

Intervenant 13:33

Donc la logique semble implacable. Fermat voit cinq succès d'affiliés et il s'emballe complètement.

Intervenant 23:39

Il s'emballe totalement. Dans sa lettre, c'est assez drôle, il avoue carrément ne pas avoir la démonstration formelle. Mais il ajoute un truc du genre « j'ai exclu une si grande quantité de diviseurs potentiels que j'aurais vraiment de la peine à me dédire ».

Intervenant 13:53

C'est d'une audace folle. J'ai pensé à une analogie en lisant ça. C'est un peu comme tirer cinq fois de suite dans mille avec les yeux bandés et en déduire scientifiquement qu'on est un archer divin et infaillible.

Intervenant 24:05

C'est une excellente analogie. Ce qui est absolument fascinant ici, c'est que le piège réside dans la nature même des nombres premiers.

Intervenant 14:13

C'est-à-dire ?

Intervenant 24:14

Plus tu t'avances sur la droite des entiers, plus les nombres premiers se raréfient. Donc, tomber sur cinq nombres premiers d‡affilés en suivant une progression exponentielle aussi brutale, c'est statistiquement stupéfiant.

Intervenant 14:26

Ah ouais, donc le motif était tellement beau qu'il l'a aveuglé.

Intervenant 24:30

Exactement. L‡élégance du motif a complètement court-circuité la prudence légendaire de Fermat. Il s'est dit que la nature ne pouvait pas être assez malicieuse pour briser un motif aussi esthétique, juste après le cinquième terme.

Intervenant 14:41

Sauf que le terme suivant pour n égale à 5, il fait juste exploser les compteurs, non ?

Intervenant 24:46

Oh que oui ! On passe brutalement à 4 milliards 294 millions 967 milles 297. Quatre

Intervenant 14:53

milliards. D‡un coup. Et à partir de là, la certitude de Fermat, elle se fiche dans le temps. C'est ça qui est dingue. Pendant près d'un siècle, presque 90 ans en fait, la communauté mathématique accepte plus ou moins l'idée, tout simplement parce que personne ne peut la réfuter.

Intervenant 25:10

Ouais, les nombres sont devenus beaucoup trop massifs pour être manipulés à la main de manière exhaustive. Tu ne peux pas juste tester tous les diviseurs sur un nombre de 4 milliards au XVIIe siècle.

Intervenant 15:19

Impossible, jusqu'à ce qu'un certain Léonard Euler débarque au XVIIIe siècle.

Intervenant 25:24

Voilà, on est en 1732, Euler a seulement 25

Intervenant 15:28

ans,

Intervenant 25:29

le génie absolu, et il soumet une toute petite note de 5 pages à l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg. Et là, sans aucun préambule, pam, il fracasse la conjecture de Fermat.

Intervenant 15:40

J'adore. Il arrive cinq pages à faire

Intervenant 25:43

classer. C'est ça. Il démontre que ce fameux sixième nombre, le grand machin de 4 milliards, n'est pas du tout un nombre premier. Il possède un diviseur trivial, 641. Et

Intervenant 15:53

la division tombe juste ?

Intervenant 25:55

Parfaite. Le quotient est de 6 700 417.

Intervenant 16:00

Mais attendez.